高中数学第三课时定积分的概念教案北师大版选修2-2

第三课时定积分的观点一、教课目的：1.经过求曲边梯形的面积和汽车行驶的行程，认识定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，认识定积分的观点，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．二、教课要点：定积分的观点、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．教课难点：定积分的观点、定积分的几何意义．三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程（一）、创建情形复习：1．回想前面曲边梯形的面积，汽车行驶的行程等问题的解决方法，解决步骤：切割→近似取代(以直代曲)→乞降→取极限（迫近）2．对这四个步骤再以剖析、理解、概括，找出共同点．（二）、新课探析1．定积分的观点一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点将区间[a,b]平分红n个小区间，每个小区间长度为（ba），xxn在每个小区间xi1,xi上任取一点ii1,2,,n，作和式：nnSnf(i)xi1i1

af(i)n假如x无穷靠近于0（亦即n）时，上述和式Sn无穷趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：Sbf(x)dx，a此中积分号，b－积分上限，a－积分下限，f(x)－被积函数，x－积分变量，[a,b]－积分区间，f(x)dx－被积式。说明：（1）定积分bf(x)dx是一个常数，即Sn无穷趋近的常数Sab（n时）记为f(x)dx，而不是Sn．a（2）用定义求定积分的一般方法是：①切割：n平分区间a,b；②近似取代：取点nbaixi1,xi；③乞降：f(i)；④取极限：i1nbnbaf(x)dxlimfinan1ibt2（3）曲边图形面积：Sfxdx；变速运动行程Sat1b变力做功WF(r)dra

v(t)dt；2．定积分的几何意义从几何上看，假如在区间a,b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分bfxdx表a示由直线xa,xb(ab),y0和曲线f(x)所围成的曲边梯形(如图中的暗影部分)的面积，这就是定积分bfxdx的几何意义。a说明：一般状况下，定积分b轴、函数xfxdxaf(x)的图形以及直线xa,xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。剖析：一般的，设被积函数yf(x)，若yf(x)在[a,b]上可取负值。观察和式fx1xfx2xf(xi)xfxnx不如设f(xi),f(xi1),,f(xn)0于是和式即为fx1xfx2xf(xi1)x{[f(xi)x][fxnx]}bf(x)dx暗影A的面积—暗影B的面积（即x轴上方面积减x轴a下方的面积）思虑：依据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中暗影部分的面积S吗？3．定积分的性质依据定积分的定义，不难得出定积分的以下性质：性质1ba)；kdxk(ba性质2bkbkf(x)dxf(x)dx(k为常数)（定积分的线性性质）；aa性质3bbb[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx（定积分的线性性aaa质）；性质4bcbcb)（定积分对积分f(x)dxaf(x)dxf(x)dx(此中aac区间的可加性）bf(x)dxaf(x)dx；(2)a0；(1)bf(x)dxaa说明：①推行：bc1c2b②推行:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxaac1ck③性质解说：y性质4性质1yBCAy=1OaxMNbOaPbx（三）．典例剖析例1、计算定积分2(x1)dx1剖析：所求定积分是x1,x2，y0与yx1所围成的梯形面5。y积，即为如图暗影部分面积，面积为252即：(x1)dx21O12x思虑：若改为计算定积分2呢？x(1)2dx改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]上，出现了负值怎样解决呢？（后边解决的问题）例2、计算定积分1x2)dx(2x0剖析：利用定积分性质有，1(2xx2)dx2112dxxdxx000利用定积分的定义分别求出1，1，就能获得12)xdx2dx(2x000的值。（四）．讲堂练习计算以下定积分1．554)dx945(2x4)dx(2x002．111111111xdxxd