zCH6不等概抽样第3节

CH6不等概抽样

samplingwithunequalprobabilities2-3课时3/1/20231统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第1页!不等概抽样在抽样方法体系中的地位入样概率是概率抽样中的一个重要概念等概率抽样，每个单元的入样概率相等问题：典型的等概率抽样包括？不等概抽样，每个单元的入样概率不完全相等入样概率都是已知或是可以计算出来的不等概率抽样等概率抽样概率抽样非概率抽样广义的抽样调查3/1/20232统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第2页!概率抽样的特点之一

——入样概率已知或可计算出来比如，简单随机抽样srs，1000个单元中抽100个比如，分层随机抽样str100501000100100005001/21/101/20Nhnh大型企业中型企业小型企业被抽中的概率又如，PPS抽样，2个企业中取1个1000万元500万元2/31/3净利润入样概率甲乙扩展3/1/20233统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第3页!§6.1问题的提出一、不等概抽样的必要性（一）等概率抽样的特点及缺陷（二）不等概抽样的含义、适用性、优点、条件等二、不等概抽样的分类（一）放回不等概率抽样（二）不放回不等概抽样3/1/20234统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第4页!等概率抽样的缺陷但是，在一些调研问题下，等概率抽样存在明显的缺陷。比如，各总体单元间相差较大，也即总体方差大的情况，等概率抽样的效果就不一定好，例如：居民住户调查中，以家庭为抽样单元，调查家庭的食品消费支出或者调查家庭的娱乐消费支出，如何设计抽样食品消费支出，由于各个家庭的规模相差不大，同时食品消费支出的价格和收入弹性也不大，实施等概率抽样是可以也是有效地娱乐/保健品/奢侈品等消费支出，价格和收入弹性较高，同时各家庭的成员结构不同，一视同仁的做法欠妥为了估计一个城市的商业销售总额，对各商业网点进行调查以船舶为抽样单元，对船舶运输量进行调查以个人储户为抽样单元，调查储户对银行服务的满意度以个人用户为抽样单元，调查移动业务用户的满意度3/1/20235统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第5页!2、不等概抽样St给各层的单元一个不同的入样概率更进一步地，考虑得更细一点，给每个单元一个不同的入样概率，即，在抽样时将总体各单元被抽中的概率与其规模大小联系起来：入样概率与规模成比例，大单元抽到的概率大，小单元抽到的概率小这就是典型的不等概（率）抽样st实际上是不等概抽样的粗略方式比如：按PPS抽样，2个企业中取1个1000万元500万元2/31/3净利润入样概率甲乙扩展3/1/20236统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第6页!1、含义所谓不等概抽样，即总体中各单元被抽中的概率不相等。这个概率通常与各单元的某个辅助变量大小成正比例①各单元被抽中的概率称为“入样概率”。设总体含有N个单元，那么各单元入样概率用Zi（i=1,2,…,N）表示。在不等概抽样下，Zi是不完全相同的②“Zi与某一辅助变量Xi大小成正比例”。如果某一单元的辅助变量越大，则该单元被抽中的概率越大。所以，辅助变量也称为入样指标Zi＝Xi/∑Xi，(i=1,2,…,N)∑Zi=1是否需要入样指标来确定入样概率，成为不等概率抽样和等概率抽样的本质区别3/1/20237统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第7页!2、作用或适用性①各抽样单元在总体中所占的地位不一致居民住户调查中，调查家庭的日常消费支出或娱乐/保健品等奢侈消费支出，会采用不同的抽样设计为估计一城市的商业销售总额，对各商业网点进行调查以船舶为抽样单元，对船舶运输量进行调查以个人储户为抽样单元，调查储户对银行服务的满意度以个人用户为抽样单元，调查移动业务用户的满意度②调查的总体单元与抽样总体的单元不一致的情况，比如：大型企业对职工家庭情况进行调查某小学对在校生家庭情况进行调查③改善估计量3/1/20238统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第8页!3、主要优点主要优点：可以大大提高估计的精度，减少抽样误差这一点可弥补其他方法的局限性，比如采用srs，虽然简单估计量是无偏的，但如果S2较大，srs估计效果不好；而要提高估计精度，需要增加n，从而增大费用，影响经济效果比率估计量可有效地提高估计精度，但是有偏可以利用st，提高抽样估计精度，但这种抽样的估计效果很大程度上取决于层内方差Sw2，有时层是客观存在、而非人为划分的，因此有可能层内方差还较大而CL当各群的大小差别较大时，每个群对总体的影响是不同的，此时在等概率抽样时推断总体均值需采用加权的方法从而增加了估计的难度。MS也是如此上述情况下，若采用不等概抽样，就有可能改善估计量，减少偏差或抽样误差，从而得到较好的抽样估计效果3/1/20239统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第9页!辅助变量的获得有时，辅助变量的获得比较容易或方便比如，管理部门在车船登记台账中，车船名及其载重吨位是同时登记的，以载重吨位作为辅助变量时，抽样框的编制几乎与srs一样方便再如，对个体运输实施管理，登记运输车辆时，运输车辆的所有者、车型、载重、已行驶公里数等一并登记但对有些问题要复杂一些比如，将某县的农田划分成地块后，以地块的面积作为辅助变量，则这时除了对地块进行编号，还要对地块的面积进行丈量因此，同srs相比，不等概抽样编制抽样框的过程有时要复杂一些3/1/202310统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第10页!1、放回不等概抽样对总体各单元按入样概率进行抽样，每次只抽1个抽出来的单元记录后再放回总体，再进行下一次抽取因此，每次抽样过程都是从同一总体中独立进行的优点：放回不等概抽样的实施及估计过程比不放回的相对要简单缺点：但是由于抽样是放回的，因此，某单元可能在样本中出现多次。出现这种情况时，对这个单元只调查一次，但计算时，抽中几次就参与计算几次与单元大小(Size)成比例的放回不等概抽样即狭义的PPS抽样，简称PPS抽样3/1/202311统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第11页!§6.1小结不等概抽样在现实中的意义/作用/优点PPS抽样的含义§6.1结束3/1/202312统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第12页!§6.2的内容体系一、多项抽样与PPS抽样（一）多项抽样（二）PPS抽样二、实施方法/样本抽选方法（一）代码法（二）拉希里(Lahiri)法三、汉森——赫维茨估计量（一）估计量的形式（二）估计量的性质：无偏性、方差、方差的估计典型例题：P130例[6.2]3/1/202313统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第13页!n重贝努里试验贝努里试验产生于有放回的抽样，是在相同条件下重复进行试验n次每次试验有两个可能的结果

每次试验，两个结果出现的概率分别为

现在独立地进行这样的试验n次，两种结果出现的次数为

则n1服从参数为n和p的二项式分布二项式分布的数字特征3/1/202314统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第14页!（二）PPS抽样特别地，在多项抽样中，如果每个单元有说明其大小或规模的度量Mi，则Zi可取这时，每个单元在每次抽选中入样的概率与其单元规模的大小成比例此时，多项抽样称为放回的与单元规模大小成比例的概率抽样(samplingwithprobabilityproportionaltosize)，简称PPS抽样3/1/202315统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第15页!二、实施方法（PPS抽样的抽选方法）（一）代码法（累计总和法）Hansen和Hurwitz于1943年提出的，所以也称汉森——赫维茨方法做法1、首先，赋予每个单元与Mi相等的代码数2、然后，将代码数累加得到M03、最后进行抽样，每次抽样都产生一个[1，M0]之间的随机数m，则代码m所属的总体单元被抽中4、重复以上做法n次，则得到由n个单元构成的PPS样本在累加时要注意：抽选随机数通常抽选的是整数，所以，如果Mi是整数，则直接累加；如果Mi不是整数，则需要乘以某个倍数转化为整数3/1/202316统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第16页![补例6.1]iMiMi×10累计Mi×10代码范围10.6661~6214.51451517~15131.515166152~166413.7137303167~30357.878381304~381615150531382~531710100631532~63183.636667632~6679660727668~727101.111738728~738合计73.8738————M0设某个总体有N=10个单元，试用PPS抽样抽取一个n=3的样本在[1，738]中取随机数3个随机数落到了哪个单元的代码范围内，哪个单元入样3/1/202317统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第17页!三、Hansen-Hurwitz估计量

(P1286.4~6.5)（一）H-H估计量的定义说明：不等概抽样下，总值估计更有意义理由：不等概抽样往往应用于总体单元规模相差较大的情况

HH估计量的意义，体现了自加权的性质（P128）第i个样本单元单位规模的平均目标量大小3/1/202318统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第18页!无偏性的证明证明的基本思路：变量转换设则PPS抽样的过程就相当于：总体各单元目标量D1,D2,…,DN入样概率分别为Z1,Z2,…,ZN则，D变量的总体均值为3/1/202319统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第19页!方差的无偏估计3/1/202320统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第20页!H-H估计的特点无偏估计在不等概抽样的过程中完成了加权，具有自加权的性质，因此估计量形式及其方差都很简洁引入了辅助变量，所以估计效果也不错P126【例6.2】3/1/202321统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第21页!作业思考：P1446.1、6.2作业：P1456.3、6.4、6.6§6.2结束3/1/202322统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第22页!中国公众科学素养抽样调查的问卷题目“父亲的基因是否决定孩子的性别？”“宇宙产生于大爆炸吗？”“DNA是什么？”“你是否相信占星术？”“……”3/1/202323统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第23页!调查目的总的来说：为制定科普规划和科普政策提供科学依据具体地：1、把握人们对科学知识、科学方法和过程的了解程度2、把握人们对科学对个人和社会的影响的了解程度3、了解公众获取科学技术信息的渠道和方法4、探究人们对科学技术的态度5、……3/1/202324统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第24页!方法调查对象：中国大陆18~69岁成年公民(不含港、澳、台)抽样方法：与人口规模成比例的分层四阶段不等概抽样调查方法：派员入户调查样本容量：8570人(第六次)3/1/202325统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第25页!§6.3不放回不等概抽样不要求3/1/202326统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第26页!补充思考题3/1/202327统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第27页!思考题2某个调查人员从总体中抽出了一个样本量为n的简单随机样本，调查开始之前，他又获得了一份总体单元的详细名单，这份名单很不错，除了单元的名录，还有每个单元的其他相关指标，因此他在调查每个样本单元的时候注明了它们的其他相关指标调查完成后，调查人员发现每个单元的目标量yi差异非常大，但目标量除以某个相关指标后，差异非常小因此，为了提高估计的精度，他决定采用下述公式进行推算根据上述公式推算得到的结果，精度相当高，给调查人员非常满意你认为该调查人员的工作有需要改进的地方吗？3/1/202328统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第28页!比率估计与不等概抽样估计的差异二者所属的方法体系不同比率估计是估计方法体系的成员，与简单估计、回归估计、差值估计、乘积估计等并列不等概抽样相对于等概率抽样，与等概率抽样同属概率抽样方法体系，不等概抽样估计是针对不等概抽样所提出的估计方法，主要应用的是Hansen-Hurvitz估计和Hurvitz-Thompson估计，前者用于放回的不等概抽样，后者用于不放回的不等概抽样。放回的不等概抽样现实中用的较多，H-H估计量简单且讨论的也比较清楚，在此，不等概抽样估计以H-H为代表来说明二者都要使用辅助变量，选择辅助变量的标准也类似(可以列举)，但辅助变量起的作用不同比率估计辅助变量是帮助提高估计精度的不等概抽样的辅助变量决定了各单元的入样概率，此入样概率在估计中起到权重的作用3/1/202329统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第29页!CH6内容体系§6.1问题的提出

介绍不等概抽样的概念、特点、适用性、种类等§6.2放回不等概抽样(PPS抽样)（SamplingwithProbabilityproportionaltosize）

介绍与单元大小成比例的放回的不等概抽样，主要说明PPS抽样的含义、抽选方法、以及H-H估计量形式及其性质§6.3不放回不等概抽样(πPS抽样)

介绍与单元大小成比例的不放回不等概抽样，主要说明πPS抽样的含义、采用的估计量形式及其方差，并介绍在n不同的情况下严格的πPS抽样以及几种非严格的πPS抽样3/1/202330统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第30页!一、不等概抽样的必要性（一）等概率抽样的特点及缺陷srs是典型的等概率抽样，从三个层次上理解(？)str的等概率性可以从两个方面来理解每一层内的抽样是按简单随机抽样进行的，因此层内的抽样是等概率的Propst是典型的等概率抽样，各单元的入样概率都是相等的等概率抽样的基本点是将总体(或层)中的每一个单元看作是平等的，不“偏向”也不“疏远”某些特定的单元，在抽样时对每个单元采取“不偏不倚”的态度评价：如果各总体单元间的差异不大，这种处理方法既简单又合理3/1/202331统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第31页!（二）处理方法当出现总体单元差异特别大的情况时，通常是牺牲“简单”来提高抽样效率对此有两种处理方法：1、将总体单元按规模大小分成若干层进行st，比如：对商业网点的调查，按资金总额或营业面积或员工总数等规模变量分成大、中、小型等几层，大型商场的抽样比可以高些，小型商店的抽样比可以低些，少数特大型商场甚至可以进行100%抽样(目录抽样)这时每层有一个抽样比，各层抽样比不同，总的来说也属于不等概率抽样St是等概率抽样向不等概抽样的过渡形式3/1/202332统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第32页!（三）不等概抽样的一般问题1、含义2、作用/适用性3、主要优点4、要求/前提条件3/1/202333统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第33页!1、含义(续)③最重要、也是最常用的入样指标是规模变量(size)，即，抽样是严格按照与单元大小成比例的概率来进行。此时，不等概抽样称为PPS抽样(Samplingwithprobabilityproportionaltosize)④不等概抽样可分为放回的和不放回的。放回的不等概抽样简称为PPS抽样，不放回的简称为πPS抽样狭义的PPS抽样，简称PPS抽样πPS抽样广义的PPS抽样第二节第三节3/1/202334统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第34页!③改善估计量不等概抽样还广泛应用于由于种种原因不能或不需要对基本单元(BU:BaseUnit)直接抽样的情形，比如整群抽样(CL:clustersampling)中，若群大小(用群内包含的BU数Mi表示)相差较大，常采用对群的不等概抽样多阶段抽样(MS:Multi-Stagesampling)中，若初级单元大小(用所包含的次级单元数目表示)相差较大，则常采用对初级单元的不等概抽样比率估计中消除小样本比率估计量偏倚的方法——水野法3/1/202335统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第35页!4、要求基本要求：必须获得各单元的某辅助变量Xi用以确定其Zi这不仅在抽样时是必需的，在估计推断中也是必要的①选择合适的辅助变量一般是规模变量表示单元规模的标志有很多，如：以企业为抽样单元，企业的职工人数、注册资本金、产品销售收入、增加值、利润等都可用来表示企业的大小。哪个最优？如果目标量为Y的总体总值或总体均值，则应选择与Y成比例的规模变量作为计量单位大小的尺度，此时抽样效果更好②事先确知各单元辅助变量Xi的数值3/1/202336统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第36页!二、不等概抽样的分类（一）放回不等概抽样（二）不放回不等概抽样3/1/202337统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第37页!2、不放回不等概抽样（了解）(1)逐个抽取法逐个抽取，但后面的抽取与前面的抽样结果不独立，各单元的入样概率受前面抽取结果的影响(2)重抽法逐个进行放回抽样，如果有重复，则放弃所有抽到的单元，重新抽取，直到所有n个单元均不重复为止(3)全样本抽取法确定入样概率的一定界限，入样概率高于此标准的单元入样所以，样本量是一个随机变量(4)系统抽样法类似于系统抽样，与放回PPS抽样的代码法也类似3/1/202338统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第38页!§6.2放回的不等概抽样(重点)PPS抽样：samplingwithProbabilityProportionaltoSize3/1/202339统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第39页!一、多项抽样与PPS抽样（一）多项抽样(multi-nomialsampling)PPS抽样是一种多项抽样设Zl，Z2，…，ZN是一组概率，其和为1，按这组概率对总体中的N个单元进行放回抽样，每次抽中第i个单元的概率为Zi，独立地进行这样的抽样n次，则这种不等概抽样为多项抽样问题：为何称为多项抽样呢？

这种抽样方式的结果，其联合分布为多项式分布二项式分布n重贝努里试验共抽到n个单元，有可能重复3/1/202340统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第40页!将二项式分布扩展到多项式分布(P1256.1~6.2)如果每次试验有N个可能的结果

每次试验，N个结果出现的概率分别为

现在独立地进行这样的试验n次，N种结果出现的次数为则ti服从多项式分布这个多项式分布的数字特征3/1/202341统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第41页!关于规模的度量实际问题中总体单元大小的度量往往不止一个，比如企业的员工数量、产值、销售量、利润等都可以度量企业规模的大小商业网点或超市等，营业面积也是不错的选择对于运输企业或运输工具的度量，运载能力或载重吨位等居民小区的居民户数……3/1/202342统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第42页!P126[例6.1]说明累计Mi很重要借助累计Mi给每个单元赋一个代码范围如果Mi不是整数，需要乘以某个倍数转化为整数取样的过程转化为取[1，M0]中的一个随机数的过程这样做，确实能够保证各单元被抽中的概率与Mi成比例现实应用时，取样的过程可以灵活处理3/1/202343统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第43页!（二）拉希里法印度统计学家拉希里(D．B．Lahiri)1951年提出的做法令M*=Max(Mi)，即M*为诸Mi中最大的一个抽取[1，N]中一个随机整数i再抽取[1，M*]内一个随机整数m判断：如果m≤Mi，则第i个单元入样；如果m>Mi，则放弃，再重抽(i，m)直到抽满n个单元为止抽取n个样本单元的过程实际上是抽取n组（也可能多于n组）随机数(i，m)的过程[例6.1]，比如:M*=260，(3,58)，(6,236)3/1/202344统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第44页!（二）性质(P1286.7~6.8)无偏性方差方差的无偏估计3/1/202345统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第45页!方差的证明总体方差3/1/202346统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第46页!H-H估计量的性质证明(P129)利用的是多项分布的数学性质(P1256.2)3/1/202347统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第47页![补例6.2]——典型例题研究目的：某部门要了解所属8500家生产企业当月完成的利润该部门手头已有一份各企业去年完成产量的报告，将其汇总得到所属企业去年完成产量为3676万吨考虑到时间紧，拟采用抽样调查来推断当月完成利润根据经验，企业的产量和利润相关性较强，且企业的特点是规模和管理水平差异比较大，通常大企业的管理水平较高，因此采用与去年产量成比例的PPS抽样，从所属企业中抽出一个样本量为30的样本，调查结果如下表要求：(1)根据调查结果估计该部门所属企业当月完成的利润(2)给出95%置信度下，估计的相对误差(3)若要求在相同条件下相对误差达到20%，则所需的样本量应该是多少？3/1/202348统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第48页!案例介绍中国公众科学素养抽样调查3/1/202349统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第49页!关于公众科学素养抽样调查作为一项基础性工作，公众科学素养抽样调查受到了许多国家和地区的高度重视美国从1972年起每2年进行一次，其调查结果在《科学和工程学指标》中公布日本、加拿大、欧盟成员国也定期开展调查中国自1992年起，也陆续实施了八次公众科学素养抽样调查，调查的时间分别为：1992、1994、1996、2001、2003、2005、2007、20103/1/202350统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第50页!调查内容第六次调查从公众的不同性别、不同年龄段、不同文化程度、不同职业以及城乡的差异上反映基础数据其中，有关“中国公众对科技信息的感兴趣程度和获取科技信息的渠道”调查是公众科学素养调查的重要组成部分，主要内容包括：1、我国公众对科技信息的感兴趣程度2、公众获得科技发展信息的主要渠道和方法3、公众对科普活动的参与度和知晓度4、公众利用科普设施的情况等3/1/202351统计学专业必修课3学分zCH6不等概抽样第3节共56页，您现在浏览的是第51页!调查结果中的一些有意思的结论2001年调查结果显示：——中国大陆有一半以上的父母希望子女未来的职业是医生2005年调查结果显示：——男性公众、低年龄段公众、受教育程度较高的公众以及职业为国家机关、党群组织负责人的，对各种科技信息感兴趣的比例排在前列——在正规的学校教育之外，大众媒体是科技信息的主要传播途径——电视是我国公众科技信息的最主要来源，比例高达91.0%；其次是“报纸杂志”，比例为44.9%；通过“广播”获得信息的比例为22.4%；通过“图书”、“科学期刊”和“其他”途径的比例依次为10.2%、9.5%和7.9%；通过“因特网”获得信息的比例仍最低(7.4%)，但比2003年提高了1.5个百分点——另外，有48.7%的公众还通过“与人