第3章-气体动理论

第三章气体动理论

(KineticTheoryofGases)3.1热力学系统状态志向气体状态方程3.2志向气体的压强和温度3.3能均分定理和志向气体内能3.4麦克斯韦速率分布律3.5玻尔兹曼分布律3.6实际气体的状态方程3.7气体分子平均自由程

系统热力学系统：要含有大量原子、分子或其 它微观粒子，体积有限的宏 观物体。热力学探讨的对象。一、热力学系统与外界§3.1热力学系统状态志向气体状态方程系统分类：1.孤立系统：2.封闭系统：3.开放系统：外界： 热力学系统以外的物体。无物质、能量的交换。有能量交换，无物质交换。既有物质交换又有能量交换。3.1.1热力学系统和状态补充说明:热学(Heat)宏观法与微观法相辅相成.热学是探讨与热现象有关的规律的科学.热学的探讨方法1.宏观法.最基本的试验规律逻辑推理------称为热力学优点：牢靠、普遍.缺点：未揭示微观本质.2.微观法.物质的微观结构+统计方法------称为统计力学其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论)优点：揭示了微观本质。缺点：牢靠性、普遍性差.热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现.大量分子的无规则运动称为热运动.下页上页结束返回二、微观状态与宏观状态2.宏观状态：对系统在整体上表现出来的某些性质进行描述而确定的状态。宏观量：表征系统状态和属性的 物理量。 可用仪器干脆测量,可被人的感官察觉。1.微观状态：对组成系统的大量微观粒子的运动状态

进行描述而确定的状态。微观量：不能干脆测量，不能被人的感官察觉。微观量与宏观量有确定的内在联系。分子的质量、直径、位置、速度、动量、动能等。广延量:质量M、体积V、能量E等；强度量：压强P、温度T等。三、平衡态平衡态：系统内部没有宏观的粒子和能量流淌，其 宏观性质不随时间变更。是一种动态平衡， 并伴随涨落。布朗运动是可观测的涨落现 象之一。非平衡态：当处在平衡态的系统受到外界影响时， 内部会出现宏观的粒子和能量流淌，此时 系统处在非平衡态。平衡态原理：一个孤立的热力学系统，不管它原来 处在什么状态，总会自 发地趋向平衡态， 并保持这个状态不变。非平衡态平衡态平衡态四、平衡态的状态参量1.状态参量：描述系统宏观性质（热学、力学、化 学、电磁等）的宏观量。2.气体的状态参量：体积V压强pSI单位：Pa(N/m2)1atm=1.01325×105Pa=76cmHg温度T反映物质分子运动的猛烈程度。几何描述力学描述热力学描述SI单位：m31l=10-3m3一、热平衡AB绝热板A、B两体系互不影响，各自达到平衡态。AB导热板两体系的平衡态有联系，达到共同的热平衡状态(热平衡)。二、热力学第零定律ACB绝热板导热板设A和C、B和C分别热平衡，则A和B确定热平衡。互为热平衡的热力学体系，必定具有一个共同的宏观物理性质和相同的宏观参量温度。温度测量的理论和试验依据。

温度是系统状态的一个态函数状态方程。3.1.2温度热力学第零定律三、温度确定一个系统是否与其它系统达到热平衡的宏观性质。处于热平衡的多个系统具有相同的温度具有相同温度的几个系统放在一起必定处于热平衡。温度测量ABA和B热平衡，TA=TB酒精或水银热胀冷缩特性，标准状态下，冰水混合，B上留一刻痕，水沸腾，又一刻痕，之间百等份，就是摄氏温标（Co）。四、温标温度的数值表示法称为温标。1.志向气体温标(T):测温物质：志向气体玻意耳定律：（温度不变）

三相点温度参考点：单位：开[尔文](K)2.热力学温标：与任何物质特性无关，在志向气体温标范围内，与志向气体温标等价。3.摄氏温标(t)单位：摄氏度()五、热力学第三定律热力学零度是不能达到的。温度大观大爆炸后的宇宙温度：1039K强子物质-夸克物质的相变：1012~1013K宇宙He合成：109K热核聚变：107~108K太阳表面温度：103~104K室温：300K氢的液化：约20K微波背景辐射：3K稀释制冷：10-2~10-3K核自旋制冷：10-8K地球的平均温度为150C(288k),109种生物得以生存假如大气中CO2含量加倍:则:由于温室效应地球的平均温度将升高30C海平面将上涨2～5米,可使农业减产25%,迫使10亿人背井离乡.冰河期:平均温度仅下降100C左右,就使大批物种灭亡.可见,我们安乐的家园——地球生物圈，在温度变更面前是何等的脆弱高悬天际蔚蓝的地球失控的温室效应造成高达4600C的干热金星失控的冰川效应造成的零下几十度的冰冷火星3.1.3志向气体状态方程志向气体在任一平衡态下各宏观量之间的关系称为志向气体状态方程。R为普适气体常数若写成令玻耳兹曼常数理想气体状态方程阿伏伽德罗常量n：气体分子数密度例:一容器内装有气体，温度为27oC，问：(1)压强为1.013105Pa时，在1m3中有多少个分子；(2)在高真空时，压强为1.3310-5Pa，在1m3中有多 少个分子?按公式p=nkT

可知解：气体动理论§3.2志向气体的压强和温度3.2.1气体分子的无规则热运动及其相互作用一、布朗运动：水中的花粉颗粒的不停顿的无规则运动是液体分子永不停息的无规则热运动的宏观表现。二、分子间相互作用力r0r合力斥力引力dfO10-9m志向气体的微观模型就是建立在这样的气体分子相互作用的图像上。一、对单个分子的力学性质的假设分子当作质点，不占体积；分子之间及分子与器壁间除碰撞的瞬间外，无相互作用力；弹性碰撞(动能守恒)；分子运动服从牛顿力学。志向气体分子像一个个微小的彼此间无相互作用的遵守牛顿力学规律的弹性质点fr志向气体：在各种压强下都严格遵守玻意耳定律的气体。3.2.2志向气体微观模型二、对分子集体的统计性假设

若忽略重力影响，达到平衡态时分子按位置的分布是均匀的,即分子数密度到处一样，并且有dV：体积元(宏观小，微观大)分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变更，平衡态时，分子速度按方向的分布是匀整的。每个分子的速度指向任何方向的概率是一样的。一、压强宏观意义SF二、气体压强微观意义气体压强等于气体对单位面积器壁的压力，气体对容器壁的压力是气体分子对器壁频繁碰撞的总的平均效果。器壁受到的冲量为三、压强公式推导方法：志向气体模型动身，应用力学规律和统计平均，处理由大量分子组成的质点系对器壁产生的压强。考虑速度为的单个气体分子与器壁发生弹性碰撞后，分子动量的增量为：x3.2.3志向气体压强考虑容器壁上一面积元dA，速度为的气体分子（这种速度的分子的数密度为ni）在dt时间间隔内能与面积元dA发生碰撞的数目为：速度为

分子在dt时间对dA的冲量为：所有分子在dt时间内对dA产生的总冲量为：气体对器壁的宏观压强为：xdA分子的平均平动动能统计规律：宏观量和微观量的统计平均值的定量关系；对大量气体分子才有意义。问题：压强公式中关键的物理量是什么？ni:

分子按速度的分布函数，如麦克斯韦分布函数。由压强公式状态方程平均平动动能公式热力学温度公式可得温度的微观意义：温度是气体分子平均平动动能的量度。3.2.4志向气体温度的微观说明一、热力学温度公式及温度的微观意义关于温度概念温度是大量分子热运动的宏观表现，具有统计意义，个别分子并无这种温度概念。温度是标记物体内部分子无规则热运动激烈程度的物理量，温度越高，分子的平均平动动能就越大。分子的平动动能总和为系统的内动能，与温度有关。温度和物体的整体运动(轨道动能)

无关。温度还与分子热运动的平均转动和振动动能有关。

一切气体、液体和固体，分子作无规则热运动的平均平动动能都为

3kT/2，与分子质量及分子间有无相互作用无关。

两个温度不同的系统达到热平衡的微观过程：平均平动动能

大的分子通过碰撞，将能量传递给平均平动动能小的分子，

直到其相等。这种由于温度差而传递的能量称为热量。问题：假如分子是多原子分子，温度是否与其热运动的转 动动能和振动动能有关？M为摩尔质量m为单个分子质量同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。如：在0℃时，H2分子的方均根速率在0℃时，O2

分子的方均根速率二、方均根速率：与分子速率相关的一种统计平均值，与分子运动的平均平动动能相联系。例

1.在多高温度下，气体分子的平均平动动能等于

1

电子伏特?解:

1eV=1电子电量1伏特=1.60210-19库仑1伏特=1.60210-19焦耳例

2.

某气体在温度T=273K时，压强为p=1.010-2atm,密度=1.2410-2kg/m3。求：该气体分子的方均根速率解:不能干脆运用!气体动理论§3.3能均分定理和志向气体内能自由度数：确定一个物体的空间位置所须要的独立坐标的数目，称为该物体的自由度数。一个质点的自由度t=3(x,y,z)刚体的自由度质心的平动： t=3绕质心的转动： r=3共计6个自由度由弹簧联结的两个小球构成的系统质心的平动： t=3两小球连线轴方位：r=２两小球的相对位置：s=1共计6个自由度共计3个自由度3.3.1自由度的概念二、刚性双原子分子(如H2)暂不考虑双原子之间的振动，即认为分子是刚性的。质心平动自由度：t=3所以只有两个独立坐标，称为转动自由度，表示为r=2。刚性双原子分子总自由度数：i=t+r=3+2=5一、单原子分子(如He)同质点，具有3个平动自由度，用t=3

表示。两原子连线定位：xyzo三、刚性三原子分子(如H2O)刚性三原子分子总自由度数：i=t+r=3+3=6四、刚性多（三个以上）原子组成的分子的总自由度数同刚性三原子分子考虑3号原子绕1、2号连线转动，需一角量，为转动自由度。五、n原子组成的分子的总自由度数3n其中：3个平动自由度3个转动自由度3n-6个振动自由度当分子运动受到某种约束或限制时，其自由度相应削减123xyzo3.3.2能量均分定理一个分子的平均平动动能为考虑到各对应一个平动自由度能量均分定理：在温度为

T

的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，而且等于

。平均平动动能在三个平动自由度间平均安排。关于分子热运动动能的统计规律，是对大量分子统计平均的结果，靠无规碰撞来实现。一、气体分子的平均总动能设分子有：平动自由度t，转动自由度r，振动自由度v单原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子分子平均总动能：室温至几百度下，实际多原子分子的振动自由度被冻结（量子效应），实际分子可当做刚性分子处理。3.3.3志向气体的内能理想气体模型的单原子分子

刚性双原子分子除平动能，还有转动能：z非刚性双原子分子除平动能、转动能，还有对应于一个振动自由度的振动能：每个转动自由度分配平均动能每个平动自由度分配平均能每个振动自由度分配平均能2倍非刚性双原子分子室温下的平均总能量：振动自由度只有在较高温度（几千度）下才激发起来二、志向气体的内能气体的内能=总动能+总势能志向气体的内能=总动能+0mol志向气体的内能：志向气体分子之间无相互作用力1mol刚性多原子分子气体内能：1mol刚性双原子分子气体内能：1mol

单原子分子气体内能：理想气体的内能是温度T的单值函数

气体动理论定体摩尔热容量志向气体系统由氧气组成，压强P=1atm，温度T=27oC。例题求（1）单位体积内的分子数；（2）分子的平均平动动能和平均转动动能；（3）单位体积中的内能。解（1）依据（2）（3）例题将水蒸汽分解成相同温度的氢气和氧气，求内能增加的百分比解2mol水2mol氢气1mol氧气例题:容积为20.0L的瓶子以速率u=200m/s匀速运动,瓶中充有质量为100g的氦气.设瓶子突然停止,且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动动能.瓶子与外界没有热量交换,求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？解：定向运动动能气体内能增量(i=3)由能量守恒(1)=6.42K(2)=6.67104Pa(3)(4)§3.4麦克斯韦速率分布律3.4.1统计规律性和概率分布一、统计规律性（伽耳顿板试验）1.单个小球落入某特定狭槽是个偶然事务。2.少量小球按狭槽的分布也带有明显的偶然性。3.大量小球按狭槽的分布是确定的，遵从一种

统计分布规律。可将统计规律可推广到气体分子的无规则运动的描述：任一时刻，各个分子都具有不同的位置和速度；同一分子在不同时刻也处在不同的运动状态。但对处于平衡态下的全部分子而言，处在确定空间范围及速度间隔的分子数目却是确定的。式中Ni/N表示速率位于vi到vi+v区间内的分子数占总分子数的百分比,或分子位于vi到vi+v区间内的概率。分子速率千变万化，而与速率相关联的统计平均却保持不变，这说明在无序的分子热运动背后存在一种稳定的气体分子按速率的分布，二、速率分布函数速率处于v处单位速率区间的分子数占总分子数的百分比。分子速率处于vi处单位速率区间内的概率v很小时，可认为速率分布函数

设气体的总分子数为N。显然，分子的最小速率为0，最大速率原则上不受限制，因此速率分布律速率分布函数f(v)代表分子速率处于在v旁边单位速率间隔内的概率，因此也叫做概率密度。即：全部速率区间的分子数占总分子数的比例之和为1。归一化条件速率的平方的平均麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦给出：在平衡态下,气体分子速率在 区间内的分子数占总分子数的比例为遵守玻耳兹曼分布律也可理解为在平衡态下,一个气体分子的速率在 区间内的的概率。3.4.2麦克斯韦速率分布律0一、麦克斯韦速率分布函数及曲线的意义1.在平衡态下，气体分子按速率分布特点是中间多，两头少。的物理意义：一定温度下，对相同的速率区间，所在区间内的分子数占总分子数的百分比最大，气体分子出现在所在区间内的几率最大。2.存在一个极大值，对应的速率为最概

然速率(最可几速率)。最概然速率的确定由得若令，则麦克斯韦速率函数可改写为如下便于记忆的形式温度越高，速率大的分子数越多。3.最概然速率与温度关系某种气体，分子质量确定，温度不同时但保持曲线下的总面积0T1T2T3B.相同温度下，不同种气体质量越小，速率大的分子数越多。m1m2m30补充说明：麦克斯韦分子速率分布律（志向气体处于平衡态时，速率分布函数的数学形式）vo探讨：*图中小矩形面积vodvo曲线下的总面积*归一化条件：其物理意义是全部速率区间内分子数百分比之和。o二、麦克斯韦速率分布律的应用它们的速率之和全部N个分子的速率之和平均速率速率在区间的分子数1.平均速率o2.方均根速率数学定义物理应用o三个统计速率的应用探讨平均自由程时应用。探讨分子的平均平动动能时应用。讨论速率分布时应用，它给出了极大值的位置，随温度增高而向增大的方向移动。逃逸速率与方均根速率K刚刚大过1明显不足以有效的阻挡气体分子散失，因此时仅具有小于平均热运动动能的分子能被引力拉住，但按麦克斯韦速率分布，气体中有大量分子速率过大，它们仍可以逃脱。从表中可以看出，K（5~8）是不够大的。例1.f(v)是速率分布函数，试说明下列各表达式的物理意义。

速率在v附近单位速率间隔内的分子数。速率在旁边d速率间隔内的分子数占总分子数的比例。平均速率平均平动动能归一化条件，全部速率区间内的分子数占总分子数的比例之和为1。(3)(1)(2)(4)(5)o

速率小于最概然速率vp的分子数。速率为v1到v2的分子的平均速率。最概然速率vp旁边dv速率间隔的分子数占总分子数的比例。速率为v1到v2的分子的总平动动能。(6)(9)(8)(7)(10)的分子数占总分子数的比例。例2.己知：有N个假想的气体分子,其速率分布如图所示,v>2v0的分子数为零。N，v0己知。求：1.b=?2.速率在v0--2v0之间的分子数=?3.分子的平均速率=?v02v0b0vf(v)写出函数解：(1)求b=?:v02v0b0vf(v)由归一化条件另法：由图可有面积S(2)求v0--2v0间的分子数:v02v0b0vf(v)(3)求平均速率:由定义气体动理论例3.试计算气体分子热运动速率的大小介于vp-vp/100

和vp+vp/100之间的分子数占总分子数的百分数。在此利用vp，引入u=v/vp，把麦克斯韦速率分布律改写成如下简洁形式：解：按题意§3.5玻尔兹曼分布律3.5.1麦克斯韦速度分布律分子速度处于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz区间内的分子数占总分子数的百分比麦克斯韦速率分布律：在平衡态下,气体分子速率在 区间内的分子数占总分子数的比例vxvzOv+dvvyvvxvyvzO分子在速度空间中不同状态区间内的分布v～v+dvvx~vx+dvx

vy~vy+dvy

vz~vz+dvz3.5.2重力场中粒子按高度的分布zz+dzn，pn+dn，p+dpz由力学平衡条件地球表面大气层中分子数密度随高度的分布等温气压公式由得3.5.3麦克斯韦-玻尔兹曼分布律气体分子处于位置区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz

内,分子速度处于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz区间内的分子数占总分子数的百分比在dV体积内分子占总分子数的比例dV体积内分子中速度处于dv速度区间的分子数占dV内总分子数的比例玻耳兹曼分布律是麦克斯韦速率分布律的推广，其中状态对应于确定能量值，也就是说，在能量越大的状态，粒子数就越少，且随能量值增大按指数规律衰减。

重力场中分子按高度分布：分子按平动动能大小分布：分子按转动动能大小分布：分子按振动动能大小分布