【单元检测】函数的概念及其表示

函数的概念及其表示——单元检测一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列四种说法中，不正确的一个是()A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素2.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x1234f(x)3241A．1B．2C．3D．44．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是()A．{1}B．{－1}C．{－1，1}D．{－1，0}5．函数y＝eq\f(x,1＋x)的大致图象是()6．函数f(x)＝|x－1|的图象是()7．从甲市到乙市tmin的电话费由函数g(t)＝1.06(0.75[t]＋1)给出，其中t＞0，[t]为不超过t的最大整数，则从甲市到乙市5.5min的电话费为()A．5.04元B．5.43元C．5.83元D．5.38元8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，－1≤x≤1，,4－x，x<－1或x>1，))若f(1－x)＝2，则x的取值范围是()A．ϕ B．[0,2]C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列选项中不能表示同一个函数的是()A．y＝x＋1与y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x210．某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t年)的函数如图，下列四种说法中正确的是()A．前三年中，产量增长的速度越来越快B．前三年中，产量增长的速度越来越慢C．第三年后，这种产品停止生产D．第三年后，年产量保持不变11．下列图形哪个不是函数y＝x|x|的图象12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于f(x)下列说法正确的是()A．函数f(x)的值域是[0,1]B．∀x∈R，f(f(x))＝1C．f(x＋2)＝f(x)对任意x∈R恒成立D．存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数y＝eq\r(4－x2)＋eq\f(1,x)的定义域为________．14．若f(x)＝eq\f(5x,x2＋1)，且f(a)＝2，则a＝________．15．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋1，0＜x＜1,0，x＝0,x2－1，－1＜x＜0))的定义域为________，值域为________．16．若定义运算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b,a，a<b))，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1,1，x>1或x<－1))．（1）求f(2)，f(eq\f(1,2))；（2）若f(x)＝eq\f(1,4)，求x的值；（3）若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范围．18．（1）已知f(x)是二次函数,且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；（2）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；（3）已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)．19．如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数解析式，并指明这个函数的定义域．20．A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．21．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．（1）分别用图象法和解析式表示φ(x)；（2）求函数φ(x)的定义域和值域．22．已知函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)．（1）求f(2)与f(eq\f(1,2))，f(3)与f(eq\f(1,3))；（2）由（1）中求得的结果，你能发现f(x)与f(eq\f(1,x))有什么关系吗？请证明你的发现；（3）求f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2021))的值．参考答案题号答案学科核心素养水平等级解析1答案：B．数学抽象水平一解析：由函数的定义可知，A，C，D均正确，故B不正确．故选B．2答案：C．直观想象水平一解析：当a属于定义域时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝a没有交点；当a不属于定义域时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝a恰好一个交点．所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点．故选C．3答案：A．数学抽象水平一解析：f(3)＝4,f(f(3))＝f(4)＝1．故选A．4答案：D．数学抽象水平一解析：因为当x＝0时，在集合B中没有函数值与之对应．故选D．5答案：A．直观想象水平一解析：方法1：y＝eq\f(x,1＋x)的定义域为{x|x≠-1}，排除C，D当x＝0时，y＝0，排除B；方法2：y＝eq\f(x,1＋x)＝－eq\f(1,x＋1)＋1，由函数的平移性质可知A正确．故选A．6答案：B．直观想象水平二解析：方法1：函数解析式可化为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1,1－x，x<1))，画出此分段函数的图象．方法2：由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，所以排除A，C，D．故选B．7答案：A．数学运算水平二解析：依题意知，g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04．故选A．8答案：D．数学运算水平二解析：当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，所以0≤x≤2；当1－x＜－1或1－x＞1即x＜0或x＞2，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，得x＝－1，满足条件，综上：0≤x≤2或x＝－1．故选D．9答案：ACD．数学抽象水平一解析：对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．故选ACD．10答案：BC．直观想象水平二解析：由于纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，所以B，C正确．故选BC．11答案：ABC．直观想象水平一解析：函数y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0,－x2，x<0))，选项D正确．故选ABC．12答案：BC．数学抽象水平二解析：对于A选项，函数的值域为{0，1}，故A选项错误；对于B选项，当x为有理数时，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1，当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，所以∀x∈R，f(f(x))＝1，故B选项正确；对于C选项，当x为有理数时，x＋2为有理数，f(x＋2)＝f(x)＝1，当x为无理数时，x＋2为无理数，f(x＋2)＝f(x)＝0，所以，f(x＋2)＝f(x)恒成立，故C选项正确；对于D选项，若△ABC为等腰直角三角形，不妨设角B为直角，则f(x1)，f(x2)，f(x3)的值可能性只能为f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0或f(x1)＝1，f(x2)＝0，f(x3)＝1，由等腰直角三角形的性质得，|x2－x1|＝1，所以f(x1)＝f(x2)，这与f(x1)≠f(x2)矛盾，故D选项错误．故选BC．13答案：[－2，0)∪(0，2]．数学运算水平一解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0,x≠0))，解得－2≤x<0或0<x≤2，故函数的定义域为[－2，0)∪(0，2]．14答案：eq\f(1,2)或2．数学运算水平一解析：因为f(a)＝eq\f(5a,a2＋1)＝2，所以2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或eq\f(1,2)．15答案：(－1，1)；(－1，1)．数学运算水平二解析：分段函数的定义域为各段自变量取值范围的并集，即(0，1)∪{0}∪(－1，0)＝(－1，1)．分段函数的值域为各段函数值取值范围的并集，即(0，1)∪{0}∪(－1，0)＝(－1，1)．16答案：(－∞，1]．数学抽象水平二解析：由题意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1,x，x<1))，画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．17答案：（1）f(2)＝1；f(eq\f(1,4))＝eq\f(1,16)．（2）x＝±eq\f(1,2)．（3）．数学运算水平一解析：（1）f(2)＝1，f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，所以f(f(eq\f(1,2)))＝f(eq\f(1,4))＝eq\f(1,16)．（2）由f(x)＝eq\f(1,4)可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1,x2＝\f(1,4)))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<－1,1＝\f(1,4)))②由①式解得x＝±eq\f(1,2)，②式的解集为Φ．故当f(x)＝eq\f(1,4)时，x＝±eq\f(1,2)．（3）∵f(x)≥eq\f(1,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1,x2≥\f(1,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<－1,1≥\f(1,4)))，解得x≥eq\f(1,2)或x≤－eq\f(1,2)，∴．18答案：（1）f(x)＝x2－x＋1．（2）f(x)＝x2－5x＋6．（3）f(x)＝－3x－eq\f(2,3)．数学运算水平一解析：（1）设f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f(0)＝1，得c＝1，则有f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x因为这个式子对于任意x∈R均成立，所以2a＝2，a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1，故解析式为f(x)＝x2－x＋1．（2）方法1：换元法令x＋1＝t，则x=t－1．将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，故解析式为f(x)＝x2－5x＋6．方法2：配凑法x2－3x＋2＝(x＋1)2－2x－1－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋5＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6即f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，故解析式为f(x)＝x2－5x＋6．（3）因为对于任意的x都有，f(x)＋2f(－x)＝3x－2②，所以f(－x)＋2f(－(－x))＝3×(－x)－2，即2f(x)＋f(－x)＝－3x－2③，由2×③－②得：3f(x)＝－9x－2，故解析式为f(x)＝－3x－eq\f(2,3)．19答案：函数解析式为V＝x(a－2x)2；定义域为(0，eq\f(a,2))．数学建模水平二解析：由题意知，盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，故盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，其中自变量x应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x>0,x>0))，即0<x<eq\f(a,2)．故盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为(0，eq\f(a,2))．20答案：s关于t的函数关系为函数图象如图所示．数学建模水平二解析：（1）汽车从A地到B地，速度为50公里每小时，则s＝50t，从A地到达B地用时150÷50＝3（小时）．（2）汽车在B地停留2小时，则s＝150．（3）汽车从B地返回A地，速度为60公里每小时，则s＝150－60(t－5)＝450－60t，从B地到达A地用时eq\f(150,60)＝2.5（小时）．故该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50t，0≤t≤3,150，3<t≤5,450－60t，5<t≤7.5))．函数图象如图所示．21答案：．直观想象水平二解析：（1）在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①．由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②．令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1．结合图②，得到φ(x)的解析式为：φ(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2，x≤－2,x，－2<x<1,－x2＋2，x≥1))．（2）由图②知，φ(