3.1空间向量及其运算第5课时 教案

3.1间量其算【课题】：3.1.5空向量运算的坐标表示【教学目标特色班）（）知与能能用坐标表示空间向量（）过与法由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态与值：比学习，注重类比，运用向量的运算解问题，培养学生的开拓能力。【教学重点间向量的坐标运算【教学难点间向量的坐标运算【课前准备件【教学过程设计教学环节一．温故知新

教学活动平面向量的坐标运算1．空间向量的直角坐标运算律

设计意图z（）

a,,)23

，bbb23

，则

k

i

Oj

yx二．新课讲授

aa,)12aa,,123

，，

注重类比学习一三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运

，（）

(,)，()122

，则AByy,z)

．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

222221122222111．数量积：即a．夹角：

aa12233a

|

bb123b1213

．．模长公式：若

a,)23

，则

a13

．

算规律和结论的本质是一．平行与垂直：

样的。a//a,1233

abaa13．距离公式：若

(,,z111

，

(x,y,)22

，则|AB

AB(x)

)

z)

，或d

AB

)2yz)21

2

．例1．如图，在正方体

D中，，分1111别是

AB11

，

1

的一个四等分点，求

BE1

与

DF1

所成的角的余弦值。

D

F

解：不妨设正方体的棱长为

E

C

1，分别以，，

A

B

三．典例

DD为位正交基底建立间直角坐标系Oxyz，

A

D

B

C

将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一则

(1,,E1

31,1)，D0，F4

些问题的解决变得简单。所以

,1

1,1)，DF(0,1)44|

，|DF|，4

1516所以

BE,1

1517

，

因此，BE与DF所角的余弦值是11

1517例．如图，正方体D11

中

，

A1

D

1

F

B

1

C

1

分别是

BB1

，

DB11

的中点，

O

求证：

EF

AB

C讲练

证明不设正方体的棱长为1别以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系，则

,1

111)，F1)所以,,)22

，又

A,01

，

D,0

，所以

DA,0,1)1

，所以

1

，因此

1

，即

EF1四．练习巩固

课本P105练1，，如图在正方体AC中MN别是AABB的点，1求直线CM与DN成的角。1D

1

C

1A

1

B

1学习注意触类旁通，举一五．拓展与提高

M

D

N

C

反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把A．已知三角形的顶点A，－，1（，1，－1C（1－，－个三角形的积是（）

向量问题转化为代数问

1012

101

101

1014

2222．已知点A（12，3B=2，，21，2在直线OP或延长线上）取一点，

最小，求S的坐标及最小值.解：设（为OP上一点，则=(1－k,3－2k)

－－k,2－2k)

题。∴

SA

－－k)+(2－－k)+(3－2k)(22k)4－)－3∴k=

424时，(=此=,）3min3六．小结七．作业

1．空间向量的直角坐标运算律．数量积与夹角．模长与距离．平行于垂直课本P106习3.1，A组第89、题练与试（基础题）．已知向量

ab则ab

的夹角为（）A0

B．45°

C．90°

D．°．已知

a21,2),

（）A

1,52

B．5，2．

15

D，-2（中等题）已知(3,1,3)，B，：（1线段

AB

的中点坐标和长度；（2到

两点的距离相等的点

(x,)

的坐标

x,z

满足的条件解）

M

是线段

AB

的中点，则OM

3(OA)(2,3,2

)∴AB的点坐标是

)，

AB2,4,3)|AB

．（2∵点

(x,,到A,B两的距离相等，则(xyz,化简得：x,所以，到AB两点的距离相等的点

(x,)

的坐标

x

满足的条件是xyz．点评：到

,B

两点的距离相等的点

(x,,)

构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点P的标,,z

满足的条件xyz的数成一个向量a(4,，现与AB2,4,3)共。已知三形的顶点A

，B，C(

，试求这个三角形的面积。分析：可用公式S

|||来求面积解：∵AB(1,2,，AC

，∴|

，AC(

，AB(1,2,，∴

cosAcos

|AC1339

，sinsinABACcos

ABAC

10139∴所以

12

ABAs

11．25已

(cos

b

,1,cos