2021年浙江省高考数学试题（解析版）

2021年浙江省高考数学试题

一、选择题

1.设集合A={x|xZl},B={x[-l<x<2},则An8=()

A.B.{x|x>l}C.{x|-l<x<1}D.

|x|l<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】由交集的定义结合题意可得：AnB={x|l<x<2}.

故选：D.

2.已知aeR,(l+ai)i=3+i,(i为虚数单位)，则。=()

A-1B.1C.-3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数。的值.

【详解】(l+««)z=z+tzz2=i-a=-a+i=3+i,

利用复数相等的充分必要条件可得：一。=3,/.a=-3.

故选：C.

3.已知非零向量m,则"7工=零"”是“£=石”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所本，OA=a,OB=b,OC=c,BA=if—5,当AB_LOC时，G—B与c垂直,

^a-b^-c=0,所以成立，此时

•.•1)=""不是斤=5的充分条件，

当1=/?时，7_0=0，♦•（a,c=0•c=0,q.c=/>.c成立，

是〃=日的必要条件，

综上，“£.工=W是“G=5”的必要不充分条件

俯视图

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【详解】几何体为如图所示的四棱柱ABCO-A与，其高为1,底面为等腰梯形

ABCD,

该等腰梯形的上底为下底为2起，腰长为1，故梯形的高为「；=乎，

故匕BCTfB1G4=/X（夜+2夜）x[^xl=5,

故选：A.

x+l>0

5.若实数x,y满足约束条件<x-y〈O，则z=x—；y的最小值是（）

2x+3y—1<0

【答案】B

【解析】

【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为y=2x-2z,求出过可行域点，且斜率为2

的直线在>轴上截距的最大值即可.

x+l>0

【详解】画出满足约束条件<的可行域，

2x+3y-l<0

如下图所示:

目标函数2=1一3^化为丁=2%一22,

x=-1x=-l

由，，解得《,，设A(T,1),

一2x+3y—l=0。=1

当直线y=2x-2z过A点时，

13

z=x--y取得最小值为一-.

故选：B.

6.如图已知正方体A5CO—44GQ,M,N分别是4。，的中点，则()

A.直线A。与直线。出垂直，直线肱V//平面ABCO

B.直线A。与直线平行，直线MNL平面BDD6

C.直线A。与直线RB相交，直线MN//平面ABC。

D.直线AQ与直线。出异面，直线何NJ■平面

【答案】A

【解析】

【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面AB",即可得出结论.

连A。1，在正方体A8C。-45]££)]中，

股是AQ的中点，所以M为AR中点，

又N是的中点，所以MN//AB,

MN2平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

因为AB不垂直80，所以MN不垂直8。

则MN不垂直平面BDD禺,所以选项B,D不正确；

在正方体ABC。—中，AZ),±A,Z),

AB_L平面44,。。，所以A8_LA。，

ARcAB=A,所以AD_L平面ABA,

ABu平面ABA，所以4O_L£>0,

且直线A。,。6是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或

垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直

关系.

7.已知函数,f(x)=f+：,g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

y

B.y=/(x)-g(x)[

A.y=/(x)+g(x)

4

g(x)

c.y=/(x)g(x)D.y

/(x)

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=〃x)+g(x)—；=/+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象

不符，排除A；

对于B,y=/(x)—g(x)-;=/_sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排

除B；

)=/(小(%)=卜+；卜inx,则y'=2xsinx+1%2+；)cosx

对于C,

九亚n夜

71,，2

当天=一时,y——+TT+:x：-＞。，与图象不符，排除C.

4221164)2

故选：D.

8.己知a,4,/是互不相同的锐角，则在sinacos/?,sin/cosy,sin7cosa三个值中，大于

I的个数的最大值是()

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos#+sin#cos/+sin/cosa4/,从而

可判断三个代数式不可能均大于3,再结合特例可得三式中大于g的个数的最大值.

22

.2）A

【详解】法1：由基本不等式有sinacos/?《王笠竺N

22

日工田.Q,sit?乃+cos2ysin/+cosa

同理sin/?cosy〈-------------,sinycosa<------------

故5抽（7（：05£冈116（：057冈11/85。不可能均大于3.

口71c冗冗

取a=一,P=—,/=—

634

则sinacos夕=；v；,sin(3easy=^->^,sin/cos6f=~^~>~9

故三式中大于4的个数的最大值为2,

2

故选：C.

法2：不妨设c</3<y,则cos。>cos°>cos/,sinor<sinyff<sin/,

由排列不等式可得：

sinacos'+sic/ycos/4-sin/cosa<sinacos/+sin尸cos尸+sin/cosa,

13

而sindzcos/+sin夕cos夕+sin/coso=sin(/+cif)+—sin2/?<^,

故5抽(7(：05£冈116(：057冈11/85。不可能均大于3.

rr71cn乃

取a=一,P=—,/=—,

634

则sinacos/?=：vg,sin/?cos/=>；,sinycosa=^->g，

故三式中大于5的个数的最大值为2,

2

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪

进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

9.已知a,0eR,H?>0,函数/(%)=加+优为eR).若/(5—1,〃>),。(5+］成等比数

列，则平面上点(3。的轨迹是()

A,直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和

抛物线

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

【详解】由题意得/(sT)/(s+f)="G)『，即

[a(s-f)2+b][a(s+f)2+b^=^as2,

对其进行整理变形：

(as?+at2-2ast+b^(as2+at2+2ast+b^=^as2+b),

+at2+by-(2asf)2-(as2+b)~=0,

^2as2+at2+2b^at2-4a2s2t2=0,

-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0，

所以一2as2+ar+2Z?=0或f=0，

1口-1

其中方丝一为双曲线，f=0为直线.

aa

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形,

提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

10.已知数列｛4｝满足％=1，。〃+1―L(〃£N*).记数列｛4｝的前〃项和为s“，则

1+

39

<<33<品<4C4<<D

A.2-002-

5,00005.0

9

<E<5

2-00

【答案】A

【解析】

【分析】显然可知，s侬〉：，利用倒数法得到1_=_L+-L+-再放

2an+\an\la„(J”"4

1114aH

缩可得由累加法可得­k，进而由a“+i=；―/=局部放缩可

d%M2(〃+1)-1+M

。,川一〃+16

得3K-然后利用累乘法求得见最后根据裂项相消法即可得到

ann+3(»+1)(«+2)

Soo<3,从而得解.

所以4>0,S>|.

【详解】因为4=1，《用IOO

1八〃-1n+1

根据累加法可得，-r=^1+—=—,当且仅当〃=1时取等号,

也22

4a/an+1

••---------T・•%?+]=-----<----------zn-=-------ci

(«+1)1+亚]+2n+3

n+1

%〃+3

6

由累乘法可得《当且仅当〃=1时取等号,

(〃+1)5+2)

由裂项求和法得:

3

所以S|(x)+即

<3,5<E0G<3.

\JJII

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到禽,日二的不等关系，再由累加法可求得

4°

由题目条件可知要证So。小于某数，从而通过局部放缩得到%,的不等

6

关系，改变不等式的方向得到小小为7^最后由裂项相消法求得S|oo<3.

二、填空题

11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和

中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3,4,

记大正方形的面积为小正方形的面积为邑,

【答案】25

【解析】

【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.

【详解】由题意可得，大正方形的边长为："四+甲=5,

则其面积为：S,=52=25,

小正方形的面积：S2=25-4x（gx3x4）=l,

S,25

从而肃=丁=25.

故答案为：25.

函数f（幻=宿::二2,若小网=3'

12.已知。wR,则。=

【答案】2

【解析】

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于。的方程，解方程可得。的值.

详解】/『（C）］=〃6_4）=/（2）=|2_3|+a=3,故〃=2,

故答案为：2.

13.已知多项式（X—1）3+（尤+I）4=%4+%X~++。4，则=>

%+%+。4=.

【答案】①.5;②.10.

【解析】

【分析】根据二项展开式定理，分别求出（尤-l）3,（x+4）4的展开式，即可得出结论.

【详解】（X-1）3=/-3/+3x-l,

（x+1）4=x4+4x3+6x2+4x+1,

所以4=1+4=5,々=-3+6=3,

%=3+4=7,4=—1+1=0,

所以。2+。3+。4=1°.

故答案为：5,10.

14.在AABC中，/3=60。,48=2,M是8C的中点，AM=2jL则

AC=，cosAMAC=.

【答案】①.2713②.2叵

13

【解析】

【分析】由题意结合余弦定理可得8c=8,进而可得AC,再由余弦定理可得cosNM4c.

【详解】由题意作出图形，如图，

在AABM中，由余弦定理得AM?=AB2+BM2—28M・B4-COS5,

即12=4+B"2-2BMX2X,，解得3Mm（负值舍去），

2

所以BC=2BM=2CW=8,

在△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB=4+M-2X2XSX-=52,

2

所以AC=2jB；

在AAMC中，由余弦定理得

AC?+AM2-52+12-16_2回

cosZMAC=

2AM-AC2x273x2713-13,

故答案为：2屈;独9

13

15.袋中有4个红球〃7个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为若取出

的两个球都是红球的概率为4，一红一黄的概率为工，则机-〃=

63

矶加--------

Q

【答案】①.10.-

9

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得加，〃的值，再根据随机变量4的分布列即

可求出£偌）.

。261

【详解】=2）=—=-...=^=>C；+“+4=36,所以，w+〃+4=9,

P（一红一黄）=冬&=瞿=《=!=>，〃=3,所以〃=2,则加_/=1.

。加+"+43693

2

由于p(4=2)1=1Pe=iC)'-=C'^^4=xW5=：5，pc=°)=1Cl"10_5_

36-18

1X24X1+AXO=1+5=8

6918399

Q

故答案为：1；—.

9

16.已知椭圆二+马=1（。>人〉0）,焦点耳（一c,0）,F2（C,Q）（C>0）,若过耳的直线和

crb"

圆［x-gc）+y=/相切，与椭圆在第一象限交于点p，且「鸟,X轴，则该直线的斜

率是,椭圆的离心率是.

【答案】①.学②.T

【解析】

2

【分析】不妨假设c=2,根据图形可知，sin/PG玛=1,再根据同角三角函数基本关系

即可求出左=1211/「耳玛=§6；再根据椭圆定义求出。，即可求得离心率.

【详解】

如图所示：不妨假设c=2,设切点为8,

\AB\2/门厂厂22G

sinZPEF.=sinZBF,A=~~=-,tanZPFF=/.,=-V5

'2'而3}2V32-225

所以％=2叵，由左=阳用=2c=4,所以忸园=还

5忸司1215

归用=归段、马后=¥

SinZ-rFjr93

于是2a=|PK|+|P闾=46，即a=26，所以e=£=3=t.

a2j55

故答案为：走;为

55

17.已知平面向量2,反2,(2工。)满足卜卜1炳=2,。%=0,(4-3)年=0.记向量征在£花

方向上的投影分别为x,y,［在"方向上的投影为z,则d+y2+z2的最小值为

【答案】|

【解析】

【分析】设1=(1,0),6=(0,2),3二(〃?,〃)，由平面向量的知识可得2x+y-J^z=2,再

结合柯西不等式即可得解.

【详解】由题意，设a=(i,o),5=(02)1=(m,〃)，

则(a—B)-c=/〃-2〃=0,即加=2〃，

又向量[在2坂方向上的投影分别为x,y，所以Z=(x,y),

口,一弘3d(d-a)-cm(x-l]+ny2x-2+y

所以d—a在c,方向上的投影z=——=/,,-=『，

|c|yJm2+n2±V5

即2x+y+\[5z=2,

所以f+r+22+l2+(±V5)-(x2+/+z2)>^j(2x+y+V5zy=|,

2

X———

x_y_z5

当且仅当127不后1

即J>=s时,等号成立,

2x+y+\[5z=2

V5

Z=?T

2

所以V+y?+Z?的最小值为~.

2

故答案：一.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是由平面向量的知识转化出x,y,z之间的等量关系，再结合柯西不等式变形

即可求得最小值.

三、解答题

18.设函数〃x)=sinx+cosx(xeR).

(1)求函数y=[/(x+5)]的最小正周期；

[TT

(2)求函数y=/(x)/1x—I在0,万上最大值.

万

【答案】(1)乃；(2)1+—.

2

【解析】

【分析】(1)由题意结合三角恒等变换可得y=l-sin2x,再由三角函数最小正周期公式即

可得解；

也，再由三角函数的图象与性质即可得解.

(2)由三角恒等变换可得y=sinf2x-^j+

2

71

【详解】(1)由辅助角公式得/(x)=sinx+cosx=J5sinXH------

4

则

2|2、

7T3万、-=

y=XH------—^2sinIxH----—2sin1xH—■——1-cosI2xH----|1-sin2x

24；4J2

27r

所以该函数的最小正周期T=——=乃;

2

711乃吟.

(2)由题意，y=/(x)/X----=5/2sinXH------•V2sinx=2sinx-\——sinx

4j

4J47

.陋)

2sinx-sinxd-----cosx=>/2sin2x+V2sinxcosx

2J

rr1-cos2xv2.八交sin2x-交cos2x+也V2

=72--------------1-----sin2x==sin(2x-^J+

222222，

由xe呜71可得"一71"J片

24

所以当2x—f=£即尤=若0寸，函数取最大值1+1.

4282

19.如图，在四棱锥尸—ABC。中，底面A3CO是平行四边形,

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15，M,N分别为6C,PC的中点,

PDA.DC,PM±MD.

N

c

力M

B

（1）证明：AB1PM；

（2）求直线AN与平面灯泌所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）—.

6

【解析】

【分析】（1）要证可证,由题意可得，POLOC,易证

从而。CJ•平面PZW,即有DC_LPM,从而得证；

（2）取中点£,根据题意可知，ME,DM,PM两两垂直,所以以点M为坐标原点，

建立空间直角坐标系，再分别求出向量而和平面PO0的一个法向量，即可根据线面角的

向量公式求出.

【详解】（1）在△£＞（%/中，。。=1,CM=2,NDCM=60'，由余弦定理可得=百，

所以0M2+。。2=。加2,...DM，。。由题意DC_LPD且尸Dc£）M=。，

平面而PMu平面PZW,所以Z5CLPM,又A6//OC,所以

（2）由ABA.PM，而AB与D0相交，所以。ML平面ABC。，因为

AM=币,所以PM=20，取AO中点E,连接ME,则两两垂直，

以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，

则A（-区2,0）,P（0,0,272）,D（疯0,0）,M（0,0,0）,。（百，一1,0）

又N为PC中点，所以N1咚夜,A/V=13,血.

由（1）得CZ5_L平面PDW,所以平面PZW的一个法向量为=（0,1,0）

5

.°|丽向2V15

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为sm0=-=—=/；=--.

|AMI〃|27+25+26

V44

B

【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明A3LPM，可以考虑

DC±PM,

题中与QC有垂直关系的直线较多，易证。C_L平面PZW,从而使问题得以解决；第二问

思路直接，由第一间的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算

得出.

O

20.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，a,且4s“+1=3S.-9.

(1)求数列｛q｝的通项；

(2)设数列也｝满足沌+5-4)4=0(〃eN*),记也｝的前n项和为7；，若北4独，对

任意〃GN*恒成立，求实数2的取值范围.

3

【答案】⑴a„=-3•(-)"；(2)-3<2<1.

【解析】

【分析】(1)由4S,,+|=3S,,-9,结合S,与a”的关系，分〃=1,〃22讨论，得到数列｛4｝

为等比数列，即可得出结论；

(2)由此+(n-4)a„=0结合(1)的结论，利用错位相减法求出T„,Tn<也对任意neN*

恒成立，分类讨论分离参数;I,转化为2与关于〃的函数的范围关系，即可求解.

【详解】(1)当〃=1时，4(6+%)=3%-9,

当〃22时，由4S,,+|=3S,—9①,

得4S“=3S,T-9②,①一②得缶m=3a*

3

1644

a,3,.93

又，■=｛凡｝是首项为一二，公比为己的等比数列,

(2)由3d+(〃-4)a“=0,得d=

所以(=_3xq_2x(1)—lx]?)+°x([)+•••+(〃—4)(q)

—2x］—1x(1...(n-5)-^+5—4)-g)

。++

(3丫山

两式相减得』7；-(n-4)--I

4"

2i-⑶

-Z+一口(1)川

4

-(n-4)-^-J

所以工,=_4〃-

由7；42包得一4〃.(1),,+|<4(〃-4).(^)"恒成立，

即4(〃-4)+3«>0恒成立，

〃=4时不等式恒成立；

21O

〃<4时，几W------=-3------，得几<1；

n-4n-4

Q1r\

〃>4时，A>--=-3------，得/IN—3；

n-4n-4

所以—

【点睛】易错点点睛：(1)已知S,求巴不要忽略〃=1情况；(2)恒成立分离参数时，要

注意变量的正负零讨论，如(2)中4(〃-4)+3〃20恒成立，要对

〃一4=0,〃—4>0,〃—4<0讨论，还要注意〃—4<0时，分离参数不等式要变号.

21.如图，已知尸是抛物线丁=23(〃>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且

MF\=2,

(1)求抛物线的方程；

(2)设过点尸的直线交抛物线与4、8两点，斜率为2的直线/与直线MB,AB,x轴

依次交于点P,Q,R,N,且|RN『=|呐|也叫，求直线/在x轴上截距的范围.

【答案】⑴/=4x；(2)(Y,-7-46]U[-7+4/,1)U(1,+8).

【解析】

【分析】(1)求出，的值后可求抛物线的方程.

(2)设AB:x=(y+l,4(%,,),3(赴,必)，N(〃,0),联立直线4？的方程和抛物线的

方程后可得,以=-4,乂+%=4，，求出直线M4,M8的方程，联立各直线方程可求出

f/2+l?3+4产

%，%，%，根据题设条件可得一7=;——从而可求〃的范围.

\n-lj(2Z-1)-

【详解】(1)因为|MF|=2,故p=2,故抛物线的方程为：y2=4x.

(2)设AB:x=<y+l,珥&乂卜8七,火)，N(〃,0),

所以直线/:x='+”，由题设可得咒。1且

22

x=ty+lc

由〈2彳可得y-4。-4=0,故弘必=一^^+必二今，

y=4x

因为|HAf=|PN|.|QN|,故

广等T（"i）

又=d[(九+1),2("+i)y

由，可得>P

y2%1+2—y

x=--\-n

2

2(〃+l)%

同理均

2X2+2—必

x=ty+l

2(〃T)

X=2+〃可得力

2r-l

I2

所以「2("一1)]1|2(〃+l)%*2(〃+l)弘

n\IX----------------x---------

2/—1J12x2+2-%2%+2-x

整理得到j匕4=(2f-I)2--------------写------------

1^+1/(2X2+2-%)(2%+2-yJ

4⑵—if

(j2+2f\j(^2+2-yJ\

4(2”以_(2I)2

呼+(%+疗-%,-2^*〉j2-2(%+,)+43+々

〃+lj3+4r

故

n-\一(2f

令s=2/—1,则，=色里且sw0,

2

3+4/52+25+4।2433

故7-------B2l+-+-y

（21）SS4-4)

(〃+l

n2+14n+l>0

故«\n-\I3凯

〃H1

nw1

解得〃〈一7-46或一7+46工〃<1或〃>L

故直线/在工轴上的截距的范围为〃4一7-46或一7+46〈〃<1或〃>1.

【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合

理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元

法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.

22.设。，6为实数，且a>l,函数/(x)=a，-fex+e2(xeR)

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若对任意匕>2e?,函数/(x)有两个不同的零点，求”的取值范围；

(3)当a=e时，证明：对任意》〉e4,函数有两个不同的零点与8仁>玉)，满

b\nbe2

足n々>京苞+石.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

【答案】(1)人W0时，f(x)在/?上单调递增；b>0时，函数的单调减区间为

1-8,log«高)，单调增区间为(log”白■，+00}

(2)(1,e2］；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；

(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可

确定实数a的取值范围；

(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.

【详解】⑴f(x)=ax-bx+e1,f\x)=ax\wa-b,

①若。W0,则/'(x)=a*lna-b20,所以在R上单调递增；

②若b>0,

当xe1—oo,log“高卜『，/(x)<O,/(x)单调递减，

当xw|log”,+Q0卜寸，尸(x)>0,/(x)单调递增.

综上可得，匕W0时，Ax)在R上单调递增：

0>0时，函数的单调减区间为1-8,10g.3