2023中考数学冲刺：新定义(学生版+解析版)

2023中考数学冲刺：新定义

选择题（共10小题）

2.（2021•广西）定义一种运算：a-b,则不等式（2x+l）*（2-x）>3的解集是（）

（b,a<b

111

A.x>\或B.-1<XV《C.x>l或x<-1D.或-1

(a-b(a>2b)

3.(2020♦潍坊)若定义一种新运算：a®b=\,“…八，例如：301=3-1=2；504=5+4-6

(a+b—6(a<2o)

4.（2019•深圳）定义一种新运算以〃•尸团=4"-应例如［改=9-层，若匿_/2必=_2,则

m=（）

22

A.-2B.—•?,C.2D.一

55

5.（2021•罗湖区校级模拟）对于实数〃和从定义一种新运算“⑤”为：a®h=这里等式右边是

a-b

实数运算.例如：1（8）3=3=―:.则方程M8）2=三一1的解是（）

］-34o%-4

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

6.（2021•永州）定义：若1（T=M则x=logioMx称为以10为底的N的对数，简记为/gM其满足运算

法则：/gM+/gN=/g（M・N）（M>0,N>0）.例如：因为1。2=］00,所以2=/gl00,亦即/gl00=2；Ig4+lg3

=lg\2.根据上述定义和运算法则，计算（/g2）2+/g2〃g5+/g5的结果为（）

A.5B.2C.1D.0

7.（2018•常德）阅读理解：a,b,c,1是实数，我们把符号信力称为2X2阶行列式，并且规定：［力="

2

Xd-bXc,例如：PI=3x（-2）-2X（-1）=-6+2=-4.二元一次方程组片出［”=右

1—1—21a%+外丫=

（-

xc

的解可以利用2X2阶行列式表示为：一孝；其中。=方N,Dx=i即|,

。2如c2b2\以2^21

~D

问题：对于用上面的方法解二元一次方程组I：］，：」］?时，下面说法错误的是（）

（OJLyJL/

A.D=P1J=-7B.Dx=-14

ID—Z>

C.Dy=21D.方程组的解为

8.（2020•咸宁）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”.下列函数的图象中不

存在“好点”的是（）

2

A.y=-xB.y=x+2C.y=-D.y=x9-2x

aba+b

9.（2021•嘉峪关）对于任意的有理数a,b,如果满足二+二=­那么我们称这一对数①A为"相随

2324-3

数对”，记为（小b）.若（"7,77）是“相随数对"，则3m+2［3〃计（2n-1）］=（）

A.-2B.-1C.2D.3

10.（2021•通辽）定义：一次函数y=ar+〃的特征数为［a,b］,若一次函数y=-2x+m的图象向上平移3

个单位长度后与反比例函数）=-|的图象交于43两点，且点48关于原点对称，则一次函数y=

-2x+m的特征数是（）

A.[2,3]B.[2,-3]C.[-2,3]D.[-2,-3]

二.填空题（共8小题）

11.（2017•深圳）阅读理解：引入新数i,新数，・满足分配律，结合律，交换律，已知，.2=-1,那么（1+i）

,（1-i）—.

12.（2021秋•福田区校级期末）规定：符号因叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：[5]=5,

n—-1

[2.6]=2,[0.2]=0.现在有一列非负数〃1,〃2,〃3,…，已知〃1=10,当4N2时,an=an-1+1-5（f1

Ti—2

-[—『]）,则〃2（）22的值为.

13.（2021•贵港）我们规定：若Q=（xi,yi）,b=（及,yi）,则=xix2+yiy2.例如Q=（1,3）,b=（2,

4),则=1X2+3X4=2+12=14.已知」=(x+1,x-1),b=(x-3,4),且-2«,则的

最大值是.

14.（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点P（;ro,yo）到直线4v+By+C=0的距离公式为："=冬驾±9,

JA2+B2

则点尸（3,-3）到直线产-|x+翔距离为.

15.（2018春♦蒙阴县期末）一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求

解：

点P（刈，*）至IJ直线Av+B），+C=0的距离（d）公式是："=3型力'Q

如：求：点P（1,1）到直线2x+6y-9=0的距离.

|2xl+6xl-9|二1二国

解:由点到直线的距离公式,得d=

/92..2—闻一20

十b

根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离.

则两条平行线Zi：2x+3y=8和b：2x+3>-+18=0间的距离是.

16.（2020•河北模拟）对于三个数a、b、c,用M{a,h,c}表示这三个数的中位数，用max{a,b,c}表

示这三个数中最大数，

（a（a>-1）

例如：M{-2,-1,0）--1,nuix[-2,-1,0}=0,max{-2,-1,“，_

（-l（a<-1）

解决问题：M{sin45°,cos60°,tan60°}=,如果巾ov{3,5-3%,2r-6}=3,则x的取值范

围为

17.（2021秋•沐川县期末）我们平常用的数是十进制数，如：8537=8X103+5X102+3X10+7,表示十进

制的数要用10个数码（又叫数字）：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在计算机中用的是二进制，只要

两个数码：0和1.如：二进制数101等于十进制的数1X22+0X2+1=5,二进制数1011等于十进制的

数1X23+0X22+1X2+1=11.那么二进制数10110等于十进制的数.

18.（2021秋•余杭区月考）进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法我们常用的十进制是

逢十进一，如4652可以写作4X103+6X1（）2+5X101+2X10°,数要用10个数字组成：0、1、2、3、4、

5、6、7、8、9.在小型机中引入了八进制，只要八个数字：0、1、2、3、4、5、6、7,如八进制中174

可以写作1X82+7X81+4X8°等于十进制的数124.

将八进制中的数1234等于十进制中数应为.（请直接写结果）

2023中考数学冲刺：新定义

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2020•福田区校级模拟）定义新运算：a®b=)

【解答】解：依题意，得：y=2®x=

-|(x<0)

，当Q0时，函数y=2ex为双曲线尸；在第一象限的部分；当x<0时，函数y=2ex为双曲线尸-|

在第二象限的部分.

故选：D.

2.(2021•广西)定义一种运算：a~b,则不等式(2x+l)*(2-x)>3的解集是()

lb,a<b

111

A.x>l或B.-l<.v<3C.x>\或xV-1D.或-1

2X

..S/ZH(+1^2-x(2x4-1<2-%

【解答】解：由新定乂得卜I1或《，

(2x+l>312T>3

解得x>l或xV-1

故选：C.

(a-b(a>2b)

3.(2020•潍坊)若定义一种新运算：a®b=\,“—,、，例如：301=3-1=2；504=5+4-6

(Q+b-6(a<2o)

=3.则函数y=（x+2）0（x-1）的图象大致是（)

【解答】解：•・•当x+222(x-1)时，xW4,

・・・当xW4时，(x+2)0(x-1)=(x+2)-(x-1)=x+2-x+l=3,

即：y=3,

当x>4时，(x+2)0(x-1)=(%+2)+(x-1)-6=%+2+x-1-6=2x-5,

即：y=2x-5f

：.k=2>0,

・••当x>4时，y=2x-5,函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大，

综上所述，A选项符合题意.

故选：A.

4.(2019•深圳)定义一种新运算，;〃♦/-b",例如2xdx=/?-R若以-x2dx=-2,则

m=()

22

A.-2B.一微C.2D.-

55

ll

【解答】解：由题意得：m-(5m)=-2f

11

——---=-2,

m5m

5-1=-10/n,

2

〃片一百，

711

经检验：m=一q是方程一一--=-2的解；

5m5m

故选：B.

5.(2021•罗湖区校级模拟)对于实数。和江定义一种新运算“⑤”为：工，这里等式右边是

a-b

实数运算.例如：l®3=—^=—:.则方程Mg)2=三一1的解是()

]-34o%~4

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

【解答】解：已知等式整理得：—=--1,

X-4X-4

去分母得：l=2-x+4,

解得：x=5,

经检验x=5是分式方程的解.

故选：B.

6.(2021•永州)定义：若1O'=N,贝i」x=logioMx称为以10为底的N的对数，简记为IgN,其满足运算

法则：/gM+/gN=/g(M・N)(M>0,N>0).例如：因为102=100,所以2=/gl00,亦即初00=2；Ig4+lg3

=/gl2.根据上述定义和运算法则，计算(/g2)2+/g2・/g5+/g5的结果为()

A.5B.2C.1D.0

【解答】解：•门01=10,

.•.原式=(用2)2+/g2・/g5+/g5

=/g2(/g2+/g5)+lg5

=/g2X/glO+/g5

=/g2+/g5

=2gl0

=1.

故选：C.

7.(2018•常德)阅读理解：a,b,c,d是实数，我们把符号1力称为2X2阶行列式，并且规定：力="

Xd-bXc,例如：2\=3X(-2)-2X(-1)--6+2=-4.二元一次方程组

1-1-2l(a2x+b2y=c2

(x_2

的解可以利用2X2阶行列式表示为：一#；其中£>=%纵队=忤纵0V=淤”

(y_4。2\C2以2c2\

问题：对于用上面的方法解二元一次方程组sx+；=li,时，下面说法错误的是()

(3%—zy=12

1

A.D=|2I=-7B.Dx=-14

P-z>

c.Dy=inD.方程组的解为

【解答】解：A、1J=-7,正确；

1

B、Dx=I=-2-IX12=-14,正确；

I1Z—ZI

C、Dy=12J2|=2X12-1X3=21,不正确；

D、方程组的解：工=年=」^=2,）=等=乌=一3,正确；

故选：C.

8.（2020•咸宁）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”.下列函数的图象中不

存在“好点”的是（）

2■）

A.y--xB.y—x+2C.y=-D.y—xr-2x

【解答】解：・・,横、纵坐标相等的点称为“好点”，

当x=y时,

A.x=-x,解得x=0；不符合题意；

B.x=x+2,此方程无解，符合题意；

a7=2,解得x=土声，不符合题意；

D.X=J?-2x,解得“1=0,冗2=3,不符合题意.

故选：B.

9.（2021•嘉峪关）对于任意的有理数a,b,如果满足2+2=土也，那么我们称这一对数〃，人为“相随

232+3

数对”，记为（小b）.若（“，〃）是“相随数对”，则痴+2[3m+（2〃-1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

【解答】解：・・・（如〃）是“相随数对”，

mnm+n

-+-=----,

232+3

.3m+2nm+n

/.------=-----,

65

即9m+4〃=0,

3ni+2[3m+（2〃-1）]

=3m+2[3m+2n-1]

=3/H+6/H+4H-2

=9/27+4/7-2

=0-2

=-2,

故选：A.

10.（2021•通辽）定义：一次函数y=or+〃的特征数为[小加，若一次函数y=-2x+m的图象向上平移3

个单位长度后与反比例函数）=一（的图象交于A,B两点,且点A,B关于原点对称，则一次函数y=

-2x+m的特征数是（）

A.[2,3]B.[2,-3]C.[-2,3]D.[-2,-3]

【解答】解：将一次函数y=-2x+m向上平移3个单位长度后得到y=-2x+m+3,

设A（xi,0）,B（.X2,0）,

（y=—2x+m+3

联立3，

^y=~x

A2X2-（w+3）x-3=0,

Vxi和X2是方程的两根，

・_m+3

••X1।%2—2，

又,・•?!，3两点关于原点对称，

/.Xl+X2=0,

zn+3

/.------=0,

2

m=-3,

根据定义，一次函数y=-2x+〃?的特征数是[-2,-3],

解法二：由定义可知，一次函数y=-2jr+m的特征数是[-2,m],

故排除A,B.

•.•反比例函数y=-弓的图形是中心对称图形，对称中心是原点，

...一次函数y=-2x+m的图象向上平移3个单位长度后并经过原点时，与反比例函数的交点关于原点

对称，

，/n+3=0,即相=-3,

一次函数的特征数为[-2,-3].

故选：D.

二.填空题（共8小题）

11.（2017•深圳）阅读理解：引入新数i,新数i满足分配律，结合律，交换律，已知?=-1,那么（1+。

•(1-i)-2.

【解答】解：由题意可知：原式=l-*=i-(-|)=2

故答案为：2

12.(2021秋•福田区校级期末)规定：符号区叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：[5]=5,

n—1

[2.6]=2,[0.2]=0.现在有一列非负数〃1,丝,〃3,…，已知m=10,当上22时,1+1-5([一

TI—2

-L丁])，则〃2()22的值为11.

【解答】解：・・・m=10,

1

.'.(72=671+1-5([-]-0)=11,

21

。3=。2+1-5时一寸二⑵

32

44=43+1-5%-寸=13,

43

675=<74+1-5叼-寸=14,

4

。6=。5+1-5(fll-Hl)=10,

工41,02,〃3,…，每5个结果循环一次，

720224-5=404-2,

42022=42=11,

故答案为：11.

13.(2021•贵港)我们规定：若』=(xi,y]),b=(X2,"),则=xixi+yiy2.例如:=(L3),b=(2,

4),贝丘/=1X2+3X4=2+12=14.已知\=(x+1,x-1),b=(x-3,4),且-2«3,则总♦的

最大值是8.

【解答】解：根据题意知：a9b=(x+1)(x-3)+4(x-1)=(x+1)2-8.

因为-2tW3,

所以当x=3时，a9b=(3+1)2-8=8.

即征上的最大值是8.

故答案是：8.

14.(2019•鄂州)在平面直角坐标系中，点P(xo,)，o)到直线Av+8y+C=0的距离公式为：仁也害维£1,

JA2+B2

则点尸(3,-3)到直线产-至+葭的距离为三孤.

33—T3

【解答】解：|x+|

，2x+3y-5=0

.•.点P(3,-3)到直线尸-1x+轴距离为：l2x3+^£2)z£l=且伤，

33V22+3213

故答案为：V13-

15.(2018春•蒙阴县期末)一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求

解：

点尸(xo,yo)到直线Ar+B)，+C=0的距离(d)公式是：〃=竺军生叱9

如：求：点P(1,1)到直线2x+6y-9=0的距离.

解：由点到直线的距离公式，得公|2、：+6、1-9|=鼻=缥

层乘闻20

根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离.

则两条平行线/1：2x+3y=8和/2：2x+3y+18=0间的距离是2旧.

【解答】解：在A：2x+3y=8上取一点P(4,0),

点P到直线/2：2x+3)计18=0的距离d即为两直线之间的距离：

d=12x4+20+181=2g,

故答案为2m.

16.(2020•河北模拟)对于三个数〃、b、c,用M{a,b,c}表示这三个数的中位数，用mcix{a,b,c}表

示这三个数中最大数，