2023届高考数学二轮复习三角常考问题第2讲余弦定理正弦定理

08/807/8/第2讲余弦定理、正弦定理典型例题【例1】在中,设角所对的边分别为.若边上的高为,则的最大值是（）A.2B. C. D.4【答案】D【解析】由三角形面积公式得,即.所以.【例2】在△ABC中，已知，则的最大值是________.【答案】【解析】因为,即,且,角为钝角,所以,即,角为锐角.故【例3】如果满足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC有且只有一个，那么k的取值范围是________.【答案】或【解析】解法1(图象法)由正弦定理得,即.由题意知,满足条件的有一个,则或,即或解法2(几何法)当满足条件的有两个时,,或,由此得到的取值范围.如图,,当或时,以为半径的圆弧与切于点,或与交于点.由于只有一个,可得或.【例4】在△ABC中，已知，则△ABC的形状是________.【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】由得所以或,所以或,故是等腰三角形或直角三角形.【例5】在锐角三角形ABC中，已知，求的最小值.【解析】在中,有,于是,故,等号两边同除以,可得,.于是.【例6】在△ABC中，设角所对的边分别为，已知.（1）若△ABC的面积等于，求.（2）若，且，求△ABC的面积.【解析】(1)因为,所以,即.又,即,解得.(2)因为,即,即,所以或,即或.又，取，则由得.【例7】在△ABC中，设角，所对的边分别为.已知，且.（1）当时，求的值.（2）若角B为锐角，求p的取值范围.【解析】(1)由已知条件和正弦定理得可知为方程的两个根,进而求得或.(2)由余弦定理得,即.因为,所以.由知,是正数.故.【例8】在锐角三角形ABC中，设角所对的边分别为，且.（1）求角B.（2）求的取值范围.【解析】(1)由得,所以.又为锐角三角形,故.(2)结合(1)的结论有.由得,则故的取值范围是.【例9】在△ABC中，设角所对的边分别为，已知.（1）求角B的大小.（2）若，求b的取值范围.【解析】(1)因为,所以,,,又,所以.在中,.(2)解法1：因为,所以.又,所以.解法2：利用正弦定理可求得 【例10】满足条件的△ABC面积的最大值是________.【解析】解法1：设,则.设,则消去得,故.解法2：(阿氏圆法)建立直角坐标系,设,,由得,即,即,所以.【例11】如图，在平面直角坐标系xOy中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点.试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值.【解析】设点的坐标为,点的坐标为,再设所求点的坐标为,则有当时,取得最大值.因为在上是增函数,所以当时,取最大值.故所求点的坐标为.【例12】如图，当测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=20m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB=________.【答案】【解析】在中,,则.由正弦定理得.在Rt中,.【例13】已知△ABC的三个内角满足，求的值.【解析】解法1：由题设条件知.因为,所以.将上式化为.利用和差化积及积化和差公式,上式可化为将代入