2022届重庆市南开中学高考冲刺四数学（文）试题

/19/19/2022届重庆市南开中学高考冲刺四（文）数学试题一、单选题1．已知集合，，则集合A． B． C． D．【答案】C【解析】已知集合，，令，解得，因为，所以.所以.故选C.2．已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵R∴∵R∴故选A.3．已知,则A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴∴故选D.4．已知非零向量，的夹角是60°，，()，则A． B． C． D．【答案】A【解析】∵()∴，即.∵非零向量，的夹角是60°，∴∴故选A.5．在“淘淘”微信群的某次抢红包活动中，所发红包被随机的分配为元，元，元，元，元共五份，每人只能抢一次，若红包抢完时，则其中小淘、小乐两人抢到红包金额之和不少于元的概率是A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得所发红包的总金额为元，被随机分配为元，元，元，元，元共五份，供小淘、小乐等五人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中小淘、小乐二人抢到的金额之和不少于元的概率的情况有：，，，共有种.∴小淘、小乐二人抢到的金额之和不少于元的概率是故选B.6．在梯形中，，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可.【详解】由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为，高为的圆锥，挖去一个相同底面高为的倒圆锥，几何体的体积为：.故选：.【点睛】本题主要考查的是空间几何体，考查圆柱圆锥的体积公式，数形结合思想的应用，是基础题.7．执行如图所示的程序框图，当输入时，则输出的的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，；不满足条件，执行循环体，；满足条件，退出循环，输出的值为，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8．在中，，边上的高为，为垂足，且，则A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意设，，则.∵∴∵边上的高为∴，即.∴∴根据余弦定理得故选A.9．已知奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出的正负，由图象可求出的范围得结果.【详解】由奇函数的对称性可得的图像，不等式，转化为，则或，或或.等式的解集为：.故选：.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，是基础题.10．某参观团根据下列约束条件从，，，，五个镇选择参观地点：①若去镇，也必须去镇；②，两镇至少去一镇；③，两镇只去一镇；④，两镇都去或都不去；⑤若去镇，则，两镇也必须去.则该参观团至多去了（）A．，两镇 B．，两镇 C．，两镇 D．，两镇【答案】C【解析】分析：根据题中告诉的条件，运用假设法进行推理，若得出矛盾则否定之，若得不出矛盾则推理正确.详解：由②知，D、E两镇至少去一镇，若去E镇，则由⑤也必须去A、D镇，由于①和④必须去B、C两镇，但与③矛盾，所以不能去E地，因此必须去D地.由④也必须去C镇，再由③知，不能去B镇，从而由①知也不能去A镇，故参观团只能去C、D两镇.故选C.点睛：该题所考查的是有关推理的问题，在解题的过程中，需要对题中的条件认真分析，先假设去某个地方，根据题中所给的条件，进行推理，如果推出矛盾，则将其否定，如果没有推出矛盾，则说明其为正确的，从而得到结果.11．已知点、是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直角三角形的判定定理可得为直角三角形，根据双曲线定义及已知条件，和勾股定理即可列出关于的方程，即可得到双曲线的离心率.【详解】由，可得，即有为直角三角形，且，由双曲线定义可得，又，可得，在中，由勾股定理得，解得.故选：.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，双曲线的几何性质的应用，判断出为直角三角形是解决本题的关键，是中档题.12．已知三棱锥中，，，若三棱锥的最大体积为，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为A．π B．π C．π D．π【答案】C【解析】【详解】取的中点，连接，，作于点，设.∵∴，即三棱锥外接球的球心.∵∴∵∴∴∵三棱锥的最大体积为∴当为三棱锥的高时，三棱锥的体积最大，即.∴，则三棱锥的外接球的半径为.∴三棱锥的外接球的表面积为.故选C.点睛：本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.二、填空题13．已知函数，则_________.【答案】.【解析】将函数由内到外依次代入，即可求解.【详解】，且，，，.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是函数解析式来求函数值，同时考查分段函数的应用，考查学生对指数和对数的运算能力，是基础题.14．设，满足约束条件，则的最小值为__________.【答案】-5【解析】【详解】作出约束条件的可行域如图所示：由得，平移直线，由图像可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是_______.【答案】.【解析】利用正弦函数的定义域，值域，单调性和题意以及周期可得的取值范围.【详解】，，定义在上的函数有零点，且值域，，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是正弦函数的图像性质，要求学生对正弦函数的图像和性质掌握透彻并熟练应用，是中档题.16．已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于__________．【答案】【解析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．【详解】依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∴，则|KN|：|KM|＝2：1，kFN，∴2，求得p＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．三、解答题17．已知首项为的等差数列中，是的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)若数列是单调数列，且数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）或（2）【解析】试题分析：（1）由首项为，是的等比中项，即可求出公差，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）及数列是单调数列得，再根据，利用错位相减法即可求出试题解析：(1)是的等比中项，是等差数列或或(2)由(1)及是单调数列知得点睛：错位相减法求和的注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．18．某生物兴趣小组对冬季昼夜温差与反季节新品种大豆发芽数之间的关系进行研究，他们分别记录了月日至月日每天的昼夜温差与实验室每天颗种子的发芽数，得到以下表格该兴趣小组确定的研究方案是：先从这组数据中选取组数据，然后用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的组数据进行检验.(1)求统计数据中发芽数的平均数与方差；(2)若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日至月日的数据，求出发芽数关于温差的线性回归方程，若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差不超过，则认为得到的线性回归方程是可靠的，问得到的线性回归方程是否可靠？附：线性回归方程中斜率和截距最小二乘估法计算公式：，【答案】（1）25,17.2（2）得到的线性回归方程是可靠【解析】试题分析：（1）根据所给数据，结合平均数与方差的计算公式即可求出发芽数的平均数与方差；（2）先求出温差和发芽数的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到的值，从而得到线性回归方程，再分别将、代入，即可得证.试题解析：(1)(2)由月日至月日的数据得，，.当时，，满足当时，，满足得到的线性回归方程是可靠19．四棱锥中,平面，，，为的中点，，过点作于.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，由是的中点，可推出四边形CDEM为平行四边形，从而可证；（2）过过作交于点，由平面，推出，再根据，，，求得，由，从而可求出三棱锥的体积.试题解析：(1)证明:取的中点，连接.∵是的中点∴,∴,∴四边形CDEM为平行四边形，∴∵，∴(2)过作交AB于N点.∵平面∴，则.∴为点到面的距离，在直角中，，，.∴，，∴，∵∴三棱锥的体积20．已知椭圆的左右顶点分别为，左右焦点为分别为，焦距为2，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若为椭圆上一动点，直线过点且与轴垂直，为直线与的交点，为直线与直线的交点，求证：点在一个定圆上.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由焦距为，离心率为，即可求出焦距为，离心率为；（2）设点，，得出直线的方程，从而得出点的坐标，分别求出直线的方程和直线的方程，联立两直线方程，化简即可求得点在定圆上.试题解析：（1）的方程为（2）设点，,即，直线的方程:又,直线的方程为直线的方程为由得：，即∴点在定圆上.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21．设函数．讨论的单调性；设，当时，，求k的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）求出导函数，按的范围分类讨论的正负，可得单调性；（2）令，有，令，有，由得，即单调递增，从而得，按和讨论的单调性和最值，从而得出结论．【详解】（1）由题意得，当时，当；当时，；在单调递减，在单调递增，当时，令得，当时，；当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减；②当时，，所以在单调递增，③当时，；当时，；当时，；∴在单调递增，在单调递减；（2）令，有，令，有，当时，单调递增．∴，即．当，即时，在单调递增，，不等式恒成立，②当时，有一个解，设为根，∴有单调递减；当时，单调递增，有，∴当时，不恒成立；综上所述，的取值范围是．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，不等式恒成立常常转化为求函数的最值，本题设，确定在上的最小值，如果此最小值则符合题意，若此最小值，则不合题意．当然在求的零点时，可能还要对求导，以确定零点．22．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若曲线上的动点到直线的最大距离为，求的值.【答案】（1），直线的普通方程为：（2）【解析】试题分析：（1）因为，，故可得曲线，直线的普通方程为：；（2）由点到直线的距离公式可得：，.试题解析：（1）由得，因为，，故可得曲线，由消去参数可得直线的普通方程为：；（2）由（1）可得曲线的参数方程为：（为参数），由点到直线的距离公式可得：据条件可知，由于，