高考数学二轮复习指导系列-解析几何

-解析几何绪言：解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题中含丰富的数学思想数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．因此，要注意数学思想方法在问题解决过程中的核心地位．近几年解析几何内容考查的题型归纳与分析如下：考么1与圆锥曲线的定义、标准方程与性质2线与(圆圆曲线的位置关系

怎考考查圆锥曲线的定义、标准方程与性质主要考查直线与圆锥曲线的位置关系

题与度题型：选择题或填空题难度：基础题题型：解答题难度：中档题或难题3圆圆曲线有主要考查与圆锥曲线有关的范围与最值

题型：解答题关的范围与最值4定点定值的探究与证明5．(圆圆锥曲线中的点、线、参数等存在性问题

问题，常与函数、不等式交汇命题①考查以直线、圆、圆锥曲线载体，探究直线或曲线过定点；②考查与圆锥曲线有关的定值问题．①考查以圆锥曲线为载体，探究平分面积的线分线段的点等问题；②考查某解析式成立的参数是否存在．

难度：中档题或难题题型：解答题难度：中档题或题题型：解答题难度：中档题或难题建议对以上几类问题进行整理关键处重难点思想讲规律方法，讲存在的主要问题和相应的解决方法与策略：重圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征解题；掌基本量计算：如弦长，中点弦问题，梳理定点、定值题的基本思路以及有关面积的处理思路；圆曲线问题的计算，首先是耐心演算，其次是算法、算、算式的分析、渗透与强化，提高运算的准确性；读、审题，加强数学阅读理解的指导，加强数学表达的范训练．/37

yyyy一、存的问题及原分析：（）乏学范作意，图用能待高科学规范地画出图形是研究几何问题的基础的程也是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例2016全I

卷理20）设圆

x0的心为，直线l

过点B（1，轴重合交圆C两的行线交于E为定值，并写出点E的轨迹方程．评析由作图潦草、没有使用规作图、不够精确，导致难以发现关键的几何特征信息．识图、用图能力差，没有从图形中发现，及BEDE．究其原因在于课堂教学作图环节缺失师多用手工绘制草图乏图形中几何特征与数量关系的细致量化分析．建议教师注意使用尺规规范作图，示范指导，并要求学生当堂作图练习．所给的练习，不给图形，要求学生通过审题自己作图，结合图形从整体角度理解题意寻找解题思路．

D

C（）乏用锥线定研相问的识模习定义是数学问题研究的起点锥曲线的定义蕴含了丰富的内涵我的问题的理解与思考有深刻的意义．【例2016全I

卷理20）设圆y的心为A，直线l

过点B（1，轴重合交圆C两的行线交于EEAEB为定值，并写出点E的轨迹方程．解答：圆的方程可化为的心为

，半径为；动点C，落在圆上，满足AC4

在圆上，根据圆的定义有ACAD4

）等腰三角形ACD中，BE/

；AEEDBE

；由题设得A(

，

，|AB

，由椭圆定义可得点E轨迹方程为：的轨迹是椭圆）/37

（AE3

根据定义知点

yyyy

D

C评析能动点与定点的位置关系角度理解问题究目证明AEEB

为定值的证明思路结定义预判可能的轨迹类型能联系已有的几何条件寻找突破口．究其原因在于研究求轨迹方程这类问题时养优先站在“观察发现动点运动变化过程中不变的几何关系”的角度探究问题的意识有养成“定义”的应用意识能从圆锥曲线的定义审视动点满足的不变的几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．建议复习教学中凡涉及轨迹问题需先回顾梳理各种方法结合问题背景比较优化方法强要在大问（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系研几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析．（）乏几条代化坐化方策的入究解析几何就是用代数的方法研究几何问题目给的几何条件如何代数标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例3山）已知O为标原点，F是双曲线

xyb

的左焦点，A,分为左右顶点，为一且轴点A的线l与段PF交于点轴交于点线BM与轴于点若EN

则离率）A

B2

C．

32

D

解答：从试题中的关键条件ON

出发，因为三点均在y轴，从坐标关系角度加以理解，从而引入关联参数实现几何条件代数化：设点Nxx则直线l:，线BM:，at

，联立即可得：yM

，，案：AF

N

Fx/37

评析显是从年全国Ⅲ卷理变过来的的何条OEON

，）转化与使用是关键．无从下手、找不到该几何条件与探目标的联系或结合点是主要原因．究其原因是未能认真分析几何图形，思考几何关系的形成过程（相关点、N由何而来，如何求得）以及从动态的角度理解几何条件（OEON

能从求离心率的角度认识问题中各个几何量间的联系．本题是动态的、需要一个参变量，可以设

，也可以设Mt

．大凡两直线上的交点或者动点问题数上多结合几何条件或设点或列方程而方程思想求解问题，而求离心率，多是从几何图形中抽象相关性质并转化,b,关系或是方程（组

有关的等量建议必须依题构图合曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征以洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．【原题】（2016年全国Ⅲ卷理）已知O为坐标原点，是椭圆：x2

的左焦点，A，分别为C的左，右顶点．P为C上一点，x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与轴交于点．若直线BM经过的中点，则的离心率为A

B

．

D．

M

yNFx解答：如图可得，在中

MFa）在中

a）MFOEON

，

MFa1c，化简得．MFaa2a（）乏算、理算的析简运的识加/37

有效运算运是求解解析何问题必须重视的环节如何设元设方程、如何整体代换、如何化简等．【例2017全Ⅰ卷理10已知F为物线：y

=4

的焦点，过F作条互相垂直的直线l

，l

，直线l

与交于、两点，直线l

与交D、两，则DE|

的最小值为A16B14．12．10解一：设直线的程：

xty

样方程减少一次的平方算）并联立抛物线方程得：

ty0

，yyty

，ABxx2(y)4

过物线的焦点，选用公减少运算）因为ll

通过焦点且互相垂直同理得

1t

1垂直t换即，t不必重复运算）DE

4t

．A

B

F

D解二：熟记二级结论，简化运算（过抛物线的焦点弦长公|AB

psin

）解答：设直线的倾斜角为，

2sin

，DE

p()

p

，所以|

)cossinsin评析解时将所求量DE孤立的理解两条含参的动弦长之和感运算量没信心求解，只是瞎猜结果．究其原因在于没能先从计算求解方法上用联系的观点认识两条含参的动弦长的区别与联系（方法公式相同，斜率互为负导数不懂得用等价代换的思想简化运算．建议不能只是谈思路方法应通过课堂师生共同演算的体验加实践经验进行算法算理的指导涉求有关过一的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时往只/37

需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换结果中的参数即可．【例2015全Ⅱ卷理）已知椭圆C:

y

(，直线l不原点O且不平行于坐标轴，lC有个交点，B，段AB的点为M．（Ⅰ）证明：直线的斜率l斜率的乘积为定值）m（Ⅱ）若l过N(,m，长线段OM与C交于点，边形OAPB能为平行四边3形？若能，求此时l

的斜率，若不能，说明理由．解答）图，设直线OP斜存在且小于0设直线：ykx

，OP中(y

，yN

x联立方程组，得k

x

m

，

m9

，

，则点

(

m2

mk2

)或者M(

m2

mk29

)若点

m2

mk2

，N(,)因为

，所以

km2929

3

k

3k9

（看出把消，减少一个参数）又由（1）得k

，则有k

9

k

k9

9

k

两边可以同除以9/37

后再两边平方，降低方程的次数）

yy

，

k

，k

7；当点

m22

时，

km2929

3

，

k7

，

7．综上

7．评析此是含参的椭圆中某性转化得到的一般性结论于参数多计算量相对较大，必须结合圆锥曲线的定义并合理利用几何特征设参析算式结构合理消参降，才能准确求得最终答案．获取直线l的率的等量关系需通过平行四边形成立的几何条件获得，如一组平行且边相（条弦长及所对应的斜相等线互相平（两中点横坐标相等采哪一种方法都要设直线与椭圆联立的方程，选择后者稍显简洁．如果根Ⅰ得到两直线的斜率积k

可设得两对角线的斜率分别为，也可以通过解两个二次方程组得到k中点横坐标的有关的系式，但是式子复杂、运算繁琐较难化简．联想题中的关联参数

，容易得到l的率为定值是一般性的结论，在运算求解过程中的某个环节数

能被消去若采取先求得中点Mx,y

的坐标由四点M,B共线转化为斜率相等

，免次联立求弦中坐标的繁杂算．k（）乏数选与题程的化识我们往往需要设元引参，但选择什么作为参数对问题的解决影响较大，【例厦高二理物C:y

2px

p

与椭圆:b

0)有相同焦点F，条曲线在第一象限内的交点为A若直线的率为，则椭圆的离心率为A

B．

．2

D．

64解答直OA的斜率为

抛线C:y24中点

，．依此作图，发现在椭圆中通径一半AF2c程2ace，e

，消元得到有关离心率的方/37

OF

x评析：求得点A

并发现是Rt关。如果仅从代数角度认识问题，直接联立直线椭抛线方程去求点A坐标发现计算量非常庞大耗时耗力难消参．未充分理解题意发“两曲线有相同焦点直线的斜率为2“作用”反应在几何图形中的现象------RtOAF．需从两曲线有相同焦点F与线OA的率为2”这条件去分思考图形的特性，发现OAF是Rt这一性的结论，我们要理解．我们也可以写出直线OA的方程，联立直线与抛物线求得

注意到点的性也可以发现Rt回归椭圆定义与性质分析三角形中边角关系，获取参数a,,二、解决问题的思考与对策：

的等量关系式，从而求得结论．（一）立足概念，返璞归-----适度挖掘图形的特征，善于运用圆锥曲线的定义．数形结合思想为指导，把定量的计算与定性的分图形的几何性质有结合可化计算量上圆锥曲线的定义是本利定义解题是高考的一个重要命题点圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点是图的依据和基础也是问题研究的基础正确利用定义可以使问题的解决更加灵活．已知圆锥曲线上的点以及焦点，应考虑使用圆锥曲线的定义．【例7重21图所示圆．F，F的线交椭圆于P，两，且PQPF

的左焦分别为

，（1若22，PF2，椭圆的标准程．（2若PFy

，求椭圆的离心率．F

OF

xQ/37

PFPF22PFPF22分析归----利用椭圆的义求其方程和离心率突破---利用椭圆的定义，构建三角形，转化为求a,

的值或齐次方程，从而求方程和离心率．解答）由椭圆的定义PFPF2

，故．设椭圆的半焦距为

，由已知PFPF

，因此2cFF

2)

2)

，即

c3

，从而b

．故所求椭圆的标准方程为

4

．（2如图所示，连接QF

，由椭圆的定义，PFPFa

，QFQF

，从而由PFQFaPF由PFPQ，PFPQ因此，4PF，得PF2(22)a

PF，从而PFPF2a

a

．由PF

，知PF

FF

因此

c

a

2

93

．反思归纳：．义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法定义法、待定系数法、轨迹方程法．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆双曲线的焦点所在的坐轴是x轴还轴抛线的焦点是在x轴的半轴负半轴还轴正半轴、负半轴而设出相应的标准方程的形式“算”就是指利用待定系数法求出方程中的abp的最后代写出椭圆曲线物线的标准方程．3．求解离心率的时候，应该寻三角形中的边角之间的关系，从而建的次方程（求值）或者齐次不等式（求范围（二）利用图形，巧妙转------现几何条件代数化．解析几何就是用代数方法来研究几何问题何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：）把几何问题转化为代数问题，）究代数问题，得出代数结论．/37

怎样将几何问题转化为代数问题？）要主动去理解几何对象的本质特征2）善于将几何条件何性质用代数的式表达出来恰选择代数化的形式点关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特如果几何特征不清楚不能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；4）注意等价转化．例如：平行四边形（矩形，菱形，正方形）平行四边形几何性质对边平行对边相等

代数表现斜率相等，或向量平行长度相等，横（纵）坐标差相等对角线互相平分中重合例如：直角三角形直角三角形几何性质（）边垂直（）股定理

代数表现斜率乘积为1，或向量数量积为两点的距离公式（）边中线性质（中线等于斜边一半）两的距离公式例如：等腰三角形（等边三角形）等腰三角形几何性质（）边相等（）角相等

代数表现两点的距离公式底边水平或竖直时，两腰斜率之和为（）线合一（垂直且平分）垂直：斜率或向量；平分：中点坐标公式例如：角的特征角几何性质（）角，直角，钝角

代数表现角的余弦（向量数量积）的符号（）角，半角，平分角角分线性质，等腰，距离相等（）角（角的大小）

三角函数线段比或斜率10/

例如：圆几何性质

圆代数表现（）在圆上点直径端点向量数量积为零（）在圆外点直径端点向量数量积为正数（）在圆内点直径端点向量数量积为负数【例8年省质检理9若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（A）

5326（（）（）2分析：问题归结----用椭圆的图像，求解离心率；策略突破-本题的关键词“若在，此，如果能找到这个特殊的位置，就可以直接解题．根据椭圆以及正方形的对称特性，易知正方形有一个端点在椭圆的长轴端点上．引申思考—这种情况是唯一的？换个说法本题是解答题如作答？巧用几何条件的转换：正方→对角线互相垂直平分，对角线相等．yHxL'

L反思归纳：1．本题的学习要明确两点：若正形的三个顶点在椭圆上且不是椭圆的端点（即正方形的顶点没有关于

轴或轴称么圆上就8个点到原点的距离相等（即以原点为圆心的圆与椭圆有8个点是不可能．圆与坐标轴不平行的弦的垂直平分线一定不过椭圆的中心

ba

（）用几事功关平几知方与质问转化的用关几图（别三形相方在算的用解析几何的研究对象就是几何图形及其性质以在处理解析几何问题时了用代数方程外充挖掘几何条件结平面几何知识，这往往能减少计算量学题中很多11/

图形性质就平几知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化生问题熟悉化例①有图形，不妨画个图形，以便直观思考；—列—”求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程别，韦达理，中点，弦长公式等要把握好；④多感—列解，“设什么？坐标、方程、、斜率、截?列的前提是找关系就转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例】在平面直角坐标系中已知圆Cx

，是

轴上的一个动点，，别切圆C于P，Q两，则线段PQ长的取值范围为．分：题归结---定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略破----解角三角形，化归为圆心到直线的距离．yCA求过分：1明确目标

x

所在三角形及与圆的相关几何特性：根据圆的垂径定理，在等腰DPCQ与PCB中

PC

．．结合解三角形，问题溯源，选定较为直观的几何变，构建的目标函数解析式：2PB2sin

2

21

2AC

，．回归题意确定变量的范围，计算求解：又C，以0

19

，因此线段

2长的取值范围为[2)3反归：线与圆的三种位置关系：相切，相交，相．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密地作出图形几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．12/

【例10如图所示，过点1）的直线与抛物线x交AB两，射线OAOB分和圆x2)

交DE两点，若

，则

的最小值等于A

11BC．23

D．

DAOBE分：题归结----求面积之比

，需要把

表示成某个变量（斜率）的函数，从而把问题转化为求函数的最值；策略突破-通图像，发现直线过点得AOB

（这是关键而得到

SS

1212

OD

，最后转化为

，求得最值．解：y

、(x,y

，由得(x

kx

0，

．又x

，x

，即OAOB

．设Cx,y

、D(,

，直线OA：y

，直线：

，则k

．由得

Ak

，同理

1B(,)k

．由

(x

得

k4D，理E()．OA

，OB1，

，

．

1212

OA

11(1)(1)(111616

．反归：1．解析几何研究的对象是几何形，善用巧用几何图形的特征，把几何特13/

征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决析几何问题角的画图写图数形结合的思想角边的关系消体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（）而求参归立目意，求的标间关系剖变内的何义通整代的想简运过，现而不，洁了准解．运算繁杂是解析几何最突出的特点先解题中要指导学生克服只重视思路视动手运算的缺点运算能力差是学普遍存在的问题仅在解析几何问题中要加强训练在其它板块中也要加强训练有提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中能受到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，尤其是“设而不求发圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．譬如圆锥曲线中的定点定问解决的基本思想从变量中寻求不变先变量表示所求的量或点的坐标过理计算这量或点的坐标和变量无关本策略：定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关这类试题中选择消元的方向是非常关键的另外，对于某些定点问题的证明可先过特殊情形探求定点坐标后对一般情况进行证明这种方法在填空题中更为实用．【例】过抛物线4x的点F的线交抛物线于A、B两，分别过A、B点作准线的垂线，垂足分别为，

两点，以线段A

为直径的圆过点

，则圆的方程为（）A(xy

B(yC．(

17

D．(x

2)

分一问题归结----定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的程及与抛物线的交点坐标

22

；策略突破-圆两个关键量的代形式心半径定参变量入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：

ty

；转化为参数t的量关系式

MC；14/

求过分：联立方程组

tyx

，②消元

ty；③由韦达定理得y,y

，则C

，直径AB

④求半径MCB

MC得方程

，则=

12⑤回归圆：圆心C

，半径的平方MC，案选B

O

F

分二问题归结----确定圆的方程的最基本要素：过焦点的直线AB的程及与抛物线的交点坐标

122

；策略突破-----圆的两个关键量的几何性质：弦的中垂线，求其与直径所在直线的交点．回归确定圆心，作图如下，y

M

M

C

C

x

F

求过分：立足抛物线的概念认识角梯形中A

有个等腰FBB

与

，结合平行性质与三角形内角和定理可得FF

；．立足圆的概念整体认识所得：点F

均在圆上；．回顾确定圆心的位置基本方法：作弦的中垂线，求其与直径所在直线的交点；15/

MFyx2)MFyx2)算求解C(t)

1的点为E,)22

，kkFM

3t212

，所以t所以圆心的标为(；径为，选B反思归纳：1．两种二次曲线的交汇需分清主次”，充分利用相关概念与性质分步朝探究目标化归；．两支圆锥曲线交汇是全国卷高考常见的考查方式，本题涉及圆锥曲线的概念、圆切线问题解决这类问题主要以程思想和数形结合的方法来处理应意恰当运用平面几何知识对其进行求解．【例12如图，在平面直角坐标系中已知椭圆

，过坐标原点的直线交椭圆于、两，其中点在一象限，过作轴的垂线，垂足为C连接，并延长交椭圆于点B，直线PA斜率为．证：对任意k＞0，都有⊥PB．分一问题归结----论与椭圆有关的多条直线的位置关系；策略突破-通设线PA，联立直线与椭圆方程，得到点，A，C的坐标，从而得到直线AB方程，再得到的率，从而证明

，证明到PAPB解：直线PA的程kx

代入，得2

2，记uk1

，则(

A(

(

线的斜为

2

程为y(x，2代入椭圆方程得

x

k

2)，得x

或，因此(

k

，于是直线的斜率k

kk

＝

k2)1k2)

，因此k

，所以PA⊥．分二问题归结----论与椭圆有关的多条直线的位置关系；策略突破-----标是证明⊥，即只需证k16/

．

，且y，且y解：设Py0)，x,)

，则，C(,0)

x

，11两式相减得，((421，AB2

)，

y1x

，即

)y2

，故所以

kyx)＝＝＝kk2x0

，所以PA⊥．反思归纳：1．方法一，利用直线与椭圆联立求点坐标，再转化求直线点斜率，最后利用斜率乘积等于证明垂直，这是常规方法，思维比较自然，但算量大；方法二，利用点A、C在圆上，所以满足椭圆方程，利用点差法，先求出k

12

，再利用

k

，得到结论，方法很巧妙；．设出点的坐标，但目的不是求出坐标，而是通过它作为媒介寻求变量间的关系，立解题目标，简化运算和快速准确解决问题，这就是设而不求．．对于椭圆，有如下结论：若MN

是椭圆a

上关于原点对称两点，P为圆上动点（不同于,N

k

=

e

，特殊地，若AA

是椭圆长轴的顶点，更有此结论，该结论还可推广到椭圆弦中点，以及双曲线也有类似结论．（）数想方互-----整意下用方思处求，用数想范围最．【例2015天理）已知椭圆

+=1

的左焦点为

，离心率为

，点M在圆上且位于第一象限，直线被+y

b4

截得的线段的长为，FM

）直线的率求椭圆的方程）设动点P在圆上，若直线FP的率大于

，求直线OP（为原点）的斜率的取值范围．分问题归结-----通几何图形线的斜率圆的离心率以及直线的斜率范围；策略突破-----(1)由椭知识先求出,c

的关系，设直线的程为(x

，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k的；(2)由(1)设椭圆方程为

，2c线与椭圆方程联立，求出点M的标由FM

3

可求出

，从而可求椭圆方程；(3)设17/

1kcyy1kcyy出直线：

，与椭圆方程联立，求得

x

，出x的范围，即可求直线OP的斜率的取值范围．解：(1)由已知有

，由a3

，可得

c

，

2

，设直线FM斜率为k

，则直线FM的方程为y(

，由已知有

，解得

．(2)由(1)得椭圆方程为

，线的程为y)2c

，两个方程联立，消去，整理得

，解得或x，因为点M在一像限，可得M的标

FMc)

3c

，解得c所以椭圆方程为

．2(3)设点P的标为(x

，直线的斜率为t，

，即y(x

，(x与椭圆方程联立y

，消去，整理得x

(x1)

，由已知，得t

x

3，得，直线的率为，m2

yx

，即ymxx0)

，与椭圆方程联立，整理可得

22．①当x,

时y(x

此m

3,②当x

时y(x

此m是m

2m3综上所述，直线的率的取值范围是

23,【例14四川理）如图所示，椭E

a的心率是，b过点

的动直线l与圆相交于A,两，当直线l平于轴，直线l被圆E截的线段长为218/

求圆方程在平面直角坐标系xOy中是否存在与P

，21222，21222同的定点使得

PAPB

恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．APO

B分问题归结-----通几何图形线的斜率圆的离心率以及直线的斜率范围；策略突破-（1）根据椭圆的对称性，当直线l与

轴平行时，B2,1，

将这个点的坐标代入椭圆的方程

再根据离心率aab

，三者联立，解方程组即可得ab2

，进而得椭圆的方程为

x4

）特殊化直线（平行和垂直出特殊况的点

坐标为Q

．接下来联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系证明：对任意的直线l，有

．设

，由图可看出

xx

，为了证明

QAQB

，只需证明

QAQB

xx

，为此作点关于轴称的点

B

2

，这样将问题转化为证Q,,B

三点共线．解答）已知点2,1在圆上．12所以

，解得a

，．以椭圆

2y方程为2

．

（2当直线

l

与x轴行时，设直线

l

与椭圆相交于,D两．如果存在定点满条件，则

QD

PCPD

，即

QCQD

．所以点

在轴，可设点

的坐标为

．当直线

l

与轴直时，设直线

l

与椭圆相交于M两点．19/

则

，由

PMPN

，有

2

，解得

．所以，若存在不同于点P的点满条件，则点

的坐标只可能为Q

．下面证明：对任意的直线l

，均有

PAPB

．当直线l的率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l

的斜率存在时，可设直线l

的方程为

y

，AB的标分别为

11

，

y．联立4y

，得

kx

．所以

k

，x

k

，x

2

2

．1x12k因此．xxx1212易知，点关于轴对称的点的坐标为

B

．又

k

yy111，xx1

，所以

QB

，即Q,,B

三点共线．所以

xx

PAPB

．故存在与点不的定点

恒成立．y

AP

xB

'反归：1．求轨迹方程要注意利用圆锥线的定义解题．涉及多个动点时，可用动点代入法或参数法求解分主点和从动点与圆锥曲线有关的轨迹求解要注意取值范围和杂点的去除．．对于最值、定值问题的处理，常采用①几何法：利用图形性质来解决；②代数法建立目标函数再函数的最值定某几何量的值域或取值范围般需要建立起方程或20/

yy不等式，或利用圆锥曲线的有界性来求解．三、典问题剖析：圆的问题主要是定义和性质；圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）主要是曲线的定义、标准方程曲性（点离率准线渐近线性问题主要是位置关系围、面积、定点、定值等。下面举几个例子说明．（）心问：【例15全国Ⅰ卷理已知双曲线C：

a>0右顶点为A，以A为心为径作圆A与曲线的条渐近交于M点MAN=60°则C的心率_______解析如所示为等腰三角形，a，ANAM

因MAN60，所以

AP

，OP

b

．所以

a

3b234

，又因为tan

，以

a

3b23b4

ba

，解得b

．所以

b2ea3

．评析本主要考查以离心率为景的双曲线的概念与性质题关键是合理构建符合题意的图像，挖掘几何性质，从中转化抽象出参数,c

的等量关系式；注意用好双曲线中与参数有关的几个不变量双曲线的焦点到渐近线的距离是b）双曲线的顶点到渐近线的距离是

c

特值角度令关联基本量b2可大幅度减小计算．（）积值【例16全国Ⅱ卷理已知椭圆E:

的焦点x轴，A是的左顶t3点，斜率为(0)

的直线交于A，两，点在E上MANA（1当t，AMAN

时，求的面积；（2当2AM时，求k的值范围．解析）法一：当t时由于AMAN21/

，根据对称性可知kAM

，

12△1eq\o\ac(△,)12△1eq\o\ac(△,)所以4

，得3

x

7x

x，以x．又x

，所以x，以S．249解法二：设点

，且MN交

x

轴于点D．为AM

，且AMAN，所以AD，AD

y．由+3

，

y

12x2

．又AD

，所以

12x2

2

，解之得

或．所以AD，以．249（2设直线

x

，m

，t

．则

3a

，

，6ama所以；理m

3

am

．因为AM

，所以

6ma13mmm

．a

32

11m22

，所以k

评析解圆锥曲线中最值范问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系据目标函数和不等式求最值范因这类问题的难点是如何建立目标函数和不等关系立标函数或不等关系的键是选用一个合适变量原则是这个变量能够表达要解决的问题这变量可以是直线斜率直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．（）点题【例172017福省质检）已知点于点．段PF的直分线交l

，直线l:x，直l

垂直l于P，（1求点的轨迹C的程；（）已知点H

，过且与

x

轴不垂直的直线交C于,B

两点，直线,BH

分别交l于22/

，求证：以为直径的圆必过定点．

,yM,yM【解析）题意得QP，即到线l:距离与到点F的距离相等，所以点

的轨迹是以为点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为

2p，p，点Q的迹的程是4．PBPN-1F

-1

A

F

M（2由题意可设直线:

，代入y

，y

0，设

，则my

；又

，设直线

的斜率分别为k,k

，yykk则yyyy4

，设M

，令x得y2M

8y

，同理，得

8yy

，从而y

4yyyyym

；81yyy

8yy

4．又以MN为径的圆的方程为：

y即y

y

yyx

y，令23/

x

，解得x

44从而以MN为径的圆恒过定点

．评析:

该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点定等问题的证明难度较大．定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒立、数式变换等寻找不受参数影响的量．（）值题【例】如图，点A

，B

分别为椭圆C:

的右顶点，bP,N

为椭圆上顶的三点APBP的率分别为

k

14

AP//ON，BP//OM．yM

PNA

O

B

x（Ⅰ）求椭圆C的程；（Ⅱ）判断OMN的积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．解析:（Ⅰ）

b11,44a2,

，椭圆C:4

．（Ⅱ）设直线的方程为kx，M

x

，N

x,

，,4

t

，

4

，xx，k

yy4x4

x

，

x

t

，24/

tt

kt

ktk

ttk

，

x

x

x

kt4t12，4kd

k

，2

k

k

tt2．2tOMN的面积为定值1．评析：圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略求数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；求到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；求线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．结语：近几年解析几何的试题在难度算复杂程度等方面都有所下降突对解析几何基本思想和基本方法的考查点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题析何中解题的基本方法有解析法、待定系数法换、参数法等方法．在复习时应做到牢固掌握圆锥曲线定义；重视基础知识，基本题型的训练；注意课本典型例题、习题的延伸，教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性伸，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通；注意转化条件，优化解题方法．解析几何中有一些基本问题，如两直线垂直的证明、求弦的中点的算等等，对这些问题的处理方法要熟知但不少题目所的条件无法直接使用者使用起来比较困难此，可考虑对条件进行当的转化解过程纳入到学生所熟悉的轨道．强化数学思想方法的训练和运用譬如数与方程思想解析几何的研究对象和方法决定了它与函数方程的不解之”很解析几何问实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质如类讨论思想析何中些公式质有适用条件的，解题时必须注意分类讨论、区别处理．例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在，截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况点不适用于与坐标轴垂直的直线如：数形结合思想，解析几何的本质就是数与形有机地联系起来，曲的几何特征必然在方程函或不等式中有所映函数方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线25/

C：yB3．yB．D．C：yB3．yB．D．的特性．总之解析几何题综合性强对思维能力和运算能力要求较高以在高三复习中既要注重基础，又要有所创新提高；既要有通析通法，又要注意技巧锻炼；做到灵活多变，培养学生养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理指同学的复习，提高效率．四、过练习：．若坐标原点在圆(y)4的部，则实数m的值范围()A(

B(3,

C．(2,

D．

(

)．已知双曲线

（0,0a

）的渐近线方程为yx，则双曲线

C

的离心率为)A

52

B

C．

62

D．6已双曲线

b0)的两条渐近线与抛物线b

px(的线分别交于、B两，O为标原点．若双曲线的离心率为，的积3

，则p）A1B．2．物线x的线与双曲线

．D．a0)的、右支分别交于B,C两点，A为曲线的右顶点，为标原点，若，双曲线的离心率为（）A

3

D231．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为yx的（）2A

x44

在

ym

上存在相异两点到原的距离等于1实数

的取值范围是（）A

B

C．

D．过抛物线y2(p0)焦的直线l与物交于A、点，以AB直径的圆的方程为A

B1

．2或4

D．426/

B或．5或25D．或2A3p,0B．3yB或．5或25D．或2A3p,0B．3y．已知双曲线

两渐近的夹角

4满足sin，点到渐进线的距离d，5则该双曲线的焦距为（）A5

52．已知抛物线C：y2pxp0)和直线lykx

（k，是变量，且k0，b0）交

y

两点，直角坐标系原点为O记直线OA，的率分别为k

，k

，若k

3恒立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（）

．

Dp,0．双曲线

b0)的近线将圆

y

0分，则双曲线的离心率为（）A

B

．

D．211．已知F分为曲线

b0)的焦点和右顶点，过F作轴的垂b线在第一象限与双曲线交于点P，AP的延长线与双曲线在第一象限的渐近交于点Q，AP2A3

，则双曲线的离心率为（）B2

．2

D．．已知抛物线:4焦点为F，线为l，P为C上点，PQ垂l，足为

，MN

分别为PQ，PF的点MN与x轴交于点NRF60则FR等（）A

12

B．2．FF

x分别为椭圆aab

x与双曲线:a0)a

的公共焦点，它们在第一象限内交于点，FMF90双曲线的离心率e的值范围为_________

2，若椭圆的离心率e

，则14．抛物C:y

2(p的焦点F的直线交抛物线于、B两，若

，O坐标原点，则

OF

__________．．平面四边形中连接对线BD，知BD，BDC90sinA27/

45

，则对角线AC的大值为．

yyy．已知椭圆G：

的两个焦点分别为F和F

，短轴的两个端点分别为和个命题：

，点在椭圆G上，且满足PFPF

．当b变时，给出下列三①点的轨迹关于y对称；②存在使椭G上足条件点P仅两；③OP

的最小值为2其中，所有正确命题的序号是_____________．．已知椭圆C:

a的一个焦点为Fb

，其左顶点在圆

12上（Ⅰ）求椭圆C的程；（Ⅱl:x

交椭圆于M两N关于的对称点为N（点

与点不重合直线NM

与

x

轴的交于点，问PMN的积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．．已知椭圆的右焦点与抛物线y

的点重合，点M

在椭圆E．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设

，直线y

与椭圆交A，B两，直线PAPB均圆xyr(r相，求k的．．已知椭圆

0)的、焦点分别为F、F，心率

e

，点D

在椭圆E上设点F且与坐标轴垂直的直线椭圆于A、点段AB的垂直平分线与x轴于点

．（Ⅰ）求点G的坐标的值范围；（Ⅱ）求GAB面的最大值．．在直角坐标系xOy上两个定点(,A(6,0),再取两个动点(0,m

，N,)

，且．（Ⅰ）求直线A与A交M的迹的程；（Ⅱ）过(3,的线与轨迹交PQ过P作x轴与轨迹C交另一点N，为轨迹的焦点，若，证：．28/

y13y13．过点

P

作抛物线C:

的条切线，切分别为

1

22

．(Ⅰ)

证明:

定(Ⅱ)记PAB的接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数，判断以PM为径的圆是否恒过点

?并明理由．．知⊙F：

27与F：

，，F分别为左右焦点的椭圆C：

经两圆的交点（Ⅰ）求椭圆C的程；（Ⅱ）B分为椭圆的右顶点M，N，是圆C上顶点的三点OM∥，∥，试问OMN的积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解析几何过关练习参考答案．．．【解析】求出双曲线的渐近线，利用三角形面积建立方程求解．因为双曲线的离心率

c

，所以3

，所以双曲线的渐近线方程为y3，抛物线的准线

p2

相交于A

31ppB,以AOB的积为p3,p，222解得．．【解析】因抛物线的准线是y

3b33，故Bx,x,22

，则4

，题设若

可

得

3

C，

则

3b3b2

，

即29/

3caa3c，所以e

43

43

，应选答案C．【解析】由题意双曲线焦点在y轴，除A，选C项渐近线为误，故选D．．

y

，错【解析】圆心,与原点之间的距离为

m

m

，当原点在圆外时，则3m4

；当原点在圆外时，则m

；当点在圆上，2=3

显然符合，综上3种况有24．A

，解得1，C【解析过物线y

2p焦的直线l与物线交于A,B

两点以为径圆的方程为

x

y

得长的坐标横坐标为3的半径为4得弦长为8，设直线与抛物线的交横坐标为x则xx

，可得

，故选A．【解析】∵双曲线

4两渐近的夹角足sin，或，2设焦点为(，，渐近线方程为

x，

d

a

，又

，得

c

或，有焦距为5或2．选C．．【解析】由

可得k

2b，则x，x，所以yy

x

2

k

3即yx，所以代入整理可得b

p

，直线方程可化为y

2选D．．B【解析】由圆的方程

y

可圆心坐标为C

，双曲线的渐近线方程为y

ba

，使得渐近线将圆x

y

0平分，则双曲线的渐近线必过圆心，所以30/

bba又c所以ca所以e故B．aa

，a，a11．F

【解析】过Q作QR⊥x轴R，图，由题意设（0由aAF=c-，将xc代入双曲线(c

b，直线的斜率为，所以直线AP的方为a(cy

ba(

x)

，与渐近线联立，得x，所以AR

ac根据相似三角形及

AP2

，得

A2R即

a

，得

c

．B【解析】,N

分别是P中点，

M

F且P

轴，RF物线定义知，

PF,

为正三角形，则FMQM2

1，正三角形边长为4，PQ4,FN2，可得FRN为三2角形，，故选．

【解析MFs

MF

圆定义可得

曲线的定义可得s

，解得s

，a

，由F

，运用勾股理，可得

4c

，即为ac

，由离心率的公式可得

1ee

，由e

2

，可得

7,e8

，2据此有：e

，由

，可得e1

，则双曲线C的离心率e的取值范围为

．【解析】由题意得

px则0,2

，所以OF

p2

，31/

22yx2由x2，P的迹22yx2由x2，P的迹方程为椭圆：p设直线AB的程为y

，设Ay

，且

，因为AF

，所以

AFBF

，则

，①整理得yy，以y，ky2联立①②可得

，即直线的程为

52

，又

5yx22理xy2

p

51，得xp，2105所以根据抛物线的定义可知PP，所以2

OF

．．27【解析】画出图像如下图所示，由sin、BD为值，故在BD为的上运动，由正弦定理得

RR10

，故圆心的坐标为

，的大值即为的值，也即是CO的值，由两点间的距离公式有

O8

．．①③【解析】由题可得因为P椭圆G，且满足PBPF=2

BB

，所以可得P的轨迹为以B，B

为焦点的椭圆故正确②存在b使椭圆上足条件的点可以有四个为以F和F

焦点在x轴椭圆与焦点为和

在y轴的椭圆的交点，③由题可得椭圆：

y6

，联立两方程解得P的坐标：

b

36

y

36

，32/

yy故y

b

,(06)

，当

取到最小值2析）∵椭圆C的左点A在

y上∴23

，又∵椭圆的一个焦点为F

，∴c，

3，∴椭圆的程

3（Ⅱ）记M

x

，则直线与椭圆方程联立y3化简并整理得

，∴

m，ym

由题设知N

∴直线NM

的方程为

，令y，

，S

PF3

m

3

；当且仅当

即

时；∴PMN的面积存在最大值，最大值为1析）因为抛物线y

的点坐标为

，所以c，所以2a

，即a．为b

a

，所以椭圆的方程为

．3（Ⅱ）设

，因为直线PA，与x

r

r

相切，所以

，即

y

，得

yxx

，所以

，整理，得x

．①y联立4得k

kx

，

kx所以x

8,x，代入①，得k．3析）点33/

在且椭圆上，b，

2626e

a

2

，2a，a

2，

，

椭圆