高考对数学文化的考查教师用书-理

-【三维设计】〔通用版〕2021届高三数学二轮复习第二局部考前30天策略三重视高考对数学文化的考察教师用书理2021年"考试大纲"修订内容中增加了数学文化的要求，其主要目的是注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性开展，从而实现考试的社会意义和现实目的．其实，近几年高考数学试卷早已出现以数学文化为背景的新颖命题，将数学知识、方法、文化融为一体，有效考察学生在新情境下对知识的理解及迁移运用能力．只不过前几年考纲未做明确要求，未引起广阔师生的重视.2021年考纲作出明确要求后，相信以后的高考关于数学文化的命题会加大，应引起师生们的重点关注．高考将会从以下几个角度实现数学知识与数学文化的有效“嫁接〞．[典例1](2021·**高考)如下图，“嫦娥一号〞探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，假设用2c和2c分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a和2a分别表示椭圆轨道Ⅰ和1 2 1 2Ⅱ的长轴的长，给出以下式子：①a＋c＝a＋c；②a－c＝a－c；1 1 2 2 1 1 2 2cc③c1a2＞a1c2；④a1＜a2.1 2其中正确式子的序号是( )A．①③B．②③C．①④D．②④[解析]①由题图知2a＞2a，2c＞2c；即a＞a，c＞c，1 2 1 2 1 2 1 2∴a＋c＞a＋c，∴①不正确．1 1 2 2②∵a－c＝|PF|，a－c＝|PF|，1 1 2 2∴a－c＝a－c，∴②正确．1 1 2 2③∵a＞a＞0，c＞c＞0.∴a2＞a2，c2＞c2，12121212又∵a－c＝a－c.即a＋c＝a＋c，11221221即a2＋c2＋2ac＝a2＋c2＋2ac.12122121∴a2－c2＋c2－a2＋2ac＝2ac，11221221即(a－c)(a＋c)－(a－c)(a＋c)＋2ac＝2ac，1 1 1 1 2 2 2 2 12 21整理得(a－c)(a－a＋c－c)＋2ac＝2ac.1 1 1 2 1 2 12 21∵a＞c，a＞a，c＞c，∴2ac＜2ac.1 1 1 2 1 2 12 21即ca＞ac，∴③正确．12 12. z.-④∵cacaac＞ac，a＞0，a＞0，∴12＞12.121212aaaa1212cc即1＞2，∴④不正确．aa12[答案]B[精彩赏析]本例以“嫦娥一号〞卫星为背景，抽象出一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆间的几何性质，并采用数形结合的方式构筑成题，题中所给的有关椭圆根本量的四个式子，形式上采用加、减、乘、除四则运算，并结合相等与不等关系组合而成，搭配对称和谐，富有数学美感，该题对于引导中学数学教育，理论联系实际，关注科普知识、重视数学文化有着非常重要的导向作用．[类题尝试]1.(2007·高考)2002年在召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为根底设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ.则cos2θ的值等于________．解析：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25.∴每一个直角三角形的面积是6，设a2＋b2＝25，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则12ab＝6，∴两条直角边的长分别为3，4，又∵直角三角形中较小的锐角为θ，4 7∴cosθ＝5，cos2θ＝2cos2θ－1＝25.7答案：25[典例2](1)(2021·**高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现**省安岳县)人，他在所著的"数书九章"中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法．如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求*多项式值的一个实例．假设输入n，*的值分别为3，2，则输出v的值为()A．9B．18C．20D．35(2)(2021·全国卷Ⅰ)"九章算术"是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何.〞其意思为：“在屋内墙角处堆. z.-放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少.〞1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛(3)(2021·**高考)"算数书"竹简于上世纪八十年代在**省江陵县*家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖〞的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，1三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈36L2h.2它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.则，近似公式V≈75L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )2225A.7B.8355C.50D.113(4)(2021·**高考)我国古代数学名著"数书九章"中有“天池盆测雨〞题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．假设盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)[解析](1)由程序框图知，初始值：n＝3，*＝2，v＝1，i＝2，第一次循环：v＝4，i＝1；第二次循环：v＝9，i＝0；第三次循环：v＝18，i＝－1.完毕循环，输出当前v的值18.应选B.(2)设米堆的底面半径为r尺，则πr＝8，所以r＝16，所以米堆的体积为V＝1×1π×r2×52π43π162320320＝××5≈9(立方尺)．故堆放的米约有9÷1.62≈22(斛)．应选B.12π212125(3)由题意知75L2h≈3πr2h⇒75L2≈3πr2，而L≈2πr，代入得π≈8.(4)以我国数学名著"数书九章"为题材，考察台体的体积．圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为. z.-V＝1πh(r2＋r2＋rr)＝π×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为V＝588π＝3中下中下3142π196π3(寸)．[答案](1)B(2)B(3)B(4)3[精彩赏析]本例(1)～(4)是以"九章算术"、"数书九章"和"算数书"为背景，相应考察算法、圆锥的体积公式和圆台的体积公式等数学知识．"九章算术"大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系；"数书九章"成书于1247年9月，是对"九章算术"的继承和开展，它概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的顶峰；"算数书"成书于公元前186年以前，是目前最早的中国数学著作，它不仅系统地总结了秦和先秦的数学成就，为中国古代数学的开展奠定了根底，同时对后世的"九章算术"的产生也有一定的影响，而且开创了我国古代数学重应用的特色，标志着我国古代数学理论体系开场初步形成．以上高考试题，介绍了三部数学名著，让学生更加了解"九章算术"数书九章"和"算数书"等数学名著，从这个意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身．[类题尝试]2．(2021·全国丙卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，假设输入的*＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝()A．7B．12C．17D．34解析：选Csksk第一次运算：＝0×2＋2＝2，＝1；第二次运算：＝2×2＋2＝6，＝2；第sks三次运算：＝6×2＋5＝17，＝3>2，完毕循环，＝17.3．(2021·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著"九章算术"中的“更相减损术〞．执行该程序框图，假设输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝()A．0B．2C．4D．14解析：选Ba＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，应选B.. z.-[典例3](2021·**高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如下图的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：(1)b是数列{a}中的第________项；2012n(2)b＝________．(用k表示)2k－1[解析]由题意可得ann〔n＋1〕n*ba，ba，ba2n142539b＝a，b＝a，b＝a，由上述规律可知：b＝a＝5k〔5k＋1〕(k为正整数)，4105146152k5k2b〔5k－1〕〔5k－1＋1〕5k〔5k－1〕＝a＝2＝2，2k－15k－1故b＝b＝a＝a，即b是数列{a}中的第5030项．20122×10065×100650302012n[答案](1)5030(2)5k〔5k－1〕2[精彩赏析]此题是以形为载体，考察数列的通项公式等根底知识，考察特殊与一般的数学思想方法，考察归纳与猜测、推理与计算的能力，试题既合理引用了经典史料，又不刻意增加难度，同时对学生的数感进展了有效地考察，让学生在数学史的背景中，体验数学的理性精神．在数学史上，古希腊数学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一起，把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，把正整数与正三角形、正方形等图形联系起来，得数分为三角形数、正方形数，这样一来，抽象的正整数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了．毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在"算术引论"中将多边形数推广到多面体数，公元前6世纪，还没有纸，用小石子研究数的性质，既方便又直观，这真是古希腊人的一种创造，也是认识数的一种有趣方法，英语中的“calculation〞一词来源于拉丁文“calculus〞，就是小石子的意思．[类题尝试]4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，n〔n＋1〕1 1第n个三角形数为 2 ＝2n2＋2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以以下出了局部k边形数中第n个数的表达式：1 1三角形数N(n，3)＝2n2＋2n，正方形数N(n，4)＝n2，. z.-1五边形数N(n，5)＝2n2－2n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝__________．解析：由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推测：当kNnkk－1n2k－2nNnn2nN2211×10－10×10＝1000.2答案：1000[即时体会领悟][致同学]数学文化只是一种命题载体，没必要引起广阔师生的紧*和恐慌．只要平时多积累和了解一些这方面的常识，解题中注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过表象看本质，问题便可迎刃而解．一、选择题1．"九章算术"是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分〞问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约()A．134石B．169石C．268石D．338石解析：选B设这批米内夹谷约为*石，28根据随机抽样事件的概率得1534＝254，得*≈169.应选B.2．我国古代数学名著"九章算术"中“开立圆术〞曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术〞相当于给出了球的体积V，求其直径d的一个近似公316式d≈9V.人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.14159…判断，以下近似公式中最准确的一个是()3163A．d≈9VB．d≈2V3300321C．d≈157VD．d≈11V.z.-解析：选D36V≈31.90986093V.由球体积公式得d＝π因为169≈1.77777778，300157≈1.91082803，2111≈1.90909091.21 6而11最接近于π，所以选D.3．我国古代数学名著"九章算术"中，有长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：1111第一步：构造数列1，2，3，4，…，n.naaaa.123naaaaaa等于()则12＋23＋…＋n－1nA．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)aa＋aaaan－1n1223＝n·n＋n·n＋…＋n·n1223n－1n1＋1＋…＋1＝n22·31·2〔n－1〕n11111＝n21－＋－＋…＋－223n－1nn－1＝n2·n＝n(n－1)．4．"九章算术"是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何.〞其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少.长为1丈的圆柱形木材局部镶嵌在墙体中，截面图如下图(阴影局部为镶嵌在墙体内的局部)．弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )5注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5°≈13A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸解析：选D连接OA，OB，OD，设⊙O的半径为R，. z.-则(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.AD5sin∠AOD＝AO＝13.∴∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.π故∠AOB≈4.∴S

＝S弓形ACB

－S扇形OACB △OAB1π 1＝2×4×132－2×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.二、填空题5．"九章算术"“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a}的首项为a，公差为d，依题意n 1a＋a＋a＋a＝3，1234a＋a＋a＝4，7 8 944a＋6d＝3，a1＋7d＝，解得3即13a1＋21d＝4，7d＝66，则a＝a＋4d＝a＋7d－3d＝4－21＝67.5113666667答案：666．中国古代数学名著"九章算术"中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如下图(单位：寸)假设π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的*的值为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－*)×3×112＋π·2*＝12.6.解得*＝1.6.答案：1.67．我国古代数学名著"九章算术"中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．〞其表达的是一种无限与有限的转化过程，比方在. z.-2＋2＋2＋…中“…〞即代表无限次重复，但原式却是个定值*，这可以通过方程2＋*＝*确定*＝2，则1＋11＝________．1＋1＋…111＋5解析：由题意，可令1＋1＋1＝*，即1＋*＝*，即*2－*－1＝0，解得*＝21＋…*＝1－5舍，故1＋1＝1＋5.2121＋1＋…1＋5答案：2三、解答题8.中国古代数学名著"九章算术"中的“引葭赴岸〞是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐，问水深葭长各几何〞意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的局部为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少.将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD，芦苇根部O为AB的中点，顶端为P(注芦苇与水面垂直)，在牵引顶端P向水岸边点D的过程中，当芦苇经过DF的中点E时，问芦苇的顶端离水面的距离为多少.(注：1丈＝10尺，601≈24.5)解：设水深为*尺，则*2＋52＝(*＋1)2，解得，*＝12.∴水深为12尺，芦苇长为13尺，以AB所在的直线为*轴，芦苇所在的直线为y轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P的轨迹是以O为圆心，半径为13的圆，其方程为*2＋y2＝169(－5≤*≤5，12≤y≤13)，①E5点的坐标为－，12224∴OE所在的直线方程为y＝－5*，②由①②联立解得y＝169×57613×24624601≈24.5