2020年中九年级数学中考二轮-动点探究题(含详细解答)

2020年中九年级数学中考二轮一一动点探究题类型一单动点1.已知，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=AC,AB=6,D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG,直线BG,FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②).(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为;(2)设DE=x,NB=y,求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；(3)如图②，当DE的长度为镉时，求/BFE的度数.图①f；aA图①f；aA第1题图解：(1)BG//CD;【解法提示】二.四边形EFGC是正方形，.CG=CE,/GCE=/GFE=/FEC=90°J「zACB=ZGCE=90°,，&CB=/ECA,-.GC=CE,CB=CA,^CBG^zCAE.JCBG=ZCAE,又..ZACB=90°,BC=AC,D是AB的中点，・./CBG=/CAE=45°,zBCD=45°,CBG=/BCD,.-.BG//CD.(2).CB=CA,CDXAB,ZACB=90°,，CD=BD=AD=3,ZCBA=ZA=45°,易得△CAE^/CBG,•.zCBG=ZA=45，zGBA=/GBC+/CBA=90°..zBEN+ZBNE=90°,£EN+/CED=90°,•.zBNE=ZCED,.zEBN=ZCDE=90°,••ZNBEs/edC,BNBE = DEDC，y3一X^y=-1(x-|)2+3,•--1<0,.,.当x=|时，y的最大值为3;3 2 4(3)如解图，过点F作FH^AB于点H..CB=CA,BD=CD,ZBCA=90°,.CDXAB,CD=BD=AD=3,第1题解图DE3.tan/DCEiyq,CD3•.JDCE=30°,•・四边形EFGC是正方形，.EF=EC,.zCDE=ZEHF=90°,易证ZDCE=/HEF,••.ZCDE^zEHF,.•.dDCE=ZHEF=30°,FH=DE,CD=EH,•.CD=BD,.BD=EH,，BH=DE=FH,•.ZBHF是等腰直角三角形，.•.zBFH=45°,•-EFH=90°—出EF=60°,zBFE=ZBFH+ZEFH=105°..如图，在正方形ABCD中，动点P在边BC上移动(不与端点B、C重合)，作点B关于直线AP的对称点巳连接PE,AE,DE,延长DE交直线AP于点F.⑴若/RAB=15°,AB=4,求DE的长；(2)连接BF,动点P在移动的过程中，/APB-ZCBF的值是否为定值？若为定值，求出其值；若非定值，请说明理由.解：（1）二.四边形ABCD是正方形，.AB=AD,/BAD=90°,・•点B和点E关于直线AP对称，.AB=AE,ZPAB=ZPAE=15°,.AE=AD,/DAE=90°-zBAE=90°-2X15°=60°,二.ADE是等边三角形，.DE=AD=AB=4;(2)值为定值，/APB-ZCBF=45°.理由如下：如解图，设DF与BC交于点K,第2题解图・•点B和点E关于直线AP对称，，ab=ae=ad,/ABP=/ADC=/AEP=90°,/PBF=/PEF,•由(1)得AE=AD,•.zAED=ZADE,.•.zPEF+ZAED=90°,ZADF+/CDF=90°,•.zPEF=ZCDF=/CBF,••zCKD=ZBKF,.•.zBFK=ZC=90°,,__ 1 ozAPB—ZCBF=ZPFB=2XZBFE=45..如图，在Rt9BC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动.M,N分别是AD,CD的中点，连接MN.设点D运动的时间为t.(1)MN与AC的位置关系为;(2)求点D在由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积;(3)若4DMN是等腰三角形，求t的值.a c第3a c第3题图解：(1)MN//AC;【解法提示】在^ADC中，•••“是AD的中点，N是DC的中点，，MN是那DC的中位线，..MN//AC.(2)如解图①，分别取△ABC三边中点E,F,G,并连接EG,FG,HGC第3HGC第3题解图①根据题意，可知线段MN扫过区域的面积就是？AFGE的面积.,.AC=6,BC=8,.AE=3,GC=4,,.zACB=90°,.S?afge=AEGC=12,••・线段MN扫过区域的面积为12;1__ 1_ 1一(3)依题意可知，MD=2AD,DN=2DC,MN=2AC=3.分三种情况讨论：AD=AC=6,(i)当MD=MN=3时，ADMNAD=AC=6,.t=6.(ii)当MD=DN时，AD=DC.1第31第3题解图②1一如解图②，过点D作DHLAC于点H,则AH=]AC=3,一.AHAC•cosA—ad—ab,AB—10,即AD=ii.t=AD=5.(iii)当DN=MN=3时,AC=DC,如解图③，连接MC,则CMLAD.AMAC口.AM6cosA=AC^=AB，即-6-=…18.AM=~5第3第3题解图③36.t=AD=2AM=£综上所述，当t综上所述，当t=5或6或36时,△DMN为等腰三角形.4.如图①，在矩形ABCD中，AB=16,BC=8,在AD边上取一点E,使AE=3,点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN,使点N落在CD上，点M落在矩形ABCD内或其边上，连接BM.(1)当四边形EFMN是正方形时，求AF的长;(2)设^FM的面积为S,AF=x.①写出S与x之间的函数关系式；②在图②中画出S取得最大值和最小值时相应的图形，当 S由最大值变到最小值时，求点M运动的路线长.DN CDA 出图① 图②第4题图解：(1)在正方形EFMN中，•.ZFEN=90°,EF=EN,•.JDEN+ZAEF=90°,在矩形ABCD中，-.ZA=ZD=90°,•.zAEF+ZAFE=90°,•.JDEN=ZAFE,在ADEN与祥FE中，ZD=ZAZDEN=ZAFE,EN=FE•.ZDEN^zAFE(AAS).，AF=DE=8-3=5,.AF的长为5;(2)①如解图①，过点M作MHLAB于点H,连接NF.第4题解图①在矩形ABCD中，.AB//CD,•.JDNF=ZNFB.•・四边形EFMN是菱形，.NE//MF,NE=MF,•.zENF=ZMFN,JDNF—ZENF=ZNFB-ZMFN,即/DNE=/MFB,在ADEN与AHMF中，ZD=ZMHFZDNE=ZMFB,EN=MF•.ZDEN^zHMF(AAS),，MH=DE=5,X/BF=16-x,1 1-、一5 …S=2BFMH=2(16—x)X5=一？x+40;/JGVJwC第4题解图②②如解图②，当点D与N重合时，S最大,此时DE=EF1=5,由勾股定理得AF1=4,当点M落在BC上时，S最小，由①得M2B=DE=5,

丁点M2到AB的距离是定值5,••点M运动的路径是一条线段 M1M2,.MiM2=FiB=16—4=12.••点M运动的路线长为12.5.如图①，点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线，且/BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点。出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为 t秒.(1)当t=2$＞时，则OP=,Smbp=；(2)当那BP是直角三角形时，求t的值；(3)如图②，当AP=AB时，过点A作AQ//BP,并使得ZQOP=ZB,求证：AQBP=3.5 3.3(1)解：1, 4；【解法提示】因为动点2=1.如解图①，过点0图①5 3.3(1)解：1, 4；【解法提示】因为动点2=1.如解图①，过点0图①1一，,P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，故当t=2秒时,八1OP=2xP作那BP的高h,由于/BOC=60。QP=1,故h=OPsin60。号即Szabp=2ABh=2(OA+OB)h=2x(2+1)X^23=343.A 0OBAOB图① 图②第5题解图(2)解：「/BAP</BOP=60°,，筌不可能为直角；如解图②，当/B=90°时，,.zBOC=60°,•.zOPB=30°,.OP=2OB=2,即2t=2,.t=1;当/APB=90°时，如解图③，过点P作PDLAB,垂足为D,贝U/ADP=/PDB=90°.i)UH第5题解图③.OP=2t,.OD=t,PD=V3t,AD=2+t,BD=1-t,.BP2=BD2+PD2=(1-t)2+3t2,AP2=AD2+PD2=(2+t)2+3t2,.BP2+AP2=AB2,.(1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9,即4t2+t-2=0,解得ti=-1+733-解得ti=-1+733-1-7338 ，t2= 8（舍去）.综上所述，当^ABP综上所述，当^ABP是直角三角形时，t的值为1或(3)证明:•.AP=AB,第5第5题解图④，zAPB=/B.如解图④，作OE//AP交BP于点E,・•.QEB=/APB=/B,.AQ//BP,•.zQAB+ZB=180°,又・•/3+/OEB=180°,，4=/QAB,又「ZAOC=Z2+ZB=Z1+ZQOP,ZB=ZQOP,.ZQAOsgEP,AQAO口u^ c百=凉，即AQEP=EOAO,1.OE//AP,・••ZOBEs/ABP,.OEBEBO1AP=BP=BA=3'.OE=1AP=1,BP=3EP,3 2 __3_3 3一.一.AQBP=AQ2EP=2AOOE=2X2X1=3.类型二双点问题1.6.如图，在正万形ABCD中，点E,G分别是边AD,BC的中点，AF=[AB.(1)求证：EFXAG;(2)若点F,G分别在射线AB,BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EFXAG是否成立(只写结果，不需说明理由)；(3)正方形ABCD的边长为4,P是正方形ABCD内一点,当S*ab=Szoab时，求^PAB周长的最小值.4*H 4FB第6题图 备用图(1)证明：.「四边形ABCD是正方形，.AD=AB=BC,ZEAF=ZABG=90°,1•・•点E,G分别是边AD,BC的中点，AF=4AB,,AE1AF1AB=2，BG=2'AEAFABBG，又..ZEAF=/ABC=90°,・•・AEFs/baG,••.zAEF=ZBAG,又..ZBAG+/EAO=90°••.zAEF+ZEAO=90°,••.zEOA=90°,即EF^AG;(2)解：EFLAG仍然成立;(3)解：如解图，过点O作MN//AB分别交AD、BC于点M,N,连接PA,i)If第6题解图•.P是正方形ABCD内一点，S*ab=Soab,「•点P在线段MN上(不含端点),作点A关于MN的对称点A',连接BA'却N于点P,此时PA+PB=PA'-PB=BA，最小，即ZPAB的周长最小.・••正方形ABCD的边长为4,点E为AD的中点,1一八.AE=2AD=2,_ _1_又「AF=4AB=1,「一2厂八aeaf如5.EF=AjAE2+AF2=^5,OA=ef=~5",•.zAMO=ZEOA,ZEAO=ZEAO,・••ZEOAsRMA,AE_OA'OA=AM'.OA2=AMAE,…oa52.AM=AE=5,, 4.aa=2am=5,.BA1^JaA2+AB2=4526,ZPAB周长的最小值为4+例%.57.如图①，在RtMBC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为 2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t(单位：s)(0<t<4),解答下列问题：(1)用含有t的代数式表示AE=;(2)如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形；⑶在运动过程中，t为何值时四边形AQPD的面积最大，求出这个最大值.4—0 C4f0 （：图① 图②第7题图解：(1)(5—t)cm；【解法提示】••.在Rt"BC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,.,.由勾股定理得：AB=10cm,二.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s,，BP=2tcm,，AP1_=AB-BP=(10-2t)cm,••四边形AQPD为平行四边形，，AE=2AP=(5-t)cm...一一.. 一.... 一 AEAC(2)如解图①，当四边形AQPD是菱形时，DQLAP,则cosZBAC=-=—,AQAB~5—t8 25即"2丁=而，解得t=13，25 ，当t=X时，四边形AQPD是菱形；13(3)如解图②，作PMLAC于点M,设平行四边形AQPD的面积为S..PM//BC,•.APMsAbc,APPM口J。—2tPM 6-Ab=BC，即^0~=~6~,■PM=5(5-t)cm, c6, 、 122 - 12, 52 .… 、•.S=AQPM=2t§(5—1)=—yt2+12t=—"5(t—习2+15(0<t<4),12Af0C4foWC图① 图②第7题解图8.如图，在△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位：s)(0qw4).⑴当t为何值时，PQ//BC;(2)设9QP的面积为S(单位：cm2),当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由.1一oCA一。C第8题图 备用图解：⑴由题意知BP=2tcm,AP=(10—2t)cm,AQ=2tcm,.PQ//BC,・•・APQs/abc,APAQ——=—ABAC'10—2t2t 20即,解得t=20,10 8 9即当t为20s时，PQ//BC;9(2)-.AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,AB2=AC2+BC2,「.ABC为直角三角形，/C=90°,如解图，过点P作PD，AC于点D,1f。nc第8题解图则PD//BC,・•・APDs/abc,,AP_PD'AB=BC，TOC\o"1-5"\h\z10-2tpd. 3・10=65-PD=5(10-2t)cm，.S=1AQPD="2t3(10—2t)=—6t2+6t=—16(t—m)2+7.5,2 2 5 5 5 2.. 5，当t=2s时，S有最大值，最大值是7.5cm2；⑶不存在.理由如下:1假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把4ABC的面积平分，则S^qp=-S^bc,一6c 11即一口2+6t=-X-X8X6,5 22整理得t2-5t+10=0,•.b2—4ac=(—5)2—4X10=—15<0,，此方程无解，即不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分.9.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,CDLAB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为 t秒.⑴①求线段CD的长；②求证：ACBDs/abc；(2)设4CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；⑶在运动过程中，t为何值时^CPQ为等腰三角形？请直接写出t的值.第9题图 备用图(1)①解：・・•/ACB=90°,AC=8,BC=6,.AB=10,.CDXAB,C 1 1 .Szabc=?BCAC=2ABCD,BCAC6X824CD=AB=70"=石’•・线段CD的长为您；

②证明：1.ZB=ZB,ZCDB=ZBCA=90°,.ZCBDsABC;(2)解：如解图②，过点P作PHXAC,垂足为H,由题可知DP=t,CQ=t,八24则Cp=y-t,.zACB=ZCDB=90°,•.zHCP=90°-zDCB=ZB,.PHXAC,•.zCHP=90°,•.zCHP=ZACB,・••ZCHPs/bca,PHPC，一=一.ACAB'24PH5—t即T==，.PH=91-|t,255「s=2cqPH=1t(「s=2cqPH=1t(256—5t)2, 12、2=-5(t-T)2+288125'2-—5<0，TOC\o"1-5"\h\zr12工 288当1=~5■时，s最大=而；一, ……12—八144…、24…， 、,……(3)解：当t的值为工秒或二秒或；7秒时，4CPQ为等腰二角形.5 55 11②若PQ=PC,如解上24a2 ②若PQ=PC,如解上24a2 5—ti.即6=10,斛佝t=图②.-.PH±QC,-QH=CH=1QC=：.丁ZCHP^ZBCA./.CH'=CP2 2 BCBA144 24密；③若QC=QP,如解图③，过点Q作QEXCP,垂足为E,同理可得：t=^.综上一一.. .12..144..24.. .一一..所述：当t为了秒或记秒或6秒时,^BQ为等腰三角形•图①图②第9图①图②第9题解图10.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=810.已知：如图，在矩形对角线AC,BD交于点。点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DCPO方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E,过点Q作QF//AC,交BD于点F.设运动时间为t⑸(0<t<6),解答下列问题:⑴当t为何值时，AP=PO;(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;H ECli EC第H ECli EC第10题图 备用图⑶当运动到某一时刻t,OD恰好平分/COP,求出此时的t值.解：（1）,.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,/ABC=90°,1一一.AC=10cm,AO=£C=5cm,如解图①，过点P作PMXAO,-，AP=PO=t,

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