2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法第14讲泰勒展开式2_第1页
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/03/3/第14讲知识与方法泰勒展开式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于x-x0的n点睛:泰勒展开式为高等数学内容,在高中阶段不要求掌握.1.泰勒展开式的形式形式1如果函数f(x)在定义域I上有定义,且n+1阶导数存在f这里,ox-x我们称上式为函数f(x)在点当x0=0时,上式变为f(x)=∑i形式2如果函数f(x)在定义域I上有定义,且n+1阶导数存在f(其中Rn+1=f(n+1)(ξ)(n+1)!x-x其中,f(n)(x)表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)当x0=0时,上式变为f(x)=∑i2.常见函数的泰勒展开式由泰勒展开式,我们可以得到几个常用的初等函数在x=0处的泰勒展开式(1)11-(2)(1+x(3)ex(4)ln?(1+x(5)sin?x(6)cos?x公式(1)1+x+x2+?+xn+oxn=11-xln?(1+即ln?(1+x)=x反过来,如果对公式(4)求导,则可得到11+x=1-x+x2-?+(-1)nx由于sin?x是奇函数,所以公式(5)右侧只有奇次方项;cos?x是偶函数,所以公式(6)右侧只有偶次方项.对公式(5)求导,即得公式(6);反之,对公式(6)求导,即得公式(5).对于公式(5)和(6)中的负号全部改为正号并两式相加,即可得公式(3).公式(3)可以看作是e=1+1+12!+?+1n!3.常用的泰勒展开式的及其应用我们从上面的几个展开式截取片断,就构成了初等数学中经常考查的导数不等式:(1)当x?0时,ex?1+x+x2(2)当x?0时,x-x22?ln?(1+(3)x-x36?sin?(4)1-x22?cos?x(5)1+x(6)当0<x<1时,x-1x<ln?x<(7)当0<x<1时,12x-1x由ln?x<x-1可得-ln?x>1-x,进而ln?1x>1-x?ln?x>1-1x=x典型例题【例1】已知函数f((1)若x=0恰为f((i)证明:12(ii)求f(x)在区间(2)若a=1,f(cos?x证明:11【例2】已知函数f(x)=(x(1)当a=1时,求f'(2)当a=0时,证明:f【例3】已知函数f((1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,【例4】函数f((1)若f(x)?0,求(2)m为整数,且对于任意

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