(江苏专用)2018高考数学一轮复习第三章不等式第15课基本不等式其应用课时分层训练

第三章不等式第15课基本不等式及其应用课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．以下命题中正确的选项是________．(填序号)1①y＝x＋x的最小值是2；4②y＝2－3x－x(x＞0)的最大值是2－43；24③y＝sinx＋2的最小值是4；4④y＝2－3x－x(x＜0)的最小值是2－43.②[①不正确，如取x＝－1，则y＝－2.②正确，因为＝－－4＝－3x＋4≤－·4＝－y23xx2x223xx243.当且仅当3x＝4，即x＝23时等号建立．x324③不正确，令sinx＝t，则0＜t≤1，因此g(t)＝t＋t，明显g(t)在(0,1]上单一递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.④不正确，∵x＜0，∴－x＞0，44∴y＝2－3x－x＝2＋－3x＋－x≥2＋43.423当且仅当－3x＝－x，即x＝－3时等号建立．]2．对于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋a的最小值x1x2是________．42aa133[依题意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a，∴x1＋x2＋x1x2＝4a＋3a2＝4a＋3a≥24a·1＝43x1＋x2＋a的最小值为43.]33，故13a2xx3．已知a＞0，b＞0，若不等式m－3－1≤0恒建立，则m的最大值为________.【导3a＋bab学号：62172086】m31313b16[因为a＞0，b＞0，因此由3a＋b－a－b≤0恒建立得m≤a＋b(3a＋b)＝10＋a＋3a3b3a3b3a3b3ab恒建立．因为a＋b≥2a·b＝6，当且仅当a＝b时等号建立，因此10＋a＋b≥16，因此≤16，即的最大值为16.]mm4．(2017·盐城模拟)若x>0，y>0，且2x＋y＝2，则1＋1的最小值是________．xy3y2＋2[由2x＋y＝2得x＋2＝1.1111y1yx∴x＋y＝x＋yx＋2＝1＋2＋2x＋y3yx3yx3＝＋＋≥＋22x·＝＋2.]22xy2y25．要制作一个容积为3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每4m平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．160元[由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，24因此底面积S＝4m，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是xm．又设总造价是y元，则y＝×＋×2x＋8≥＋202x·8＝160.20410x80x8当且仅当2x＝x，即x＝2时获得等号．]x－31y1m6．已知x，y∈(0，＋∞)，2＝2，若x＋y(m＞0)的最小值为3，则m的值为________．4[由2x－31y得x＋y＝3，则＝21m1x＋)·1m＋＝(x＋yxy3yymx1＝1＋m＋＋≥＋＋m)，3xy3(1m21)＝3，即(＋1)2＝9，解得＝4.]∴(1＋＋23127．若实数a，b知足a＋b＝ab，则ab的最小值为________．1212222[由a＋b＝ab知a>0，b>0，因此ab＝a＋b≥2ab，即ab≥22，212a＝b，42，＝242时取“＝”，因此ab当且仅当即＝的最小值为1a＋2b＝ab，22.]8．已知正数x，y知足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________.【导学号：62172087】23－x231313x33[由x＋2xy－3＝0得y＝2x＝2x－2x，则2x＋y＝2x＋2x－2x＝2＋2x≥23x·3＝3，当且仅当x＝1时，等号建立，因此2＋y的最小值为3.]22xx9．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝log(x－1)＋1的图象恒过点A，若点A在直线mxa－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值为________．22[由题意可得：点A的坐标为(2,1)，因此2m＋n＝1，因此4m＋2n＝22m＋n≥22mn2m＋n＝22.]22·2＝2210．(2017·苏州期末)已知11＋2的最小值为________.＝，，∈(0,1)，则ab4ab1－a1－b【导学号：62172088】42114＋[∵ab＝，∴b＝.344a121218a∴1－a＋1－b＝1－a＋1－1＝1－a＋4a－14a＝1＋a－＋21＋2＋24a－1＝1－a1－a4a－124－4a＋4a－1＋2221[－4a＋a－]＋2＝34－4a＋4a－124－4aa－＝1＋2＋4－1＋4－4a＋23a2423(3＋22)＋2＝4＋3.1＋22当且仅当a＝时，取“＝”．]4＋22二、解答题311．(1)当x3y＝x＋28<2时，求函数x－3的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝x－2x的最大值．183[解](1)y＝2(2x－3)＋2x－3＋23－2x83.＝－2＋3－2x＋23当x<2时，有3－2x>0，3－2x83－2x8∴2＋3－2≥22·3－2＝4，xx3－2x81当且仅当2＝3－2x，即x＝－2时取等号．355于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.222∵0<x<2，∴2－x>0，x＋2－x∴y＝x－2x＝2·x－x≤2·＝2，2当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x－2x的最大值为2.12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：xy的最小值；x＋y的最小值．82[解](1)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，又x>0，y>0，82828则1＝x＋y≥2x·y＝xy，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号建立．因此xy的最小值为64.2由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，8228y则x＋y＝x＋y·(x＋y)＝10＋y＋x2x8y≥10＋2y·x＝18.4当且仅当x＝12且y＝6时等号建立，因此x＋y的最小值为18.B组能力提高(建议用时：15分钟)11．(2016·扬州期末)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋b2－1的最小值为________．13[由2logab＋3logba＝7得logab＝2或logab＝3(舍去)，∴a＝b2，1212121∴a＋b2－1＝b＋b2－1＝(b－1)＋b2－1＋1≥2b－b2－1＋1＝3.当且仅当b2－1＝21，即＝2，＝2时等号建立．]b－ba12．(2015·山东高考)定义运算“?”：x?y＝x2－y2(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，xyx?y＋(2y)?x的最小值为________．x2－y24y2－x2x2－y22[因为xy＝，因此(2yx＝2.又x>0，y>0.故xy＋(2yx＝xyxyxy4y2－x2x2＋2y2≥22xy2y时，等号建立．]＋＝2xy2xy＝2，当且仅当x＝2xy3．经市场检查，某旅行城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N1＋)的旅行人数f(t)(万人)近似地知足f(t)＝4＋t，而人均花费g(t)(元)近似地知足g(t)120－|t－20|.求该城市的旅行日利润W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N＋)的函数关系式；求该城市旅行日利润的最小值．1[解](1)W(t)＝f(t)g(t)＝4＋t(120－|t－20|)401＋4＋100，1≤≤20，ttt＝140559＋t－4t，20<t≤30.100100(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋t≥401＋24t·t＝441(t＝5时取最小值)．当t∈(20,30]时，因为()＝559＋140－4递减，Wttt5因此t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝4432，3因此t∈[1,30]时，()的最小值为441万元．Wt4．(2017·盐城模拟)已知美国苹果企业生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果企业一年内共生产该款iPhone手机x万只并所有销售完，每万只的销售收入为()万美元，且Rx400－6x，0<x≤40，R(x)＝740040000－x2，x>40.写出年利润W(万美元)对于年产量x(万只)的函数分析式；当年产量为多少万只时，苹果企业在该款iPhone手机的生产中所获取的利润最大？并求出最大利润．[解](1)当0<≤40，＝()－(16x＋40)＝－62＋384x－40；xWxRxx当x>40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－40000－16x＋7360.x6x2＋384x－40，0<x≤40，因此，W＝40000－－16x＋7