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文档简介
函数的单调性德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。他经过测试,得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数。
艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图。123tyo20406080100思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:yxOyxyxOO函数单调性函数单调性画出下列函数的图象,观察其变化规律:(1)f(x)=x(2)f(x)=x2(x≥0)xyoxyo思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何共同特征?函数单调性思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升,那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y的变化情况如何?思考3:如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图象,对于该区间上任意两个自变量x1和x2,当x1<x2时,f(x1)与f(x2)的大小关系如何?xyox1x2函数单调性思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数,那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”?对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1和x2的值,若当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上是增函数。
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1和x2的值,若当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间D上是减函数。
注意:1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,
是函数的局部性质;2.必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)。函数单调性函数的单调性定义:
如果函数
y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数
y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做
y=f(x)的单调区间。函数单调性有限集、无限集函数单调性例1.如图是定义在闭区间[-5,6]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数。-5-3136oxy例2.物理学中的玻义耳定律告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大。
试用函数的单调性定义证明。例3.试确定函数,在区间上的单调性。利用定义证明函数
f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:1.任取x1,x2∈D,且
x1<x2;2.作差f(x1)-f(x2);3.变形(通常是因式分解和配方);4.定号(即判断差
f(x1)-f(x2)的正负);5.下结论(即指出函数
f(x)在给定的区间D上的单调性)。判断函数单调性的方法步骤课堂练习1.证明函数
在(1,+∞)上为增函数。2.借助计算机作出函数y=-x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间。课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明。
画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域。单调性的证明一般分五步:
取值→作差→变形→定号→下结论再见函数的最大(小)值1.确定函数的单调性有哪些手段和方法?2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性,如果函数的图象存在最高点或最低点,它又反映了函数的什么性质?观察下列两个函数的图象:图1ox0xMy思考1:这两个函数图象有何共同特征?函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称?yxox0图2M思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?思考3:设函数f(x)=1-x2,则f(x)≤2成立吗?f(x)的最大值是2吗?为什么?思考4:怎样定义函数f(x)的最大值?用什么符号表示?一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M
;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M。
那么称M是函数y=f(x)的最大值。一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M
;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M。
那么称M是函数y=f(x)的最小值。函数的最值函数的最值注意:1.函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存
在x0∈I,使得
f(x0)=M;2.函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,
即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)。例1.已知函数,求函数f(x)的最大值和最小值。例2.一个星级旅馆有150个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如下:欲使每天的的营业额最高,应如何定价?房价(元)住房率(%)16055140651207510085说明:对于具有实际背景的问题,首先要审清题意,适当设出变量,建立适当的函数模型,再利用函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值。利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法。1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;2.利用图象求函数的最大(小)值;3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值。若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调减,在区间[b,c]上单调增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调增,在区间[b,c]上单调减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);求函数最值的方法课堂练习如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长
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