《直线上向量的坐标及其运算》公开课教学PPT课件【高中数学】

直线上向量的坐标及其运算整体概览（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？问题1阅读课本，回答下列问题：新知探究给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量

，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量

，一定存在唯一的实数x，使得

，此时，x称为向量

的坐标．新知探究问题2如果直线上向量

的坐标为x，那么x能否表达向量

的大小和方向？如果直线上向量

的坐标为x，则x既能刻画

的模，也能刻画向量

的方向．事实上，此时．当x＞0时，

的方向与

的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x＜0时，

的方向与

的方向相反．

也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐

标确定．新知探究问题3如果直线上向量

的坐标为x，那么x的几何意义是什么？eaO1x在直线l上指定一点O作为原点，以

的方向为正方向，

的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量

，如果我们把它的始点平移到原点O，那么

的终点对应的数就是向量

的坐标．图中，向量

的坐标为－4．特别地，

的坐标为1．如图所示，新知探究问题4向量

的坐标是如何统一确定的，如何求直线上向量的坐标？为了方便起见，以后谈到直线上向量的坐标时，总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量

，并建立了数轴；而且，谈到数轴时，也默认为已经指定了与数轴正方向同向的单位向量

．此时：如果数轴上一点A对应的数为x（记为A（x），也称点A的坐标为x），那么向量OA对应的坐标为x；反之，这一结论也成立．因此，为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：（1）将向量用单位向量表示出来；（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．新知探究例1如图所示，求出直线上向量

，的坐标．abO1x解：因为

的始点在原点，因此由

的终点坐标可知

的坐标为2，因为，所以

的坐标为－3．新知探究问题5直线上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？假设直线上两个向量

，的坐标分别为x1，x2，即，，当

时，有

，由

是单位向量可知x1=x2；反之，结论也成立．

这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等．另外，因为

，所以的坐标是x1+

x2．这就是说，直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．同样，

，所以的坐标是x1-

x2．新知探究例2已知直线上向量

的坐标为－2，

的坐标为5，求下列向量的坐标．（1）（2）（3）解：（1）的坐标是－2＋5＝3．（2）的坐标是×5＝1；（3）的坐标是(－2)×(－2)－3×5＝－11．新知探究问题6利用上述直线上向量的运算与坐标之间的关系，由数轴上任意两点的坐标，是否可以求出它们之间的距离，以及它们中点的坐标？假设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，O是坐标原点，则，，

因此，，所以不难看出，AB=|

|=

|x2-

x1|．这就是数轴上两点间的距离公式．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则，又因为，因此是数轴上的中点坐标公式．新知探究例3设数轴上两点A，B的坐标分别是3，－7，求：（1）向量

的坐标，以及A，B的距离．解：（2）线段AB中点的坐标．（1）由题意可知

的坐标为3，

的坐标为－7，又因为

＝

－

，所以

的坐标为－7－3＝－10，而且|AB|＝|

|＝|－10|＝10（2）设线段AB的中点的坐标为x，则x＝＝－2归纳小结问题5（1）直线上向量的坐标是什么？（2）数轴上两点间的距离公式是什么？两点的中点公式是什么？（1）给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量

，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量

，一定存在唯一的实数x，使得

，此时，x称为向量

的坐标．（2）数轴上两点间的距离公式：AB＝|

|＝|x2－x1|；数轴上的中点坐标公式：x＝．目标检测设数轴上A，B的坐标分别是2，6，则AB的中点C的坐标是______．１解析：∵xA＝2，xB＝6，∴AB中点C的坐标为xC＝＝＝4．4目标检测已知e为λ上的单位向量，a＝－2e，b＝8e，则c＝8a＋5b的坐标为________．2解析：向量c的坐标为（－2）×8＋5×8＝24．24目标检测已知在数轴上点A，B，C的坐标分别为1，7，－3．3（1）求，，的坐标；（2）若CD＝4，求D点的坐标．解：（1）∵点A，B，C的坐标分别为1，7，－3，∴的坐标为1，的坐标为7，的坐标为－3，又∵＝－，∴的坐标为1－7＝－6．同理，的坐标为－4，的坐标为10．目标检测已知在数轴上点A，B，C的坐标分别为1，7，－3．