2022年东莞市高中数学竞赛决赛模拟试题答案

2022年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是（）A．B．C．D．2．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A．B．C．D．3．设函数，则是（）A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数C.偶函数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数4．已知点，若点是圆上一动点，则的最小值是（）A.B.C.D.5．已知，其中为常数，且.若与之积为一个常数，则这个常数的值为（）A．B．C．D．6．若正四面体的外接球体积为，则该正四面体的体积为（）A．B．C．D．二、填空题xyO O1-1第9题7．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是xyO O1-1第9题8．设集合，若，则实数的取值范围是▲.BDC第10题A9．下图是函数图像的一部分，则的值为BDC第10题A10．如图，在△ABC中，，，，点在边上，45°，则的值为▲.11．一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为▲.12．已知是直线与圆的公共点，则当取最小值时，实数的值等于▲.三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）已知向量，，．（1）若∥，求角的大小；（2）若，求的值．14.（本小题满分12分）如图，ABC为一直角三角形草坪，其中米，米，为了增大草坪的面积，现对草坪周围重新规划，进行改造建设，设计将其扩大为一个等边三角形DEF，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．求三角形DEF面积的最大值．第第14题15．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是平行四边形，且⊥，(第15题)分别是(第15题)（1）求证：平面；（2）若，垂足为，求证：平面．16．（本题满分14分）已知正实数满足，且，求的最小值．17．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点，，,分别为线段,上的动点，且满足．（1）若，求直线的方程；（2）证明：△的外接圆恒过定点（异于原点）．OOABDCxy（第17题）18．（本题满分14分）设函数，，其中是实数，且．求关于的方程实根的个数．2022年东莞市高中数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）题号123456答案DCACAC二、填空题7．8．9．10．11．12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）解：(1)因为，所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以，又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分(2)因为，所以，化简得，又，，则，，所以，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又，，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分14.（本小题满分12分）解：在三角形DBA中，设，则，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分三角形CBE中，有，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分则等边三角形的边长为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以边长的最大值为，所以面积的最大值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分（第15题）15．（本题满分1（第15题）证明：（1）取的中点，连结，，因为是的中点，所以，，又因为是中点，所以，因为四边形是平行四边形；所以，所以,所以四边形是平行四边形，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以．因为平面，平面，所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为平面,平面,所以，又因为,,平面，平面，所以平面，又平面，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又，是中点，所以，又，平面，平面，所以平面.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分16．（本题满分14分）解：令，，则．．．．．．．．．．5分令，则，且．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分于是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分因为函数在上单调递减，所以．因此，的最小值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分17．（本题满分14分）（1）因为，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又因为，所以，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以直线的斜率，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分所以直线的方程为，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）设，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则，因为，所以，所以点的坐标为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又设的外接圆的方程为，则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分解之得，，的方程为，整理得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分令所以（舍）或所以的外接圆恒过定点为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18．（本题满分14分）解：由方程得，．．．．．．．．．①由，得，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分方程①两边平方，整理得．②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，由②得，所以原方程有唯一解，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，由②得判别式，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分1）时，，方程②有两个相等的根，所以原方程有唯一的解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分2）且时，方程②整理为，解得．由于，所以，其中，即．故原方程有两解．