新高考数学一轮复习讲义4.4《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用》(原卷版)

§4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲考情考向分析1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)φ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φeq\f(π,2)eq\f(3π,2)y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径概念方法微思考1．怎样从y＝sinωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象是由y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq\f(π,2)个单位长度得到的．()(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq\f(T,2).()(4)函数y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，所得图象对应的函数解析式为y＝sineq\f(1,2)x.()题组二教材改编2．为了得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象向________平移________个单位长度．3．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、频率和初相分别为__________________．4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三易错自纠5．要得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移eq\f(π,12)个单位长度B．向右平移eq\f(π,12)个单位长度C．向左平移eq\f(π,3)个单位长度D．向右平移eq\f(π,3)个单位长度6．将函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为_____________．7．(2018·乌海模拟)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．8．(2018·沈阳质检)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为________．题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(2018·丹东模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的最小正周期是π，且当x＝eq\f(π,6)时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．引申探究在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．跟踪训练1(1)(2018·本溪调研)若把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，所得到的图象与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的一个可能取值是()A．2B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)(2)(2018·包头质检)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(0<ω<2)满足条件：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cosωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的最小值为()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,2)题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝________________.(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))取得最小值时x的集合为________．跟踪训练2(2018·满洲里质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))对称，则m的值可能为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,2)C.eq\f(7π,6)D.eq\f(7π,12)题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合问题例3已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，若f(0)＝eq\r(3)，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(π2,8)－8，B，C分别为最高点与最低点．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若将f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．命题点3三角函数模型例5据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为______元．跟踪训练3(1)(2018·赤峰模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2eq\r(2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，则函数f(x)的解析式为____________．(2)若函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)满足f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________．三角函数图象与性质的综合问题例(12分)已知函数f(x)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．1．为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝sin2x的图象()A．向右平移eq\f(π,6)个单位长度 B．向右平移eq\f(π,12)个单位长度C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度 D．向左平移eq\f(π,12)个单位长度2．(2018·鞍山统考)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.eq\f(π,8)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,8)D.eq\f(5π,4)3．(2018·盘锦模拟)函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度后对应函数的单调递减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))(k∈Z)4.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为()A．[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z)B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z)C．[－1＋4k，1＋4k](k∈Z)D．[－3＋8k，1＋8k](k∈Z)5．将函数f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)6．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值为()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)7.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))＝________.8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，又x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.9．(2018·铁岭模拟)已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，m))，若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),2)))，则m的取值范围是________．10．(2018·包头调研)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．(1)求ω的值，并求出函数f(x)的单调递增区间；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．12．(2017·山东)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))，其中0<ω<3.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，