【同步测试】空间向量的数量积运算同步测试

空间向量的数量积运算同步测试1．设a，b，c是不共线的非零向量，下列命题：①（ab）c－（c·a）·b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③（ba）·c－（c·a）b不与a垂直；④（3a＋2b）·（3a－2b）＝9|a|2－4|b|2．其中正确的有（）A．①②B．②③C．③④D．②④2．下列命题正确的是（）A．|a|a＝a2B．（a·b）2＝a2·b2C．a（a·b）＝a2bD．|a·b|≤|a||b|3．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为（）A．－6B．6C．35．在△ABC中，＝a，＝b，若a·b＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．已知|a|＝12，|b|＝9，a·b＝，则〈a，b〉＝__________．7．已知|a|＝，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝__________．8．若a，b是两个非零向量，且a2b＝b2a，则a与b的关系是__________9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为正方形ABCD和AA1B1B的中心（1）求证：AC1⊥平面A1BD；（2）求夹角的余弦值．10．（能力拔高题）如图所示，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M．（1）求证：AO，BO，CO两两垂直；（2）求〈〉．

参考答案1．答案：D2．答案：D3．答案：C∵c⊥a，∴c·a＝（a＋b）·a＝0，可得a·b＝－1，cosa，b＝故向量a与b的夹角是120°．4．答案：B∵a⊥b，∴a·b＝（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝2k|e1|2＋（3k－8）e1·e2－12|e2|2＝2k－12＝0，∴k＝6．5．答案：A∵a·b＝|a||b|cos〈，〉＜0，∴cos〈，〉＜0，即∠BAC为钝角，∴△ABC为钝角三角形．6．答案：135°∵cos〈a，b〉＝∴〈a，b〉＝135°．7．答案：－由m⊥n，得（a＋b）·（a＋λb）＝0，则a2＋λa·b＋a·b＋λb2＝0，18＋λ×4cos135°＋×4×cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，解得λ＝－．8．答案：a＝b∵a2b＝b2a，∴|a|2b＝|b|2∴a与b共线且方向相同．∴|a|＝|b|．∴a＝b．9．答案：（1）证明：设则＝a＋b＋c，＝b－a，＝a－c．注意到a·b＝a·c＝b·c＝0，则有＝（a＋b＋c）·（b－a）＝b2－a2＋b·c－a·c＝|b|2－|a|2＝0．同理，=0，∴⊥，⊥，∴AC1⊥BD，AC1⊥A1B．又A1B与BD相交，∴AC1⊥平面A1BD．（2）解：设正方体的棱长为a，＝a2＋a2＋a2＝a2，∴||＝a．同理＝a．又10．答案：分析：（1）要证AO，BO，CO两两垂直只需证（2）由公式cos〈〉=可求得〈〉．（1）证明：设又设正四面体的棱长为1，则＝（a＋b＋c），（b＋c－5a），（a＋c－5b），（a＋b－5c），∴＝（b＋c－5a）·（a＋c－5b）＝（18a·b－9|a|2）＝（