五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题13计数原理(解析版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题13计数原理

一、选择题

1.（2022高考北京卷•第8题）若（2x-l）4=4/+//+。2*24,则4+。2+4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

解析:令x=l,则4+43+42+6+4=1，

令x=-l,则4一%+4+/=（一3）4=81,

1+81

故包+生+ao=0=41，

故选,B.

【题目栏目】计数原理'二项式定理、二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2022高考北京卷•第8题

2.（2022新高考全国II卷•第5题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两

端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列

方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空

方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不

同的排列方式，

故选：B

【题目栏目】

【题目来源】2022新高考全国II卷•第5题

3.（2020年高考课标II卷文科•第3题）如图，将钢琴上的12个键依次记为设1。＜/＜心12.若

k-/=3且/T=4,则称aj,为原位大三和弦；若k-/=4且尸=3,则称。〃aj,以为原位小三和弦.用

这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）

【答案】C

【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：k-j=3,j-i=4.

.•"•=1,/=5,攵=8；，=2,/=6,攵=9；2=3,/=7,攵=10；，=4,j=8,Z=ll：i=5,j=9,攵=12.

原位小三和弦满足：k_j=4,j-i=3.

.•.i=l,j=4«=8；i=2,j=5,k=9；j=3,j=6«=l（）；i=4,./=7,Z=ll；i=5,/=8«=12.

故个数之和为io.

故选：c.

【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题.

【题目栏目】计数原理'分类加法计数原理的应用

【题目来源】2020年高考课标II卷文科•第3题

4.（2020年新高考全国I卷（山东）•第3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个

场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同安排方法共有（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

【答案】C

解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C：；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法

数有C；；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有C：・C；=6x10=60种.故选：c

【题目栏目】

【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第3题

5.（2020年新高考全国卷n数学（海南）•第6题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能

选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2种B.3种

C.6种D.8种

【答案】C

解析：第一步，将3名学生分成两个组，有C；C；=3种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有g=2种安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6种，故选：C

【题目栏目】

【题目来源】2020年新高考全国卷n数学（海南）•第6题

6.（2020北京高考•第3题）在（五-21的展开式中，X2的系数为（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】（五-2『展开式的通项公式为：&|=仁（五广'（-2）'=（-2）'3?，

令三=2可得：r=l,则』的系数为：（-2）'C；=（-2）x5=-10.故选：C.

【题目栏目】计数原理'二项式定理\二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2020北京高考•第3题

二、多选题

7.（2021年新高考全国II卷•第12题）设正整数〃=%・2°+q・2+…+a-•2卜,+4.2*,其中%e{0,1},

记矶"）=%+4+…+4.则（）

A.0（2〃）=<y（〃）B.研2〃+3）=0（〃）+1

C.0（8"+5）=<y（4“+3）D.（y（2"-l）=〃

【答案】ACD

ikk+l

解析：对于A选项，0（〃）=4+4+…+4,2n=a„-2'+o,-2+---+ak_]-2+ak-2,所以，

<y（2〃）=4）+4+…+%.="（〃）,A选项正确；

对于B选项，取”=2,2〃+3=7=l-2°+lN+L22，=。⑺=3,而2=0・2°+12,则。（2）=1,即

O⑺中。⑵+1,B选项错误；

14

对于C选项，8fl+5=a。•2，+4・2’+…+%-2*+3+5=1,20+1,2"+</（）-2,+ut-2+•••+ak•2"，,

所以，（y（8〃+5）=2+q）+q+…+6，

23t+2123

4/7+3=a0-2+al-2+-2+3=1-20+1-2+a0-2+a,-2+•••+,

所以，”（4〃+3）=2+旬+q+…+4,因此，矶8〃+5）=。（4"+3）,C选项正确;

对于D选项，2"—l=2°+2i+~+2'i，故。（2"-1）=〃，D选项正确.

故选ACD.

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项式定理的应用

【题目来源】2021年新高考全国H卷•第12题

三、填空题

8.（2022新高考全国I卷•第13题）（1—十卜+4展开式中⑶的系数为

（用数字

作答）.

【答案】-28

解析：因为,『心+才-分+才,

所以（x+y）8的展开式中含Vy6的项为c*2=-28x2/,

X

1一十j（x+y）'的展开式中。6的系数为一28

故答案为：-28

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2022新高考全国I卷•第13题

432

9.（2021年高考浙江卷•第13题）已知多项式（1-以+（x+l）4=x+a]x+a2x+a3x+a4，则％=

%+%+%=

【答案】（1）.5;（2）.10.

解析：（工-1）3=丁-3d+3工-1,

（x+1）4=f+4x3+6x2+4x+1,

所以4=1+4=5,a,=—3+6=3,

生=3+4=7,4=-1+1=0,所以/+6+44=10故答案为5,10.

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项展开式中的系数和问题

【题目来源】2021年高考浙江卷•第13题

10.（2021高考天津•第11题）在的展开式中，龙6的系数是.

【答案】160

解析：（2丁+口,的展开式的通项为&]=c（2/厂（3=2b-rC；-x's-4r,

令18-4r=6,解得r=3,所以f的系数是23。；=160.

故答案：160.

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2021高考天津•第11题

1L（2021高考北京•第11题）在（d—L）4的展开式中，常数项为.

x

【答案】-4

解析：的展开式的通项靠“■G口广信广㈠了或…,

令12-4r=0,解得“3，故常数项为n=（-l）C=T.

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2021高考北京•第11题

i345

12.（2020年浙江省高考数学试卷•第12题）设（1+2x）5=«i+a2x+aix+a4x+a5x+a6x>贝!IOs=

01+02+。3=.

【答案】⑴.80（2）.122

解析：（l+2x）5的通项为=G（2»=2'G/,令，=4,则1=24或/=8（尻4,...4=80；

4+%+%=+23。；+25C5=122

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第12题

13.（2020天津高考•第11题）在的展开式中，f的系数是

【答案】【答案】io【解析】因为L+4]的展开式的通项公式为

（+1=玛/=C>2Jx5-3r（r=o,1,2,3,4,5）,令5—3r=2,解得r=l.所以？的系数为

C；x2=10.故答案为：10.

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2020天津高考•第11题

14.（2019年高考浙江文理•第13题）在二项式（a+x）9的展开式中，常数项是,系数为有理

数的项的个数是.

【答案】【答案】16夜，5

9

［解析】（五+工户展开式的通项为Tr+i=C；（四）9-V（r=0,1,2,--.,9），当/■=0时，可得二项式（a+x）展

开式的常数项是7；=C：＞（夜）:16夜.若系数为有理数，则（9-r）为偶数即可，故，可取1,3,4,5,7,9,

即岂,式,式工,工o共5项.

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项式定理

【题目来源】2019年高考浙江文理•第13题

15.（2019年高考上海•第4题）己知二项式（2x+l）’，则展开式中含/项的系数为.

【答案】【答案】40

r5rr5r

［解析］7；+l=C5-（2x）--r=C5-25f-x-

令5—r=2,则r=3,一系数为C;靖=40.

【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2019年高考上海•第4题

16.（2018年高考数学浙江卷•第16题）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数

字，一共可以组成个

没有重复数字的四位数.（用数字作答）

【答案】1260

解析：解法1：分类讨论

四位数中有数字0的有=540种，无数字0的有=720种，

则共可以组成540+720=1260个没有重复数字的四位数.

解法2：正难则反

无限制四位数有=1440种，其中数字0在首位的有C；C；A；=180种，则共可以组成

1440-180=1260个没有重复数字的四位数.

【题目栏目】计数原理\排列问题

【题目来源】2018年高考数学浙江卷•第16题

17.（2018年高考数学浙江卷•第14题）二项式（也+」-»的展开式的常数项是___________.

2x

【答案】7

/8TliY（1Y—8-4r、（1Y

解析："C网（五J=品.匕卜3,令__=04fr=2,v.=*图=7,

故二项式（狐+1-）8的展开式的常数项是7.

2x

【题目栏目】计数原理'二项式定理\二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2018年高考数学浙江卷•第14题

18.（2018年高考数学上海•第3题）在（1+尤）7的二项展开式中，一项的系数为.

【答案】21

7x6

解析：由得厂=2,所以/项的系数为C；=2_）=21.

1x2

【题目栏目】计数原理'二项式定理'二项展开式通项公式的应用

【题目来源】2018年高考数学上海•第3题

四、解答题

19.(2019年高考江苏•第24题)设(1+x)"=%++…+。”父,〃口4,〃GN*.已知a；-2a2a4.

⑴求”的值；（2）设（l+JJ）