高中数学知识点整理汇总

高数必修知点第章函概（）数概①

、

是个空数，果照种应则f

，于合A

中何个x，在集

中都唯确的f()

和对，么样对（括合A，B以到B对法f）叫集合A

到

的个数记:A

．②数三素:义、值和应则③有义相，对法也同两函才同函．（）间概及示①a,是两实数且，满a的实的集叫闭间记

[,b]

；足

的数

x

的合做区，做(a,b)

；足

，

的数

x

的合做开半闭区间，分别记做[,b

，b]

；满足,a,x,x

的实数

x

的集合分别记做[,)

．注：于合{}与区()

，者a可以大或于b，后必

，前可不立为集而者须立．（）函的义域，般循下则①f()②f()③f()

是式，义是体数是式数，义是分不零一实．是次式，义是被方为负时实的合④数数真大零当数指函的数含量，底须于且等1⑤

中

xk

2

()

．⑥（）数的数能零⑦(x)

是有个本等数四运而成函时则定域一是基初函的定域交．⑧于复函定域题一步是若知f()定域由等()解．

的义为[ab]

，复函f[(x)]

的⑨于字参的数求定域根问具情需字母数行类论⑩实问确的数其义除函有义，要合问的际义（）函的域最求数值常方和函值的法本是同．实上如在数值中在个最（），个就函的小大值因求数最值值，实是同，是问的度同求数域最的用法①察：于较单函，们以过察接到域或值

．．．．．．．②方：函解式成有变的方与数和然后据量取范．．．．．．．③判别式法：若函数f(x)

可以化成一个系含有y

的关于

x

的二次方()x2()x(y)则a(y0

时由,y

为数故须

2

(y)a(yy

，而定数值或值④等法利基不式定数值或值⑤元：过量换到繁简化为的的三代换将数数最问转为角数最问．⑥函法利函和的函的义与域互关确定数值或值⑦形合：用数象几方确函的域最．⑧数单性．（）数表方法表函的法常的解法列法图法种解法就用学达表两变乊的应系列法：是出格表两变乊间对关．象：是图表两变乊的应系．（）射概①

、

是个合如按某对法f

，于合A

中何个素在合

中有一元和对，么样对（括合

，B

以

到

的应则f

）做合A

到

的射记f:A

．②定个合A到集B的映射且aA,B做素a的，素a叫做素b的象（）数单性①义判方函数

．果素a和素对应，么们元叫的

性

定

图

判方质如对属定

（）用定域内某区上任

义的性

函数单调

两自量值x、,1当x<时，都有f(x)<f(x，那么说f(x)在这个区间上是增函数

f(xox

f(xx

（）利用已知数单性（）用函数象在个间象上为第-2-页共页

增（）利用复合数

．．．．．．．（）．．．．．．．如对属定

义域内某区上任两自量值x、x，1当x<时，都有f(x)>f(x，那么说f(x)在这个区间上是减函

)x

y=f(X))

x

（）利用已知数单性（）用函数象在个间象降减数

（）利用复合数②公定域，个函的是函，个函的是减数增数去个函为增数减数去个函为函．③于合数yf[g()]

，ug()

，yfu)

为，g)

为，yf[g(x)]

为增若yf(u

为减，g()

为，则y[(x)]

为；若yu)

为，g(x)

为，f[g()]

为；yf(u)

为，g()

为，f[(x)]

为．（）“√函数

f)

ax

(a

的图与质

yf()

分在a]

、[a

上增数分在[

、]

上减数（）大小值定①般，函f(x)

的义为I

，果在

o

x数满足（1）对于意I，都fx)（）存

I0

，得

f()

．么我称M是数()

的大，作

f

max

(x)

．②般，函)

的义为I

，果在数满：1）对于意I，都f()

；（）存

I0

，使得

f()m

．那么，我们称

是函数f()

的最值，记作f

max

(x)m

．（）数奇性①义判方函数的

性

定

图

判方质第-3-页共页

．．．．．．．．．．．．m如对函定义内意个x都f(－x)=－,么数．．．．．．．．．．．．m

（）用定义要判定域否于点称（）利用图函数

象图关原的

对）奇偶

如对函定

（）用定性

义内意个x都f(－x)=f(x),那么数叫偶数

义要判定域否于点称（）利用图象图关轴对）②函()

为函，在x0处有义则f(0)0

．③函在y两相称区增性同偶数y轴两相称区增性反④公定域，个函（奇数的（差仍偶函（奇数，个函（奇数的（商是函，个函与个函的积或）奇数第章基初函Ⅰ〖2.1〗指函【2.1.1指与数的算（）式概①果

x

n

,aRxRn

，

n，么x叫做a的n次方．n奇时a的n次方根符

表；是数，数的正次方用符a表示负次根符示0的

n

次根；数

a

没

n

次根②子

叫根，里

n

叫根数

a

叫被方．

n

为数，

a

为意数当

n

为数，a0③根式的性质：

a

；当

n

为奇数时，

an

；当

n

为偶数时，n

n

a

0)(0)

．（）数数的念①数正数数的义：

mn

n

m

(a

0,m,

且n

．的正分指幂于0②数负数数的义：

mn

)n

m

m

且n

．的负数数幂有义注意诀底取数指取反．（）数数的运性①

rr

(

0,r,s)

②

(a

r

)

s

(ars)第-4-页共页

③()

r

r

r

(a

0,b

0,r)【2.1.2指函及性（）数数函名

指函定

函

y

(

0且1)

叫指函

y

x

x

y图

y

y

(0,1)(0,1)O

O

定域值过点奇性

图过点(0,1)非非

，当x时

．单性

在

上增数

在

上减数x(x

(函值变情

xx

(0)(

xx

((影

a

变对图象的

在一限，

a

越图越；第象内

a

越图越．〖2.2对函【2.2.1】对与对运（）数定①

N(

0,

且a

，

x

叫以

a

为

的数记

N

，中

a

叫底，

叫做数②数零有数③数与数的化xNaa（）个要对恒式

x

NN．log1

，

loga

，loga

．（）用数自然数常对：lgN

，logN；然数ln，即N（中„．e第-5-页共页

n（）数运性n

如aaMN

，么①法

log

a

M

log

a

log()a

②法

loglogNa

M③乘nMlogM()a

④a

N

N⑤log

M

nb

log(bn)

log⑥底式b(b且log【2.2.2】对函数其质（）数数函名

对函定

函

logx(a且叫做数数

1

1

图O

x

O

x定域值过点奇性

图过点(1,0)，当x时，．非非单性

在(0,

上增数

在(0,

上减数函值变情

logx(xalogx(xalogx(0xa

log(xalog(alog(0xaa

变对图的

在一限，a越图越低在四限，a越大象靠影反函的念设数yx)

高的义为A，域，式fx)

中出x，式x)

．果于在

中任一值通式xy)

，

x

在A

中有一定值它应那式y)

表x

是

的数函x)

叫函f)

的函，作

f(y)

，惯改成

fx)

．第-6-页共页

（7）函的法①定函的义，原数值；从函式yf(x)f(yfx)改成，注反数定域③

中解

f

(y

；（）函的质①函y)

与函

f

(x

的象于线对称②数f)

的义、域别其函

f

(x

的域定域③(,)

在函fx)

的象，

'(b)

在函

fx)

的象．④般，数yx〖〗幂数（）函的义

要反数它须单函．一地函

叫做函，中

x

为变，是数（2）函的象（）函的质①象布幂数象布第、、象，四限图象幂数偶数，象布第一二限图象于

轴称；是函时图分在一三限图象于点称；是奇偶数时图只布第象．②定：有幂数(0,

都定，且象通点1,1)

．③调：果，幂数图过点并在[0,第-7-页共页

上增数如0，则函的

pp象pp

上减数在一限，象限近

x

轴y

轴④偶：奇数时幂数奇数当

为数，函为函．

qp

（中,互质p

和

）若

为数q

qq为数，yx是奇数若p为奇q偶时则yx是偶数若p为偶数为奇时则

yx

qp

是奇偶数图特征：函

，

时，若

，其图象在直y

下方，若x

，图在线上，时若0x

，图在线方若，其象直线

下．〖充识二函（）次数析式三形①一般：

f)2bx(0)

②顶点式：

f(x)x)(0)

③两根式：f)xx1

（2）二函解式方①知个坐时宜一式②知物的点标与称有或最（）有时，使顶式③已抛线

x

轴两交，横坐已时选两式f(x

更便（）次数象的质①次函

f)ax

2

(

的图象是一条抛物线对称轴程为

x

b2

,

顶点坐标是4ac2(,)a

．②

时抛线口上函在

(

bb]上递，[,递，时2a2aaf

min

()

aca

；时抛线口下函在

(

bb]上增在[2

上减当bx时，f()2

aca

．③二次函数

f)2(a

当20

时，象与轴有两个交点M(x,0),M(xMM122

a

．（）元次程

0(

根分一二方根分是次数的要容这分识初中数虽所及但不系统完，解的法重二方根判式根系关系理韦定）运，面合第-8-页共页

22二函图的质系地分一二方实的布22设元次程

ax2bx

的实为

1

，

x1

．

f()2

，以下个面分此问：开方：

②称位：

x

b2a

③别：

④点数符．①＜≤1

y

y(k)

ak

1

O

2

k

1

O

x

2

()0

②x≤＜12

y

y

()0

a1

O

x

2

k

1

O

x

k2

③x＜＜x12

af＜

()y

y

(k)O

k1

x()

1

O

k

x

2

④＜≤＜12

y

(k1

0k

y

O

k1

x1

x

2

k2

O

k1

1

x

2

k

2

2a

k1

)02⑤且有个x（x）足＜（或x＜11

f

1

f

0，同考f

)=0或f1

这种况否符第-9-页共页

f)a00f)fyf)a00f)f

y

(k1

k1O

k1

x1

k

2

2

O

x1

k1

x

2

k

2

k)02

)02⑥＜＜≤＜x＜122

此论直由推．（）次数

f)2(a0)

在区[pq]

上最设f(x

在间[q]

上最值，最值m，令x0

12

(

．（Ⅰ当a时（口上①

bb，f()②p，则f()③若22a

，mfq

(q)

f

(p)

f

(q)

f

(p)

f①

OxOff(ab，M(q)②，Mf(p)2

(q)

f

Of

)

f

f(p)(q)Of(p)(q)aⅡ时开向

f

Of

a

)

①

bbb，Mf()②若p则M()③若2a

，M(q)

f(p)

f

(p)

f

fa

(q)

f

)O

O

O

f

f

(p)

f

第-10-页共19页

0f0f①

bb，mf(q)②22

0

，f()

．(p)

f

O

f

f

(p)

(q)Of

f

a

)

第章函的应一方的与数零1、函数零的概：于函数

f()(xD)

，把使

f()

成立的数

x

叫做函数f()(xD)

的点、数点意：数

f()

的点是程

f()

实根亦函

f()

的象与

x

轴点横标即方

f()

有数

函数

f(x)

的象

x

轴交

函数

f()

有点3、数点求：求数

f(x)

的点eq\o\ac(○,1)

（数）方

f()

的数；eq\o\ac(○,2)

（何）于能求公的程可将与数

yx)

的象系来并用函的质出点、次数零：二函

y

(a

．１△＞，程

ax

2

有不实，次数图与轴有个交，次数有个点２△０方

2

有相实（重）二函的象

x

轴一交点二函有个重点二零．３△０方

ax

2

无根二函的象轴交，次数零．高数必修知点第章三函数1角的点原重合角始与x轴非半重，边在几限，称角,第象角集为第-11页共19页

为几限

sinrrxy，sinrrxy，第象角集为第象角集为第象角集为

180k270,k360,终在轴的的集为

终在

轴的的合

k终在标上角集为

、角边同角集为

3、度于径的所的心叫做弧．、径

r

的的心

所弧长

l

，角

的度的对是

lr

．5、度与度的算式

2

，

1

，

1

．、若形圆角

r弧为l，长，积则lr

，Cr

，

S

1lrr2

．

y、是个意小角的边任一

的标

xy

原点

T的离

2

，，tanx0rrx

．

OM

A

x8、角数各限符：一限全正第象正为，第象正为，四限弦正9、角数：

，

cos

，

．10.三角函数的本关：

2

2

2

sin

2

；2

sin

tan

cos

,cos

sintan

．.（）倒关：

tan

cot

11、数诱公：

，cos

，tan

．

，

cos

，

．

，

cos

，

tan

．

，cos

，

．口：数称变符看限第-12-页共19页

maxminmaxmin2maxminmaxmin2

cos．6sin

sin

．口：弦余互，号象．、①的象所点左右平

个位度得函

sin

的象再函sin

的图象上所有的标伸（短到原来的

倍（纵坐标变）到数

的象再函

的象所点纵标长缩）原的

倍横坐不）得函

．②

sinx

的象所点横标长缩）原的

倍纵标变，到数y

的象再函

y

的象所点左右平

个位度得函

的象再函

的象所点纵标长缩）原的（坐不）得函

sin

．13、数

的质①幅

；周：

2

；频：

1f

；相：

；初：

．函

，当x

时取最值

min

；

时取最值

max

，

1y，yy，2

22

．14正函数余函和切数图与质性

质

函

数

cos

tanx

yy=cotx图象

-

-

o

3

2定义域值

RR第-13-页共19页

x,RR

函；函；k

当时

最

ymaxk

时；时

，当，

ymaxy

；时

当，

既最值无小值

既最值无小值y

．周期

性奇偶

奇数

偶数

奇数

奇数性单调性

在kk2在上增函数；在3k,k上减函数上是减函．

在k,k22函．对称性

对称中对称2

心轴

对称中k2对称

心轴

对称中,02无称

心

对称中,0无称

心第章三恒等换1、角与的弦余和切式：⑪

cos

sin

；

cos

；⑬

sin

cos

sin

；sin

cos

sin

；第-14-页共19页

2tan2

tan

（

tan

⑯

tan

tan

（

）、倍的弦余和切式：⑪

sin2sin

cos．12

2

cos

2

(sin

2⑫

cos2

2cos

升幂式

cos

,1222降幂式

2

2，sin22

．3、合一变形

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y

形。

sin

，中

．数选2-2导及应一.数念引1.导的理义瞬速。般，数

yf)

在

x

x

处瞬变率

lim

f(f(

，我称为数

y()

在

x

处导，作

f

)或

，

f

)

=

f(f()lim2.导数几意：曲的线.通图,们以出点

P

趋于

P

时直

PT

与线切容知，线

PP

的率

f)f(x)kx

，点

P

趋于

P

时函

f(x)

在

x

处导就切

PT的斜率即

f(x)f(x)f

)3.时记

导数当x化，fy,即

便的一函，我称为fx)导数.

f()

的函有f

lim

f(xf()二.数计基初函的数式:1若

f(c

为数则f

；

若(x)

,则f

;3若f)sin

,则f

x

若f(x)

,则

f

x

;5若(

,则

f

a

若f(),则

第-15-页共19页

,右若f(,右

log

,则

f

x

8若fx),则f

1x导的算则1.[(x)

2.[fx)(

(x)f(x)

3.[

f(xf(x)f()]()[g()]

复函求

f(u)

和

ug()

,称

可表成

的数,即

yf((x))

为个合数

))三.数研函中应1.数单调与数:一的,数单性其数正有下系：在某个区

(a)

内如果

，么数

yf(x)

在个间调增如

f

，么数

yf)

在个间调减.2.数极与数极反的函在一附的小况.求数

f(

的值方是:（1）如果附的侧

f

,那f(x)

是大（2）果附的侧

f

,右

f

0

,那

f()

是小;4.数最小与数求数

f()

在

[a]

上最值最值步：求数函

f(f(

在内极；(,)的极与点的数

f()

，

f()

比，中大是个大，小是小值.附高数常公及用论.1.数单调设

x21

那(x))f(x)1())()112

f(x)f()1f(x在a,b上是函；x1f(x)f()1f(x在a,是函.x12函

yf()

在个间可，果

f

，

f()

为函；果

f

，

f()

为函.2.果数

f()

和

g(

都减数,则公定域,和数

f(x)(x

也减数;如果数yf)

和

()

在对的义上是函,则合数

y[(x)]

是函.3．偶数图特奇数图关原对，函的象于轴对;反来，果个数图关原对，么个数奇数如一函的象于轴称那这个数偶数4.若函数

yfx)

是偶函数则

f(x)f()

；若函数

yf()

是偶函数，则第-16-页共19页

f(x()

.5.于数

yfx)

x

),

f(x)f(b)

恒立,则数

f()

的称是数

x

;两个数

yf()

与

yfb

的象于线

x

对.6.若

f(x)()

,则数

yfx)

的图象关于点

a(2

对称;若

f(x(x)

,则函数yfx)

为期

a

的期数.．项函

P()n

n0

的偶多式数多式数

((

是函是函

P(x)P(x)

的次即数的系全零.的次即数的系全零.．互反数两函的系f(a)f)a

.若函

y(kx)

存反数,则其函为

y

k

[f

(x)

]

,并是

y

[

(

,而数y

(是y

k

[f(x)

]

的函.28.几常的数程正例数

f(cx,(x)f(x)f(),f

.数数f(x),

f(x)f()f(yf

.对函

f(x

log

a

x

,

f(xy)(x(y),f(aa

.函(x)

x,

fxyf(x)(yf

.余函

f(x)x

,正函

()，f()f(xf(y)x)

，f1,lim0

()x

.29.几函方的期约（）

f(xf(x)

，

f(x)

的期（2）

f(x()

，

f()

1(f(x0)，f(x)(xf()f(x

,或

f()(x)f(x),(f()

,则

f()

的期；

f()

f()

((x

0)

，

f(x)

的期；第-17-页共19页

1212

f(x)f(x)f(x)12且f(af()()xa，(x)1f(x(x)12fx(x()f(x(x)

的期；(x)fxf(x)f(x