高中数学人教a版选修2-3 第二章 随机变量及其分布 2.2-2.2.3

5555555学业分层测评建议用时：45分钟[学业达标]一、选择题1一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%则服用这种药的5病猪中恰有3猪被治愈的概率为()A．0.9C．C×0.93×0.12

B．1(1－0.9)3D．C3×0.130.92【解析】

由独立重复试验恰好发生k次的概率公式知，该事件的概率为C3×0.93×－0.9)2.【答案】C12假设流星穿过大气层落在地面上的概率为，现有流星数量为5的流星群穿过4大气层有2落在地面上的概率为()1135A.1645

B.

51227C.

512

D.

1024【解析】此问题相当于一个试验独立重复5次有2发生的概率所以P13135＝C223＝.44512【答案】B3在4独立重复试验中事件出现的概率相同若事件A少发生的概

12152152155121521521552111P＝C×5522265率为，则事件A1次试验中出现的概为)811

2A.353

B.

5C.

D.64【解析】

651设所求概率为p则1(1－p)4＝，得p.813【答案】A4位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移1动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位2于点(2,3)概率是()【97270045】A.C．C×【解析】

3

B．2×5D．C2×C×如图由题可知质点P必须向右移动2向上移动3才能位于点(2,3)问题相当于5独立重复试验向右恰好发生次的概率．所以概率为22×3＝C25.故选B.

1312513125331n7n【答案】B5若随机变量ξB5，则P(ξ＝最大时，k的值为()A．12B．23C．3或4．5【解析】依题意P(ξk)＝k×k×5－k，k＝328080

40可以求得P(ξ＝，P(1)＝P(ξ2)＝，P(ξ3)，P(ξ243243243243101＝4)＝，P(ξ5).当k＝21，P(ξ＝最大．243243【答案】A二、填空题6已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为，如果公路上每天有000辆汽车通过公路上发生车祸的概率为_______恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.9991000≈0.36770,0.999999≈0.36806，精确到1)【解析】设发生车祸的车辆数为X则X～0000.001)．(1)记事件A“公路上发生车祸”则P(A)＝1P(X0)＝10.999000≈－0.367700.6323.(2)恰好发生一次车祸的概率为P(X1)＝C1×0.001×0.999999≈0.368≈0.368【答案】0.63230.36817在等差数列{a}中，＝2，a＝－4，现从a}的前项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数不影响，那么在这三

n12356789216n12356789216312次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为．(用数字作答)【解析】

由已知可求通项公式为＝10－2n(n＝，)，其中，a，a，a为正数，a＝，a，a，a，a，a为负数，∴从中取一个数为正数的概421率为＝，取得负数的概率为.1052∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C2×2×1＝.52256【答案】

258下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X一个随机变量，且X～B(10,0.6)；②某福彩的中奖概率为某人一次买了8张，中奖张数X一个随机变量，且X～B(8p)；③从装有5红球5白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且～Bn.【解析】①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．【答案】①②三、解答题9(2016二检测某市医疗保险实行定点医疗制度按照“就近就医方便

112·4112·41413422管理”原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构若甲乙丙丁4参加保险人员所在地区有AB，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．1【解】由已知每位参加保险人员选择区的概率为4人员选择A社3区即4独立重复试验，即X～B4，所以P(Xk)＝Ck4－(k＝0,1,2,3,4)，所以X的分布333列为XP

0错

1错

2错

3错

4错10.(2016·柳州高二检测甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队32获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的胜负是相互独立的．55(1)求甲队以3∶2胜的概率；(2)求乙队获胜的概率．【解】(1)设甲队以3∶2胜的概率为P，则P

323648＝C222·＝.55531252232232992(2)设乙队获胜的概率为PP＝3＋C22·＋C22·2·＝.55555553125[能力提升]

1222nn151B20，，P(k)＝·n1222nn151B20，，P(k)＝·n666121Pn121121nnnn1甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则“32”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为，则本次比赛甲获胜的概率是()A．0.216B．0.36C．0.432D0.648【解析】甲获胜有两种情况一是甲以20获胜，此p＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1胜，此时＝C1×0.60.4×0.6＝，故甲获胜的概率p＝p＋p＝0.648.

1【答案】D2(2016孝感高级中学期中)掷一枚质地均匀的骰子n次设出现k次点数为1概率为P(k)，若n20则当P(k)取最大值时，为()A．3B4C．8D10【解析】掷一枚质地均匀的骰子20次中出现点数为1的次数为Xk20－kk

.n＝－1.P5k当1k≤3，－1>1，P(k)>P(k－1)．当k≥，－1<1，5k5kP(k)<P(k－．因此k＝3时，P(k)取最大值．故选A.【答案】A3n位同学参加某项选拔测试同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________.【97270046】

1331333【解析】

所有同学都不通过的概率为(1－p)n，故至少有一位同学通过的概率为1(1－p)n.【答案】1(1p)n4“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势记为1游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”“布”，“布”胜“头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X分布列．【解】(1)玩家甲、乙双方在1游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪)(头，布(剪刀，石)剪刀，剪刀)(剪刀，布，(布，石头)，布，剪刀)，布，布，共有基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，剪刀，布)，布，石头)，共有3个．1所以在1游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P.3(2)X的可能取值分别为0,1,2,3，X～3，28则P(X＝0)＝C·3＝，327124P(X＝1)C11·2＝，339

33113122P(X2)＝C22·1＝，339P(X3)＝C33＝.327X的分布列如下：XP

0错

1错

2错

3错

1.2.1

排列A组1.a∈,且a<27,(27-a)(28-a)(34-a)于)A.B.C.D.解析:8括号里是连续的自然数依据排列数的概念可知正确.答案:D2.0,1,2,…,9这10个数字组成无重复数字的三位数的个数是)A.9C.

B.D.解析:百位上有9排法其他数位上有种排法共有9个无重复数字的三位.答案:A3.位老师和三名学生站成一排,要求任何学生都不相邻,则不同的排法总数为()A.144C.36D.12

B.72解析:先将老师排好,有种排法形成个空位将名学生插入个空位中有种排法,故共有=144种排法

答案:B4.位老师和三名学生站成一排,若任意两位老师不相邻,任意两名学生也不相邻,则不同的排法总数为)A.144

B.72C.36D.12解析:先将三位老师排好有种排法,再将3名学生排在靠左的3个空里或靠右的3个空里,共有2排法所以共有·2=72种不同排法.答案:B5.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动要求每人参加一天且每天至多安排一人,要求甲安排在另外两位前面,不的安排方法共有()B.30种C.40种D.60种解析:分类完成:甲排周一,只能从周二至周五中选排,有种排法②甲排周二,乙、丙有种排法;③甲排周三,乙、丙只能排周四和周五,有种排法故共有=20不同的安排方法答案A6.排7工作人员在月到10月7日值班每人值班一天,其中甲两人都不能安排在10月1和10月2日不同的安排方法共有

种.解析:安排甲、乙两人在后5天值班,有种排法安排其余5人值班时无约束条件有种排法.故共有=2400种不同的安排方法

有

答案:24007.5个大人要带2个小孩排队上山小孩不能排在一起也不能排在头、尾共种不同的排法.(用数字作答)解析:先让5个大人全排列,种排法,2个小孩再依条件插空有种排法,共有=1440种不同的排法.答案:14408.7班委有7不同的职务甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任有多少种不同的分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担,有多少种不同的分工方案?解:(1)先排正、副班长有种方法,再安排其余职务有种方,分步乘法计数原理,知共有=720种不同的分工方案(2)7人中任意分工,有种不同的分工方案甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有=3600(种.9.0,1,2,3,4,5六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5倍数的五位数?(3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:

第1:0在个位时有个第2类:2在个位时首位从1,3,4,5中选,种十位和百位从余下的数字中选,有种.于是有个;第3:4在个位时与第二类同理也有个.由分类加法计数原理知共有四位偶数=156(个.(2)5的倍数的五位数可分为两类:个位上的数字是五位数有个;个位上的数字是5五位数有个.故满足条件的五位数共有=216().(3)比1325大的四位数可分为三类第1:形如2□□□eq\o\ac(□,,3)□□□□□,5□eq\o\ac(□,,)eq\o\ac(□,)个;第2:形如14□□,15□□,共有个第3:形如134,135□共有个;由分类加法计数原理知比1325大的四位数共有270().B组若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,称这个数为“数”现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数组成无重复数字的三位数其中“伞数”有()A.120个B.80C.40个D.20解析:①当十位是3时个位与百位从1,2中选,有种选法②当十位是4,位与百位从1,2,3中选,有种选法;③当十位是5,位与百位从1,2,3,4中选有种选法;④当十位是6,位与百位从1,2,3,4,5中选有种选法,

则伞数有=2+6+12+20=40(个).答案:C2.1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()B.96C.108D.144解析:第,先将全排有种排法.,将1,3,5分别插入排列产生的前3个空中,若1,3相邻且不与5相邻有种排法若1,3,5均不相邻有种排法.故六位偶数有)=108.答案:C3.4名男生和名女生中选出人,分别从事三项不同的工作若这3人中至少有1女生,则不同的选派方案共有

种.(用数字作答)解析:没有女生的选法有种,从7人中选3人共有种选法,则至少有1名女生的选派方案共有=186().答案:1864.个人坐在有八个座位的一排上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法总数为.(用数字作答)解析:先排好5个空座位然后让三个人带着座位插到中间4个空中去以共有=24(种).答案:245.语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,中选4门安排在上午的4课中,其中化学不排在第四节共有多少种不同的安排方法解:方法一(分类法):分两类:

第1,化学被选上种不同的安排方法第2,化学不被选上,有种不同的安排方法故共有=300种不同的安排方法.方法(步):第1步,第四节有种排;第2步,其余三节有种排法,故共有=300种不同的安排方.方法三间接法):从6门课程中选4门安排在上午有种排法,化学排第四节有种排法,故共有=300种不同的安排方法.6.条铁路有n个车站为适应客运需要,增了车站,且知m>1,客运车票增加了62种问原有多少个车站?现在有多少个车站?解:由题意可知,有车票的种数是种,在车票的种数是种,=62,即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62.∴m(2n+m-1)=62=2×31,∵m<2n+m-1,且n≥2,m,nN,∴解得m=2,n=15,故原有15个车站,现有17个车站7.三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都,那么这个数为凹数,如524,746都是凹数.那么0,1,2,3,4,5这六个数字能组成多少个无重复数字的凹数?解:符合要求的凹数可分为四类:第1,十位数字为0的有个;第2,十位数字为的个;

第3,十位数字为2的有个;第4,十位数字为的个.由分类加法计数原理知凹数共有=40(个).故这六个数字能组成40个无重复数字的凹数

第一章

单元综合检测(二)时间120分钟

满分分)一、选择题本大题共12小题，每小题5，共60)1下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和都是180归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n－2)180°.A．仅①②C．①②④

B．①③④D．仅②④解析：合情推理包括归纳推理和类比推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．归纳推理，应是由部分对象的特征，推出全部对象的特征．②④都具备此特征，①是类比推理，③中仅有一个同学的成绩，并不能推出全班同学的成绩，故选答案：C2正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋正弦函数，因此f(x)＝2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确

121222124121121222124121323142411221231241214解析于函数f(x)＝2＋1)不是正弦函数故小前提不正确．答案：C3由“正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想：“正四面体的内球切于四个面__________．”()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选答案：C4已知命题p为真命题，命题p为假命题，则在命题q：p∨p，q：p∧p，q：(p)∨p和q：p∧(¬p)中，真命题是)A．q，qC．q，q

B．q，qD．q，q解析：由复合命题的真值表知，：p∨p为真，：p∧p为假，q：(p)∨p为假，q：p∧¬)为真，故真命题是q，q，故选C.答案：C115用反证法证明：若ab>0则＋2a≤＋2b假设为()ab11A．＋2a<＋bab

11B．＋2a≥＋2－bab

nnn＋1nnnnnnnn＋1234n5nnnn＋1nnnnnnnn＋1234n5n11C．＋2－a>＋2bab

11D．＋2a≤＋2bab解析：易知“≤”的对立面为“>”．故选C.答案：C6知数列{a}满足a2

2a＝＝1可归纳出{a}的一个通项公式为)2an1A．a＝n1n1

B．a＝

nnC．a＝

n

D．a＝

n121222a2232122解析：由a＝和a＝1得a＝＝a＝＝＝a＝＝，2a2132421522＋32225122a＝＝＝.归纳上述结果，得到猜想：＝.236n125答案：A7如下图所示，4小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1前后排动物互换座位，第次左右列动物互换座位，第3前后排动物互换座位，第4次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2010互换座位后，小兔所坐的座位号为)

A．1C．3

B．2D．4解析：由题意得第互换座位后，4小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2010＝502＋2所以第次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在号座位上，应选B.答案：B1427a8已知x>0不等式x＋≥2x＋≥3x＋≥4…可推广为x＋≥nxx2xxn＋1则a值为()A．n2C．21422解析：由x＋≥2x＋＝x＋≥3xxx2273x＋＝x＋≥4…，x3x3n可推广为x＋≥n1故nn.xn答案：B

B．nD．22n29用数学归纳法证明“42n－1＋3n1(n∈N*)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1为了使用归纳假设，对413k＋2变形正确的是()A．16(42k1＋k＋1)－×3k＋1B．4×42k＋9×3C．(42k－＋31)＋×4123＋D．3(42k1＋3＋1)－×42k1

nnnnn123nnnnnn123n解析k时为4－1＋31k＋时为41＋＋＝2×41＋3×3＋1＝16(42k－1＋＋1)－13×3k＋.故选A.答案：A10对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数1}，第二组有2数{3,5}，第三组有数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内数之和S与其组的编号数n的关系是()A．S＝nC．S＝n

B．S＝nD．S＝n(n＋1)解析：当n1，＝1；当2，S＝2；当n3，＝2733；∴归纳猜想S＝，故选B.答案：B11古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数，又是正方形数的是()A．289C．1225

B．1024D．1378

nn111111111111nn1111111111111111111111111111n解析：根据图形的规律可知，第n三角形数为＝

2

，第n个正方形数为b＝n，由此可排除选项D(1378是平方数，将选项，BC中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知，符合题意的是选项C，故选答案：C12六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图1)所示，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB＋AD)，那么在图(2)所示的平行六面体ABCD－ABCD中，AC2＋BD＋CA2＋DB等于()A．2(AB＋AD2＋AA2)C．4(AB＋AD＋AA)

B．3(AB2＋AD＋AA2D．4(AB2＋AD)解析：如右图，连AC，AC，则四边形AACC是平行四边形AC2＋AC2＝2(AA＋AC2)．连BD，BD，则四边形BBDD是平行四边形，∴BD2＋DB2＝2(BB2＋BD2)．又在▱ABCD中，2＋BD2＝2(AB2AD2)，2＝BB，∴AC2＋BD2＋CA2＋DB2＝2(AA＋AC2＋2(BB＋BD2)

11111111＝2(AC2＋BD2＋BB2＋AA)＝2[2(AB2＋AD2)＋2AA2]＝4(AB2＋AD＋AA2)．故选C.答案：C二、填空题(本大题共4题，每小题5，共分1113513f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*经计算得f(2)＝f(4)>2f(8)>f(16)>3，23n227f(32)>，推测当n2时，有_______．2解析：观测f(n)中n规律为2k

(k＝1,2，…2k不等式右侧分别为，k＝1,2，…，2∴f(2n)>

2n(n≥2)．2答案：f(2n)>

2n(n≥2ab14若符号“”表示求实数ab算术平均数的运算，即＝，则a2＋(b*c)用含有运算符号“”和“＋”表示的另一种形式是________．bc2abc解析：a(b*c)＝a＋＝22＝

2

＝(a＋b)*(ac)．答案：(a＋b)*(ac)

nn15观察下图：12343456745678910…则第__________行的各数之和等于2011.解析：观察知，图中的第的各数构成一个首项为n公差为1共2n1)项的等差数列，其各项和为：1S＝(2n－1)n＋＝(2n－1)n＋－1)(n－1)＝(2n1)2.2令(2n1)2＝20112，得2n12011.∴n＝1006.答案：100616中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系等．如果集合A中元素之间的一个关系～”满足以下三个条件(1)自反性对于任意a∈A，都有aa(2)对称性：对于abA，若ab则有ba(3)传递性：对于a，bc∈A若a～b，b～，则有ac.则称“～”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)请你再列出三个等价关系：____________________________________________.答案：“图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”(答案不唯一三、解答题本大题共6题，共70分

nnnn1n＋nnnnn1nnnnnnnn1n＋nnnnn1nnnnnnnnnnn＋2nnnn17(10观察右图，可以发现：1342，1359＝2，1357＝16＝4，1357＋25＝5，……由上述具体事实能得出怎样的结论？解：将上述事实分别叙述如下：对于正整数，有前2奇数的和等于2的平方前3奇数的和等于3的平方前4奇数的和等于4的平方前5奇数的和等于5的平方……由此猜想前n(n∈N*个连续奇数的和等于n的平方1＋3…＋(2n1)＝n218(12)[2012江苏高考已知各项均为正数的两个数列{a}和b}满足a

na＋b＝，n∈N*，b＝a＋2nN*.

b2，n∈N*，且{a}是等比数列，求证：＝a，a＋a＋b解：∵a>0，b，∴≤a＋b<(a＋b)，∴1<a＝≤a＋2设等比数列{a}的公比为qa>0知q>0面用反证法证明q1

2.(*)

212n11212q111n212n11212q111na若q>1则a＝<a≤q

2∴当n>log

q

a

2时，a＝aqn>2与(*)矛盾；1a1若0<q<1则a＝>a>1，∴当n>log时，a＝aqn<1，与*)矛盾．qa综上所述，q1从而＝a，nN*.19(12有n圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n－n2分．证明：(1)n＝1，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成＝k2－k＋2分；那么当nk＋1，依题意，第＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋k2－k＋22k(k＋－(k＋1)＋2即nk＋1命题成立，由1)(2)知命题成立．20(12如图所示，已知BECF分别为ABC边AC，AB上的高G为EF的中点，H为BC的中点．求证：HG⊥证明：连结HE，HF，由CFAB且H是BC的中点，可知FH是Rt△BCF斜边上的中线，1所以HF＝BC.2

nnn2n12n12nn22nn1n12nnnn2n12n12nn22nn1n12n1同理可证HE＝BC.2所以HF＝，从而△EHF等腰三角形．又G为EF中点，所以HG⊥EF.21(12设等比数列a}的通项公式为a＝2n1，记b＝2(loga＋1)(n∈b＋1b＋1b＋1N*)，证明：对任意的n∈N，不等式…>n1成立．bbb证明：依题意得b＝2(loga＋1)＝2(log2－1＋1