常数项级数的概念与性质

关于常数项级数的概念与性质第1页，共36页，2023年，2月20日，星期三2为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、出它的威力.

在自然科学和工程技术中,?无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现如谐波分析等.造函数值表).级数来分析问题,也常用无穷第2页，共36页，2023年，2月20日，星期三3常数项级数的概念收敛级数的基本性质柯西审敛原理小结思考题

第12章无穷级数constantterminfiniteseries12.1

常数项级数的概念和性质第3页，共36页，2023年，2月20日，星期三4引例

依次作圆内接正边形,

这个和逼近于圆的面积A.即设a0表示内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,

则圆内接正一、常数项级数的概念用圆内接正多边形面积逼近圆面积.边形面积为第4页，共36页，2023年，2月20日，星期三51.级数的定义(常数项)无穷级数一般项如

以上均为(常)数项级数.(1)第5页，共36页，2023年，2月20日，星期三6这样,级数(1)对应一个部分和数列:称无穷级数(1)的2.级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的无穷级数定义式(1)的含义是什么?也算不完,永远那么如何计算?前n项和部分和.(1)从无限到有限,再从有限(近似)到无限(精确)第6页，共36页，2023年，2月20日，星期三7部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.定义12.1则称无穷级数并写成即常数项级数收敛(发散).(不存在)存在当n无限增大时,部分和数列sn有极限s,如果sn没有极限,第7页，共36页，2023年，2月20日，星期三8对收敛级数(1),为级数(1)的余项或余和.显然有当n充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的.(1)称差误差为第8页，共36页，2023年，2月20日，星期三9例而所以,的部分和

级数级数发散.第9页，共36页，2023年，2月20日，星期三10解(重要)例讨论等比级数(几何级数)的收敛性.

级数收敛;

因为

所以第10页，共36页，2023年，2月20日，星期三11级数发散;级数发散;级数发散.

综上:级数变为

因为

所以

所以第11页，共36页，2023年，2月20日，星期三12解例判定级数的收敛性.因为所以第12页，共36页，2023年，2月20日，星期三13其余项为即所以所以级数收敛,第13页，共36页，2023年，2月20日，星期三14例

因为后式减前式,得证证明级数并求其和.收敛,第14页，共36页，2023年，2月20日，星期三15故

所以,

此级数收敛,且其和为

2.第15页，共36页，2023年，2月20日，星期三的部分和分别为则于是也不存在极限.证性质12.1设常数则有相同的敛散性.所以,有相同的敛散性.结论:

级数的每一项同乘一个不为零的常数,

敛散性不变.二、收敛级数的基本性质16第16页，共36页，2023年，2月20日，星期三17讨论级数的敛散性.解例因为为公比的等比级数,是以故级数收敛;级数发散.第17页，共36页，2023年，2月20日，星期三18性质12.2设有两个级数发散.收敛,发散,均发散,敛散性不确定.证极限的性质即证.级数的部分和结论:

收敛级数可以逐项相加与逐项相减.第18页，共36页，2023年，2月20日，星期三19

例都收敛.无穷递减等比数列的和第19页，共36页，2023年，2月20日，星期三20都发散.但级数收敛.例若两级数都发散,不一定发散.第20页，共36页，2023年，2月20日，星期三21将级数的前k项去掉,的部分和为级数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两所得新级数性质12.3

添加、去掉或改变有限项不影响证一个级数的敛散性.推论11.2

在级数中添加、去掉或改变有限项不影响一个级数的敛散性.第21页，共36页，2023年，2月20日，星期三22性质11.4设级数收敛,在此收敛级数内可以任意加(有限个或无限个)括号,①一个级数加括号后所得新级数发散,注则原级数发散.事实上,加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛,则根据性质11.4,

收敛

发散②一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定.收敛于原级数的和所得新级数仍要强调的是,收敛级数一般不能去掉无穷多个括号;发散级数一般不能加无穷多个括号.(这个性质也称无穷和的结合律).第22页，共36页，2023年，2月20日，星期三23性质12.4收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和数列为原级数部分和数列的一个子数列,因此必有例如证第23页，共36页，2023年，2月20日，星期三24证此定理是级数收敛的必要条件.设则所以定理12.5则注(1)此定理常用来判别级数发散;(3)此定理是必要条件而不是充分条件.(2)也可用此定理求或验证极限为“0”的极限;即如调和级数但级数是却是发散的.(后面将给予证明)第24页，共36页，2023年，2月20日，星期三25例判别下列级数的敛散性级数收敛的必要条件常用判别级数发散.解题思路第25页，共36页，2023年，2月20日，星期三26解由于发散解由于发散第26页，共36页，2023年，2月20日，星期三27

解而级数所以这个等比级数发散.由性质11.1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,是以收敛.由性质11.2知,第27页，共36页，2023年，2月20日，星期三28练习为收敛级数,a为非零常数,试判别级数的敛散性.解因为收敛,故从而故级数发散.级数收敛的必要条件:第28页，共36页，2023年，2月20日，星期三29三、柯西审敛原理（柯西准则）

定理12.6(判别级数收敛性的柯西收敛原理)有证

设所给级数部分和数列为sn由判断数列收敛性的柯西准则知,对于任意正整数p,柯西收敛准则数列{xn}收敛的充要条件是:有数列{sn}收敛的充要条件是:有显然,可改写为当有有第29页，共36页，2023年，2月20日，星期三30利用柯西收敛原理证明调和级数发散.例证考虑此级数的一段显然,这说明:不论n多么大,调和级数的这一段的绝对值都不可能任意小,由柯西收敛原理得知,调和级数发散.柯西收敛准则数列{xn}收敛的充要条件是:有第30页，共36页，2023年，2月20日，星期三31利用柯西收敛原理判定级数例解的收敛性.因对任意正整数p,都有第31页，共36页，2023年，2月20日，星期三32有对于任意正整数p,按柯西收敛原理,所以取正整数成立.柯西收敛准则数列{xn}收敛的充要条件是:有第32页，共36页，2023年，2月20日，星期三33则下列结论正确的是研究生考题(数学三)选择,4分练习(D)对因为即所以有极限,有极限,所以(D)成立.(C)错因为所以即(A)错则则与(D)正确矛盾.同理(B)错.第33页，共36页，2023年，2月20日，星期三34常数项级数的基本概念基本审敛法:(3)按基本性质;则级数收敛;由定义,(2)