时域离散信号和系统的频域分析

时域(Yu)离散信号和系统的频域(Yu)分析演示文稿第一页，共一百九十一页。时域离散信号和系统的频(Pin)域分析第二页，共一百九十一页。第2章时域离(Li)散信号和系统的频域分析2.1引言2.2序列的傅里叶变换的定义及性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟

信号傅里叶变换之间的关系2.5序列的Z变换2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性第三页，共一百九十一页。2.1引(Yin)言

我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。第四页，共一百九十一页。

而频域分析是用Z变换或(Huo)傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换（DTFT），它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。

本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。第五页，共一百九十一页。JeanBaptisteJosephFourier生于1768年3月(Yue)21日法国奥克斯雷（Allxerre）。JeanBaptisteJosephFourier与傅立叶变换第六页，共一百九十一页。傅立叶级数的提出和完善

1807年1829年傅立叶级数到傅立叶积分的推广周期信号表示(Shi)——傅立叶级数非周期信号表示——傅立叶积分应用广泛：数学、物理学第七页，共一百九十一页。2.2序列的傅里叶变换的定义及性(Xing)质2.2.1序列傅里叶变换的定义定义(2.2.1)

为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：(2.2.2)第八页，共一百九十一页。

为求FT的反变换，用e

jωn乘(2.2.1)式两边，并在

-π~π内对ω进行(Xing)积分，得到(2.2.3)(2.2.4)式中因此第九页，共一百九十一页。

上式即是FT的逆变换。(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必(Bi)要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。第十页，共一百九十一页。

例(Li)

2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：(2.2.5)设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。第十一页，共一百九十一页。

图2.2.1R4(n)的幅(Fu)度与相位曲线第十二页，共一百九十一页。

为了描述系统和所传输的信号在占有频带上的这种关系，需要定义信号的有效带宽(简称为信号带宽)，它是从零频率开始到需要考虑的信号最高频率分量之间的频率范围。在工程应用中，定义信号带宽的方法主要有以下两种：（1）对(Dui)于频谱或频谱的包络具有函数形式的信号，通常定义其带宽为函数主瓣宽度的一半，即从零频到函数第一过零点之间的频率范围。（2）对于其他形状的频谱，工程上通常将信号频谱的幅度从最大值降低到最大值的时所对应的频率范围定义为信号的带宽，此时，信号的功率下降到峰值的一半，即比峰值功率下降3dB，因此该带宽又称为半功率带宽。第十三页，共一百九十一页。2.2.2序列傅(Fu)里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2.2.1)式中，n取整数，因此下式成立M为整数(2.2.6)

因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。这样X(ejω)可以展成傅里叶级数，其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。第十四页，共一百九十一页。2.线(Xian)性那么设式中a,b为常数

3.时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］，那么(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)第十五页，共一百九十一页。4.FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式：

xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)

则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有(You)什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示

xe(n)=xer(n)+jxei(n)

将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到

x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)第十六页，共一百九十一页。

对比上面两公式，左(Zuo)边相等，因此得到

xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)

由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列

xo(n)=-xo*

(-n)(2.2.13)第十七页，共一百九十一页。

将xo(n)表示成实部与虚部如下式：

xo(n)=xoi(n)+jxoi(n)

可以得到

xor(n)=-xor(-n) (2.2.14)

xoi(n)=xoi(-n) (2.2.15)

即共轭反对称(Cheng)序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。第十八页，共一百九十一页。

例2.2.2试分析x(n)=ejωn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：

x*(-n)=ejωn

因此x(n)=x*

(n)，满足(2.2.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到

x(n)=cosωn+jsinωn

由上式表明(Ming)，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。第十九页，共一百九十一页。

对于一般序列可用共轭对称与(Yu)共轭反对称序列之和表示，即

x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.16)

式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共轭得到

x*(-n)=xe(n)-xo(n) (2.2.17)

利用(2.2.16)和(2.2.17)两式，得到(2.2.18)(2.2.19)第二十页，共一百九十一页。

利用上面两式，可以分别求出xe(n)和xo(n)。对于频域函数X(ejω)也有和上面类(Lei)似的概念和结论：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) (2.2.10)其中Xe(ejω)与Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足

Xe(ejω)=X*e(e-jω)(2.2.21)

Xo(ejω)=-X*o(e-jω)(2.2.22)

同样有下面公式满足：(2.2.23)(2.2.24)第二十一页，共一百九十一页。(a)将序列x(n)分成(Cheng)实部xr(n)与虚部xi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)

将上式进行FT，得到

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)式中第二十二页，共一百九十一页。

上面两式中(Zhong)，xr(n)和xi(n)都是实数序列，容易证明Xe(ejω)满足(2.2.21)式，个有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ejω)满足(2.2.22)式，具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。第二十三页，共一百九十一页。

最后得到结论：序列(Lie)分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。

(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)

将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：第二十四页，共一百九十一页。

将上(Shang)面两式分别进行FT，得到

FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)

因此对(2.2.25)式进行FT得到：

X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)(2.2.26)(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部。第二十五页，共一百九十一页。第二十六页，共一百九十一页。

实际上，实际的序列具有更特殊的性(Xing)质，例如待分析的信号是实序列、实偶对称序列或实奇对称序列，其频谱会有什么特性(Xing)呢？为此可以对信号进行进一步的分解。第二十七页，共一百九十一页。第二十八页，共一百九十一页。第二十九页，共一百九十一页。

因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。

H(ejω)=He(ejω)

H(ejω)=H*(e-jω)

因此实序列的FT的实部是偶函数(Shu)，虚部是奇函数(Shu)，用公式表示为

HR(ejω)=HR(e-jω)

HI(ejω)=-HI(e-jω)第三十页，共一百九十一页。

按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到

h(n)=he(n)+ho(n)

he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］

ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因为h(n)是实因果序列(Lie)，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：(2.2.27)第三十一页，共一百九十一页。(2.2.28)实因果序列h(n)分别(Bie)用he(n)和ho(n)表示为

h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)

h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)δ(n)(2.2.30)第三十二页，共一百九十一页。(2.2.31)例2.2.3x(n)=anu(n);0<a<1;求其偶函数xe(n)

和奇函数xo(n)。解(Jie)：x(n)=xe(n)+xo(n)

按(2.2.2)式得到第三十三页，共一百九十一页。按照(Zhao)(2.2.28)式得到第三十四页，共一百九十一页。图(Tu)

2.2.3例2.2.3图第三十五页，共一百九十一页。5.时(Shi)域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),

则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2.2.32)

证明令k=n-m第三十六页，共一百九十一页。

该定理说明，两序列(Lie)卷积的FT，服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式(1.3.7)计算，也可以在频域按照(2.2.32)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。第三十七页，共一百九十一页。6.频域卷(Juan)积定理设y(n)=x(n)·h(n)(2.2.33)第三十八页，共一百九十一页。7.帕斯维尔(Er)(Parseval)定理(2.2.34)第三十九页，共一百九十一页。

帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(ejω)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2π)。最后，表2.2.1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实(Shi)际应用中是很重要的。第四十页，共一百九十一页。表2.2.1序列傅里(Li)叶变换的性质第四十一页，共一百九十一页。

2.3周期序列的离散傅里叶级数

及傅里叶变换(Huan)表示式

2.3.1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数(2.3.1)

式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和第四十二页，共一百九十一页。(2.3.2)式的证明，作为练(Lian)习自己证明。因此上式中，k和n均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，可表示成(2.3.2)-∞<k<∞(2.3.3)取整数第四十三页，共一百九十一页。

上式中也是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶(Ye)级数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。如对(2.3.4)式两端乘以，并对k在一个周期中求和，得到同样按照(2.3.2)式，得到(2.3.5)将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下：第四十四页，共一百九十一页。(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。(2.3.5)式表明将周期序(Xu)列分解成N次谐波，第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…

N-1，幅度为。其波分量的频率是2π/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。(2.3.6)(2.3.7)第四十五页，共一百九十一页。

例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以(Yi)N=8为周期，进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求的DFS。解：按照(2.3.4)式第四十六页，共一百九十一页。

其(Qi)幅度特性如图2.3.1(b)所示。第四十七页，共一百九十一页。图(Tu)

2.3.1例2.3.1图第四十八页，共一百九十一页。2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式(Shi)在模拟系统中，，其傅里叶变换是在Ω=Ωo处的单位冲激函数，强度是2π，即(2.3.8)

对于时域离散系统中，x(n)=ejωon，2π/ωo为有理数，暂时假定其FT的形式与(2.3.8)式一样，也是在ω=ω0处的单位冲激函数，强度为2π，但由于n取整数，下式成立

取整数第四十九页，共一百九十一页。

上式表示复指数序列的FT是在ωo±2πr处的单位冲激函数，强度为2π如科2.3.2所示。但这种假定如果成立，要求按照(2.2.4)式的逆变换必须存在，且唯一等于，下面进行(Xing)验证，按照(2.2.4)式因此ejω0n的FT为(2.3.9)第五十页，共一百九十一页。图(Tu)

2.3.2的FT第五十一页，共一百九十一页。

观察图2.3.2，在±π区间，只包括一个单位冲激(Ji)函数，等式右边为，因此得到下式：

证明了(2.3.9)式确定是ejωon的FT，前面的暂时假定是正确的。对于一般周期序列，按(2.3.4)式展开DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，其FT为，因此的FT如下式第五十二页，共一百九十一页。

式(Shi)中k=0,1,2…

N-1,如果让k在±∞之间变化，上式可简化成(2.3.10)第五十三页，共一百九十一页。

表2.3.2基(Ji)本序列的傅里叶变换第五十四页，共一百九十一页。对(a)式进(Jin)行FT，得到第五十五页，共一百九十一页。

例2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解：将例2.3.1中得(De)到的代入(2.3.10)式中得到其幅频特性如图2.3.3所示。第五十六页，共一百九十一页。图(Tu)

2.3.3例2.3.2图第五十七页，共一百九十一页。

对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激(Ji)函数表示(用带箭头的竖线表示)。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。第五十八页，共一百九十一页。

例2.3.3令，2π/ω0为有理数，求其FT。解：将用欧拉(La)公式展开(2.3.11)按照(2.3.9)式，其FT推导如下：第五十九页，共一百九十一页。

上式表明cosω0n的FT，是在ω=±ω0处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期(Qi)进行延拓，如图2.3.4所示。第六十页，共一百九十一页。图(Tu)

2.3.4cosω0n的FT第六十一页，共一百九十一页。2.4时域离散信号的傅(Fu)里叶变换与模拟

信号傅(Fu)里叶变换之间的关系

我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述(2.4.1)(2.4.2)第六十二页，共一百九十一页。

这里t与Ω的域均在±∞之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采样信号，它们之间的关系用(1.5.2)式描述，重写如下：采样信号和连续信号xa(t)，它们分别的傅(Fu)里叶变换之间的关系，由采样定理(1.5.5)式描述，重写如下：第六十三页，共一百九十一页。

下面我们研究如果时域离散信号x(n)，或称序列x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即在数值上有有下面关(Guan)系式成立：

x(n)=xa(nT)(2.4.3)

注意上面式中n取整数，否则无定义。x(n)的一对傅里叶变换用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示，重写如下：第六十四页，共一百九十一页。

X(ejω)与Xa(jΩ)之间有什么关系？数(Shu)字频率ω与模拟频率Ω(f)之间有什么关系？这在模拟信号数字处理中，是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从(2.4.3)式开始研究。将t=nT代入(2.4.2)式中，得到

(2.4.4)第六十五页，共一百九十一页。

令，代入上(Shang)式后，再将Ω′用Ω代替，得到

式中，因为r和n均取整数，e-j2πrn=1，交换求和号和积分号得到：(2.4.5)第六十六页，共一百九十一页。

在第一章中曾(Zeng)得到结论，如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率ω与模拟信号的频率Ω(f)成线性性关系，如(1.2.10)式所示，重写如下：

ω=ΩT

式中T是采样周期T=1/fs，将(1.2.10)式代入(2.4.5)式得到现在对比(2.4.1)式和(2.4.6)式，得到(2.4.6)(2.4.7)第六十七页，共一百九十一页。

上面(2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换X(ejω)和模拟信号xa(t)的傅里叶变换Xa(jΩ)之间的关系式，我们将(2.4.7)式与(1.5.5)式对比，得到结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号分别的FT之间的关系一样，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T进行周期延拓，频(Pin)率轴上取值的对应关系用(1.2.10)式表示。第六十八页，共一百九十一页。

在一些文献中经常使用归一化频率f′=f/fs或Ω′=Ω/Ωs，Ω′=ω/2π，因为f′、Ω′和ω′，都是无量纲，刻度是一样的，将f、Ω、ω、f′、Ω′、ω′的定标值对应关系用图2.4.1表(Biao)示。第六十九页，共一百九十一页。图2.4.1模拟(Ni)频率与数字频率之间的定标关系第七十页，共一百九十一页。

例2.4.1设xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采相信(Xin)号和时域离散信(Xin)号x(n)，求xa(t)和的傅里叶变换以及x(n)的FT。解：(2.4.8)第七十一页，共一百九十一页。

Xa(jΩ)是Ω=±2πf0处的单位冲激函数，强度为π，如图2.4.2(a)所示。以fs=200Hz对xa(t)进行采(Cai)样得到采(Cai)样信号，按照(1.5.2)式，与xa(t)的关系式为

的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以Ωs=2πfs为周期，将Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：第七十二页，共一百九十一页。(2.4.9)

如图2.4.2(b)所示。将采样信号转换(Huan)成序列x(n)，用下式表示：

x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)

按照(2.4.7)式，得到x(n)的FT，实际上只要将Ω=ω/T=ωfs代入中即可。第七十三页，共一百九十一页。

将fs=200Hz，f0=50Hz，代入上式，求括弧中公式为零时的ω值(Zhi)，ω=2πk±π/2，因此X(ejω)用下式表示：(2.4.10)第七十四页，共一百九十一页。

图(Tu)

2.4.2例2.4.1图第七十五页，共一百九十一页。

2.5序列的Z变(Bian)换

2.5.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(2.5.1)

式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式(2.5.2)第七十六页，共一百九十一页。

使(2.5.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛(Lian)域。一般收敛域用环状域表示

这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。

(2.5.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(2.5.3)第七十七页，共一百九十一页。图2.5.1Z变换的收(Shou)敛域第七十八页，共一百九十一页。

常用的Z变换是一个有理函(Han)数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：(2.5.4)第七十九页，共一百九十一页。

式中z=ejω表示在z平面上(Shang)r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(2.5.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例2.5.1x(n)=u(n)，求其Z变换。解：

X(z)存在的条件是|z-1|<1，因此收敛域为|z|>1，

|z|>1第八十页，共一百九十一页。

由x(z)表达式表明，极(Ji)点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(2.5.4)式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数δ(ω)，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。第八十一页，共一百九十一页。2.5.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是(Shi)很有帮助的。

1.有限长序列如序列x(n)满足下式：

x(n)n1≤n≤n2

x(n)=0其它第八十二页，共一百九十一页。

即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的(De)序列称为有限长序列。其Z变换为

设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与∞丙点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n1<0，则收敛域不包括∞点；如n2>0，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下：第八十三页，共一百九十一页。

n1<0，n2≤0时，0≤z＜∞

n1<0，n2>0时，0<z＜∞

n1≥0，n2>0时，0<z≤∞

例2.5.2求x(n)=RN(n)的(De)Z变换及其收敛域

解：第八十四页，共一百九十一页。

这是一(Yi)个因果的有限长序列，因此收敛域为0<z≤∞。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ejω代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果(2.2.5)公式是相同的。

2.右序列右序列是在n≥n1时，序列值不全为零，而其它n<n1，序列值全为零。第八十五页，共一百九十一页。

第一项为有限长序列，设n1≤-1，其(Qi)收敛域为0≤|z|＜∞。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-<|z|≤∞，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-<|z|<∞。如果是因果序列，收敛域定为Rx-<|z|≤∞。第八十六页，共一百九十一页。

例2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及(Ji)其收敛域解：在收敛域中必须满足|az-1|<1，因此收敛域为|z|>|a|。

3.左序列左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n1，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为

第八十七页，共一百九十一页。

如果n2<0,z=0点收敛，z=∞点不收敛，其收敛域是在某一(Yi)圆(半径为Rx+)的圆内，收敛域为0≤|z|<Rx+。如果n2>0，则收敛域为0<|z|<Rx+

。例2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。

X(z)存在要求|a-1z|<1，即收敛域为|z|<|a|第八十八页，共一百九十一页。4.双边(Bian)序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为第八十九页，共一百九十一页。

X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+>Rx-，其收敛域为Rx-<|z|<Rx+

，这(Zhe)是一个环状域，如果Rx+<Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。例2.5.5x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：第九十页，共一百九十一页。

第一部分收敛域为|az|<1，得|z|<|a|-1，第二(Er)部分收敛域为|az-1|<1，得到|z|>|a|。如果|a|<1，两部分的公共收敛域为|a|<|z|<|a|-1，其Z变换如下式：|a|<|z|<|a|-1

如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0<a<1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.5.2所示。第九十一页，共一百九十一页。

图(Tu)

2.5.2例2.5.5图第九十二页，共一百九十一页。2.5.3逆Z变换已知序列的Z变换及其收敛域，求(Qiu)序列称为逆Z变换。序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：(2.5.5)第九十三页，共一百九十一页。1.用留数定理求逆Z变换如果X(z)zn-1在围线c内的极点(Dian)用zk表示，根据留数定理(2.5.6)

式中表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数，逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和。如果zk是单阶极点，则根据留数定理(2.5.7)第九十四页，共一百九十一页。

由(2.5.8)式表明，对于N阶极点，需要求N-1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使(Shi)问题简单化。设被积函数用F(z)表示，即如果zk是N阶极点，则根据留数定理(2.5.8)第九十五页，共一百九十一页。

F(z)在(Zai)z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上极点分成两部分：一部分是c内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，N=N1+N2，用z2k表示。根据留数辅助定理下式成立：

(2.5.9)

注意(2.5.9)式成立的条件是F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式。(2.5.9)式成立的条件是第九十六页，共一百九十一页。第九十七页，共一百九十一页。

N-M-n+1≥2

因此要求N-M-n≥1(2.5.10)

如果(2.5.10)式满足,c圆内极点中有多阶极点，而c圆外极点没有多阶的，可以按照(2.5.9)式，改求c圆外极点留数之和，最后加一个负号。例2.5.6已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|>a，求其逆(Ni)Z变换x(n)。第九十八页，共一百九十一页。

为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n<0时z=0共二个极点，其中z=0极点和(He)n的取值有关。n≥0时，n=0不是极点。n<0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n≥0和n<0两种情况求x(n)。

n≥0时，第九十九页，共一百九十一页。

n<0时，增加z=0的n阶极点，不易求留(Liu)数，采用留(Liu)数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是否满足，此处n<0，只要N-N≥0，(2.5.10)式就满足。图2.5.4例2.5.6中n<0时F(z)极点分布第一百页，共一百九十一页。

例2.5.7已知，求其逆变换x(n)。解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图2.5.5所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这样收敛域有三种选法，它们是

(1)|z|>|a-1|，对应的x(n)是右(You)序列；

(2)|a|<|z|<|z-1|，对应的x(n)是双边序列；

(3)|z|<|a|，对应的x(n)是左序列。第一百零一页，共一百九十一页。图(Tu)

2.5.5例2.5.7X(z)极点分布图第一百零二页，共一百九十一页。

下面(Mian)按照收敛域的不同求其x(n)。

(1)收敛域|z|>|a-1|

种收敛域是因果的右序列，无须求n<0时的x(n)。当n≥0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此第一百零三页，共一百九十一页。

最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。

(2)收敛域|z|<|a|

这种情况原序列是左序列，无须计算n≥0情况，当n≥0时，围(Wei)线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n<0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和第一百零四页，共一百九十一页。

最后将x(n)表示成

x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域(Yu)|a|<|z|<|a-1|

这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n≥0和n<0两情况分别求x(n)。

n≥0时，c内极点z=a

x(n)=Res［F(z),a］=an第一百零五页，共一百九十一页。

n<0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改(Gai)求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此

x(n)=-Res［F(z),a-1］=a-n

最后将x(n)表示为

an

n≥0

x(n)=x(n)=a|n|

a-n

n<0

第一百零六页，共一百九十一页。2.幂级数法(Fa)(长除法)

按照Z变换定义(2.5.1)式，可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。要说明的是，如果x(n)是右序列，级数应是负幂级数；如x(n)是左序列，级数则是正幂级数。例2.5.8已知用长除法求其逆Z变换x(n)。解由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数第一百零七页，共一百九十一页。1-az-1

第一百零八页，共一百九十一页。

例2.5.9已知求其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列(Lie)，用长除法将X(z)展成正幂级数第一百零九页，共一百九十一页。3.部分分式展开法对于大多数单阶极点的(De)序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式第一百一十页，共一百九十一页。

观察上式，X(z)/z在(Zai)z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。(2.5.11)(2.5.12)(2.5.13)(2.5.14)

求出Am系数(m=0,1,2,…N)后，很容易示求得x(n)序列。第一百一十一页，共一百九十一页。

例2.5.10已知，求(Qiu)逆Z变换。解第一百一十二页，共一百九十一页。

因为(Wei)收敛域为(Wei)2<|z|<3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为|z|>2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|<3。查表2.5.1得到

x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)

一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。第一百一十三页，共一百九十一页。

表2.5.1常见序列Z变(Bian)换第一百一十四页，共一百九十一页。第一百一十五页，共一百九十一页。2.5.4Z变换的性质和定(Ding)理

Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。

1.线性设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］,Ry-<|z|<Ry+

则M(z)=ZT［m(n)］

=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|<Rm+(2.5.15)

Rm+=max［Rx+,Ry+］

Rm-=max［

Rx,Ry-］第一百一十六页，共一百九十一页。

这里M(z)的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收敛域，如果没有公共收敛域，例如当(Dang)

Rx+>Rx->Ry+>Ry-时，则M(z)不存在。

2.序列的移位设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

则ZT［x(n-n0)］=z-n0X(z),Rx-<|z|<Rx+(2.5.16)第一百一十七页，共一百九十一页。3.乘以指数序列(Lie)设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

y(n)=anx(n),a为常数则Y(z)=ZT［anx(n)］

=X(a-1z)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+(2.5.17)证明因为Rx-<|a-1z|<Rx+，得到|a|Rx-<|z|<|a|Rx+

。第一百一十八页，共一百九十一页。4.序列(Lie)乘以n设则(2.5.18)证明第一百一十九页，共一百九十一页。5.复序列的共(Gong)轭设则证明(2.5.19)第一百二十页，共一百九十一页。6.初值定理设x(n)是(Shi)因果序列，X(z)=ZT［x(n)］

(2.5.20)证明因此7.终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则(2.5.21)第一百二十一页，共一百九十一页。证(Zheng)明因为x(n)是因果序列，

因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限第一百二十二页，共一百九十一页。终值定理也可用X(z)在z=1点的留(Liu)数，因为(2.5.22)因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x(∞)=0。第一百二十三页，共一百九十一页。8.序列卷积(Ji)设则第一百二十四页，共一百九十一页。证(Zheng)明W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。第一百二十五页，共一百九十一页。

例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|<1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)

求y(n)可用二种方法，一种直接求解线(Xian)性卷积，另一种是用Z变换法。

第一百二十六页，共一百九十一页。由收敛(Lian)域判定y(n)=0,n<0。n≥0y(n)=Res［Y(z)zn-1,1］+Res［Y(z)zn-1,a］第一百二十七页，共一百九十一页。将y(n)表示(Shi)为9.复卷积定理如果ZT［x(n)］=X(z)，Rx-<|z|<Rx+ZT［y(n)］=Y(z),Ry-<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)则第一百二十八页，共一百九十一页。W(z)的收敛(Lian)域(2.5.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为(2.5.24)(2.5.25)(2.5.26)第一百二十九页，共一百九十一页。证(Zheng)明由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到第一百三十页，共一百九十一页。

例2.5.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若(Ruo)w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］解：因此第一百三十一页，共一百九十一页。

W(z)收敛域为|a|<|z|≤∞；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和(He)z,c内极点z=a。第一百三十二页，共一百九十一页。10.帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证(Zheng)明重要的怕斯维尔定理。那么v平面上，c所在的收敛域为第一百三十三页，共一百九十一页。

证明令w(n)=x(n)·y*(n)

按照(2.5.24)式，得(De)到

按照(2.5.25)式，R

x-R

y-<|z|<R

x+R

y+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。第一百三十四页，共一百九十一页。

如果(Guo)x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=ejω，得到(2.5.29)令x(n)=y(n)得到

上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理(2.2.34)式是相同的。(2.5.28)式还可以表示成下式：第一百三十五页，共一百九十一页。2.5.5利用Z变换解差分方程在第一章中介绍了(Liao)差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常系数差方程为(2.5.30)1.求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对(2.5.30)式求Z变换，得到第一百三十六页，共一百九十一页。式(Shi)中(2.5.31)(2.5.32)第一百三十七页，共一百九十一页。2.求暂态解对于N阶(Jie)差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始条件y(-1),y(-2)…y(-N)。对(2.5.30)式进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。下面先求移位序列的单边Z变换。设第一百三十八页，共一百九十一页。(2.5.33)第一百三十九页，共一百九十一页。

按照(2.5.33)式对(2.5.30)式进行单边Z变(Bian)换(2.5.34)第一百四十页，共一百九十一页。

例2.5.13已知(Zhi)差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。解：将已知差分方程进行Z变换式中，于是第一百四十一页，共一百九十一页。

收敛(Lian)域为|z|>max(|a|,|b|)，式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。第一百四十二页，共一百九十一页。第一百四十三页，共一百九十一页。拉氏变换、傅(Fu)氏变换与Z变换一.拉氏变换与Z变换第一百四十四页，共一百九十一页。第一百四十五页，共一百九十一页。这说明，从理想采样信号的拉普拉斯变换到采样序列的Z变换，就是由复变量S平面到复变量Z平面的映射，其映射关系(Xi)为:

第一百四十六页，共一百九十一页。s=σ+jΩz=re

jωrejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT

r=eσTω=ΩT

z的模r对应于s的实部(Bu)σ，z的相角ω对应于s的虚部Ω。第一百四十七页，共一百九十一页。

先讨论s的实轴σ与z的模r的关系(Xi)，

σ=0（S平面虚轴）r=1（Z平面单位圆上）

σ<0（S的左半平面）r<1（Z平面单位圆内部）

σ>0（S的右半平面）r>1(Z平面单位圆外部）再讨论s的虚轴Ω与z的相角ω的关系式

Ω=0（S平面的实轴）ω=0（Z平面正实轴）

Ω由-π/T增至0ω由-π增至0

Ω由0增至π/T→

ω由0增至π

第一百四十八页，共一百九十一页。S平(Ping)面与Z平面多值映射关系

第一百四十九页，共一百九十一页。第一百五十页，共一百九十一页。二.连续信号的傅氏变换与序列的Z变换

傅里叶变换是拉普(Pu)拉斯变换在虚轴上的特例，即s=jΩ，映射到Z平面上正是单位圆z=ejΩT，说明：采样序列在单位圆上的Z变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换（频谱）。

第一百五十一页，共一百九十一页。三.序列的傅氏变换与Z变换

Z平面的角变量(Liang)ω直接