新高考数学一轮复习讲义9.6《双曲线》(原卷版)

§9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择、填空题为主，难度为中低档．一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做，两焦点间的距离叫做．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当时，P点的轨迹是双曲线；(2)当时，P点的轨迹是两条射线；(3)当时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：对称中心：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝(c>a>0，c>b>0)概念方法微思考1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？2．方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0<a<b，双曲线哪些性质受影响？题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).()(5)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．()题组二教材改编2．[P61T1]若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(5) B．5C.eq\r(2) D．23．[P61A组T3]已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为()A．x±eq\r(2)y＝0 B.eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝04．[P62A组T6]经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．题组三易错自纠5．(2016·全国Ⅰ)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))6．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(7),3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)7．已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为________________．题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.引申探究1．本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？2．本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0”，则△F1PF2的面积是多少？跟踪训练1设双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．题型二双曲线的标准方程例2(1)(2018·大连调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为eq\f(5,4)；②焦距为26，且经过点M(0,12)；③经过两点P(－3,2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7)．跟踪训练2(1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________________．(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，且与椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为()A.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1题型三双曲线的几何性质命题点1与渐近线有关的问题例3过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±eq\r(2)x D．y＝±eq\f(\r(2),2)x命题点2求离心率的值(或范围)例4已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B是圆(x＋c)2＋y2＝4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线的离心率为________．跟踪训练3已知点F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围是()A．(1，＋∞)B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),2)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法．例1已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))例2已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)1．(2018·合肥调研)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\r(5)C.eq\f(\r(3)＋1,2)D.eq\r(3)＋12．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为()A．x±y＝0 B．x±eq\r(3)y＝0C.eq\r(3)x±y＝0 D．2x±y＝03．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→))，且|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝4，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝14．的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于()A．4B．3C．2D．15．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝e，则eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))的值为()A．3B．2C．－3D．－26．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，eq\r(2))，则△APF周长的最小值为()A．4＋eq\r(2) B．4(1＋eq\r(2))C．2(eq\r(2)＋eq\r(6)) D.eq\r(6)＋3eq\r(2)7．已知离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若SKIPIF1<0＝16，则双曲线的实轴长是()A．32B．16C．84D．48．(2018·山东泰安联考)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0，A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))C．(1,2) D．(2，＋∞)9．则a＝________；b＝________.10．已知F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________．11．(2018·安阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．12．(2018·福建六校联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．13．(2018·南昌调研)已知双曲线