高中数学选择性必修二等比数列的概念和通项公式讲义

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式

共同基础•系统落实课前自主学习，基稳才能楼高

GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI

知识点一等比数列的概念

(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数

列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(qHO)表示.

(2)符号语言：誓i=q(q为常数，”GN*)

Cln

【重点总结】

(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此公比也不为0,由

此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列.

(2)''从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠

倒.

(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略.

要点二等比中项

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与6的等比中项.

【重点总结】

(1)若G是a与b的等比中项，则?=*所以G?=ab,G—±Vab.

(2)与“任意两个实数a,b都有唯一的等差中项人=皆”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，

并且有两个等比中项，分别是相与一相；当a,b异号时没有等比中项.

(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.

要点三等比数列的通项公式

设等比数列｛斯｝的公比为4,则这个等比数列的通项公式是m3”gw。且rWN)

【重点总结】

(1)已知首项小和公比q,可以确定一个等比数列.

(2)在公式an=aiq「i中，有a0，al,q,n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中小，q为

两个基本量.

(3)对于等比数列｛a。｝,若q<0,则｛aj中正负项间隔出现，如数列1,一2,4,—8,16,…；若q>0,则数列

｛aj各项同号.从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号.

【基础自测】

1.判断正误(正确的画“，错误的画“X”)

(1)若一个数列为｛如｝,且满足巫=虱〃》2,q为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列.()

(2)在等比数列｛小｝中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值.()

(3)G为a,b的等比中项台仪二而4)

(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列.()

【答案】(1)V(2)V(3)X(4)X

2.(多选题)下列数列不是等比数列的是()

A.2,22.3X22,…BA尢

C.5-1,(5-1)2,(5—1)3,…D.0,0,0,…

【答案】ACD1

?23X227Q

【解析】A中，尹看，A不是等比数列；B中，了=1=",B是等比数列；C中，当s=l时,不是等

一_

屏

比数列；当s#l时，是等比数列，所以C不是等比数列显然不是等比数列.故选ACD.

3.已知｛〃"｝是等比数列，611=1,44=2吸，则。3=(

A.±2B.2

C.-2D.4

【答案】B

【解析】设等比数列｛〃“｝的公比为q,则有lXq3=2&=(娘)3,

:.q=y［i,：.a尸彳=2,故选B.

4.已知等比数列｛a"｝中，ai——2,a3——8,则a”

【答案】一2"或(一2)"

【解析】-"*411—2»。3=—8,£=4,，夕=±2,.•.〃”=(—2),2"1或许=(-2),(—2)"1,即a„

=-2"或。“=(一2)".

题型一等比数列通项公式的求法及应用

探究1基本量的计算

【例1】在等比数列｛斯｝中

(1)624=2,6(7=8,求斯；

(2)(22+05=18,〃3+a6=9,a,,=I,求〃.

3

a4=aiq,ai<y3=2,①

【解析】(1)因为所以

。7=。|«6,a1=8,②

由①得炉=4,从而q=W，而0炉=2,

2n-5

21_3

于是a尸群=5，所以一.

(2)方法一：由已知可得

,2+a5=aq+aid=18,①

［侬+恁=”炉+出炉二%②

由导得q=；,从而“1=32.

又以=1,所以32义(；)门=1,即26「"=2。，所以〃=6.

方法二：因为〃3+〃6=4(。2+。5),

所以夕=今

由〃q+。］^=18,得。1=32.

由1=1,得〃=6.

【重点小结】

(1)由手=q3便可求出q,再求出a”则an=arq『i.

（2）两个条件列出关于ai，q的方程组，求出山，q后再由an=l求n；也可以直接先由入手.

a2十as

【方法归纳】

等比数列通项公式的求法

（1）根据已知条件，建立关于0,q的方程组，求出0,q后再求小，这是常规方法.

（2）充分利用各项之间的关系，直接求出＜7后，再求最后求斯，这种方法带有一定的技巧性，能简化运

算.

探究2等比数列的实际应用

【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低;，现在价格为8100元的计算机3年后的

价格可降低为（）

A.300元B.900元

C.2400元D.3600元

【答案】C

2

【解析】降低后的价格构成以1为公比的等比数列，则现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为

8100x（5=2400（元）.

【方法技巧】

关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定©和必然后用等比数列的知识求解.

【跟踪训练1］（1）在等比数列｛斯｝中，的+如=4,s=2,则公比q等于（）

A.-2B.1或一2

C.ID.1或2

【答案】B

【解析】=ciiQ+cnq1—2q-\-—4,

即炉十,一2=0,解得q=l或q=-2,故选B.

（2）在等比数列｛斯｝中，斯＞0,已知。］=6,。］+。2+。3=78,则〃2等于（）

A.12B.18

C.24D.36

【答案】B

【解析】设公比为夕，

由已知得6+64+6炉=78,

即炉+夕一12=0

解得q=3或4=—4（舍去）.

・'・02=6q=6X3=18.故选B.

（3）某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的倍.

【答案】1.259

【解析】设这个林场今年的树木总量是机，第〃年末的树木总量为。〃，则知&X25%=L25a〃.

则等则数列｛为｝是公比4=1.25的等比数列.

Cln

则。10=的炉=1.259m.

所以誓=1.259.

题型二等比中项

【例3】已知等比数列的前三项和为168,政一四=42,求“5,的的等比中项.

【解析】设该等比数列的公比为小首项为0,

因为〃2—〃5=42,所以gWl,

a\+a\q-\-a\q2=168

由已知，得，

aiq—aiq4=42

〃i(l+q+?)=168①

'以一43)=42②

因为1—q3=(i一夕)(1+〃+夕2),

所以由②除以①，得式1一4)=：.所以夕=今

42

所以/|\-96.

4

若G是。5,。7的等比中项，

则应有G2=aaai=aiq4-aiq('=aiql0=962x[^]l0=9.

所以恁，47的等比中项是±3.

【方法归纳】

(1)首项0和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.

(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.

【跟踪训练2】如果一1,a,b,c,一9成等比数列，那么()

A.b=3,ac=9B.b=—3,ac=9

C.b=3,ac=-9D.b=13,ac=~9

【答案】B

【解析】—1,a,b,c,一9成等比数列，

・・・〃2=(-1)><瓦按=(一1)义(-9)=9

；・b<0,：.b=~3.

又b2=ac,，ac=9.故选B.

题型三等比数列的判定与证明

【例4】已知数列｛斯｝的前"项和为a，S„=|(a„-l)(neN*)

(1)求672!

(2)求证：数列｛〃“｝是等比数列.

【解析】⑴当n—\时，Si=§(ai—l)="i,解得：ai——

当〃=2时，52=!("2—l)=m+a2,解得"2=；.

(2)证明：当〃》2时，

一Sn—S'1-1——1)一耳(斯-1-1),

得台

所以｛如｝是首项为一;，公比为一:的等比数列.

【变式探究1】将本例中条件换为“数列｛%｝满足ai=l,a“+i=2a“+l”，求证：｛斯+1｝成等比数列，并

求•小.

=

【解析]由知+12un+19

；・a〃+1+1=2(。〃+1),**•.=2,

。〃十1

•♦・｛m+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

...如+1=2*2门=2",

：.a,,=2n-\.

【变式探究2】将本例中的条件换为“数列｛斯｝中，0=|,斯+产|•飙+&)"+「'，求前

【解析】令斯+LA&L』、”,,—则出+1=*+.

A

由已知条件知§=1,得A=3,

所以小+1-3X(；>+1=g”“一3X弓｝]

又0—3x(：)=-1*0,

所以｛斯-3X(折是首项为一多公比为g的等比数列.

1

于是an—3X(£)"=—1X.故斯=3X&)"-2X0.

【方法归纳】

判定数列是等比数列的常用方法

(1)定义法：如:二观"是常数)或巫=式4是常数，〃>2)台｛m｝为等比数列.

CtnCln-]

(2)等比中项法:c&+i=an-an+2(,an^0,〃eN*)<=>｛斯｝为等比数列.

(3)通项公式法：斯="口"-|(其中0,q为非零常数，〃eN")O｛a“｝为等比数列.

【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错

【例5】在等比数列｛斯｝中，。5=1，「9=81,则“7=()

A.9或一9B.9

C.27或一27D.-27

【答案】B

【解析】由等比中项的性质得质=。5。9=81,.•.47=±9,由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以47=9,

故选B.

【易错警示】

1.出错原因

没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得”7=±9,错选A.

2.纠错心得

在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.解此类题时要小心谨慎，以防上当.

一、单选题

1.已知等比数列｛4｝中，出是%,%的等差中项，则数列｛qJ的公比为()

「11

A.-彳或1B,--C.-D.1

222

【答案】A

【分析】

首先根据题意得到2%=4+生，从而得到2/—4—1=0,再解方程即可.

【解析】

由题知：物=4+小，

所以2夕2=1+4，gp2<72-^-1=0,解得夕=-3或夕=L

故选:A

2.已知等比数列｛““｝满足/=2,弓=/，则公比4=()

11

A.-5B.-C.-2D.2

【答案】B

【分析】

由。5=。2］即可求出.

【解析】

,•1«5=痴,即:=2/，解得q=；.

故选:B.

3.已知｛a,,｝为等比数列，S,是它的前n项和.若49=24,且4与2%的等差中项为1，则S5=()

A.29B.31C.33D.35

【答案】B

【分析】

设等比数列｛q｝的公比为q,由已知可得q和4,代入等比数列的求和公式即可

【解析】

因为«2«3=2a,=a：/=ata4,

%=2,

•/a4+2a彳=2x(=%+2%4°,

所以4=5,q=16,

161

-F=31,

故选：B.

4.《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包

分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大

的一份是（）个.

A.12B.24C.36D.48

【答案】D

【分析】

40+4)=；qq2

设等比数列｛《,｝的首项为q>。公比q>l,根据题意,求解.

【解析】

设等比数列｛4｝的首项为4>0,公比4>1,

由题意得[i=1,

+%+6++。5=93

4(1+4)=；。“2

即%(1一力=93

解得

[4=2

所以6=。“4=48,

故选：D

5.在等比数列｛q｝中，若。「延-44为定值，，为数列｛q｝的前〃项积，则下列各数为定值的是（）

A.纵B.兀C.几D.Tl4

【答案】C

【分析】

根据等比数列的通项公式用4M表示出44%,然后再分别表示出各选项中的积进行判断.

【解析】

设公比为q,则44%=4•a/qd=d/8=(q/)3为定值，即而为定值，

7；=4•…401=可/L=心1)

4=4%55=(%力”,不是定值，

(II\12

工2=4，66=442,不是定值，

\/

13=4"/8=(“国6y3,是定值，

14x1313

ri4=a^—=(ai^^,不是定值.

故选：c.

6.在各项都为正数的数列｛4｝中，首项4=2,S"为数列｛%｝的前〃项和，且⑸-5,1)2一4〃3=0(〃22),

贝!|5。=()

A.1022B.1024C.2046D.2048

【答案】C

【分析】

当“22时，/=S“一5„_,，故可以得到(4+2q-)(4-2c*)=0,因为勺+2«„_,>0,进而得到q-2an_,=0,

所以｛q｝是等比数列，进而求出九=2046

【解析】

由(S.一Siy-4a,t,=0(〃>2),得如-=0,得(％+〃一)=0，

又数列｛可｝各项均为正数，且4=2,

回数列｛4｝是首项4=2,公比q=2的等比数列，其前”项和$=2(1-2")=21_2,得品,=2046,

“1-2

故选：C.

s+1

7.已知数列｛4｝的前"项和为S“，若S,,=2a“-1,则谓一=()

“2022

A.2B.1C.gD.1

【答案】B

【分析】

由S,,=2a“-1,根据。,与S,,的关系，得出｛为｝是首项为1,公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式,

即可求解.

【解析】

由数列｛«,,｝的前〃项和5„=2«„-1,

当”=1时，可得4=S[=26-1,所以q=l；

当“22时，an=Sn-Sn_｝=2an-l-（2an_t-1）,所以a“=2a“_|,

所以｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，

102021S4-1

所以$2⑼=3~=22以一1，喙=2?叫所以谭一=1.

故选：B.

8.在等比数列｛4｝中，4+4=2（q+&）,则数列｛4｝的公比好（）

A.2B.1C.—1或1D.-1或2

【答案】D

【分析】

用%,q表示出己知等式后可得结论.

【解析】

由题意知4（4+q2）-2q（l+q）=0,所以（1+4（4-2）=0,所以《=-1或“=2.

故选：D.

二、多选题

9.（多选题）已知等比数列｛4｝的前"项和是S,1,则下列说法一定成立的是（）

A.若。3>°,则%>21>°B.若。4>°，则。2020>°

C.若“3>。，则$2021D.若43>。，则S2021V0

【答案】ABC

【分析】

根据等比数列通项式，前〃项和S.代入即可得出答案.

【解析】

设数列｛q｝的公比为。，

当4>o,则“2⑼=&q20nt>0,A正确；

当包>0,则。2。2。=。M刈6>0,B正确.

又当gwi时，s2a2小仆0一泮）,

1-4

当q<l时，1-4>0,1-/以>0,.•.邑0">0,

2021

当0<4<1时，1-^>0,1-?>0,.-.S2021>0,

当q>l时，l-q<0,l-q2M<0,.•.$2021>0

当g=l时，S2021=2021a,>0,故C正确，。不正确.

故选：ABC

10.（多选题）若数列9”｝是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（）

A.｛ca»）｝（c为常数）B.｛an+an+i）

C.｛an-an+i）D.｛a；｝

【答案】CD

【分析】

A.由c=0判断；B.q=-1时判断；CD.由等比数列的定义判断.

【解析】

当c=0时，｛caj不是等比数列，故A错误；

当数列｛册｝的公比q=-1时，an+an+1=0,｛册+%+i｝不是等比数列，故B错误；

由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列，故CD正确.

故选：CD

=，，则当刀,最

11.设数列｛q｝是各项均为正数的等比数列，7.是｛q｝的前”项之积，%=27,

大时，〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】AB

【分析】

设等比数列也｝的公比为q,求出q的值，进而可求得数列｛4｝的通项公式，解不等式1,求出〃的取

值范围，即可得解.

【解析】

设等比数列｛4｝的公比为4,则％•&乌=4=（，可得%=；，

令氏=3$-"21,解得〃45,

故当7“最大时，”=4或5.

故选：AB.

第II卷（非选择题）

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三、填空题

12.在等比数列｛4｝中，4=1,%=8%，5,是数列｛。“｝的前”项和，若&=63,则&=

【答案】6

【分析】

由4=1,%=8%,解得＜7=2求解.

【解析】

在等比数列｛4｝中，设公比为q,

因为4=1,4=82，所以"=的，4#0,解得q=2,

所以S*=；j=63,解得4=6,

故答案为：6

13.在正项等比数列｛%｝中，若3%、2%成等差数列，则-=______.

2

。2023一。2022

【答案】"

【分析】

设正项等比数列｛q｝的公比为4,则4>0,根据已知条件求出4的值，再结合等比数列的基本性质可求得

结果.

【解析】

设正项等比数列｛%｝的公比为4,则q>0,

因为、J%、22成等差数列，则/=3。|+2%，即=3q+2q<7,

可得“2一24—3=0,,.・夕>0,解得9=3,

m,,-2021-~电020_42021—42020_[

因就匕，-2/\-Q.

〃2023一。202241%0211％020)/

故答案为：

14.已知正项数列｛”“｝的前〃项和为s“，若数列｛4｝的通项公式为.

【答案】见=(；)“2

【分析】

b

当〃=1时，求得4=/>0,再由S,=-a“+。，得到S.-=-a,i+0(“±2),

相减可得2%-4I=0,结合等比数列的通项公式，求得b,进而求得数列的通项公式.

【解析】

由题意，正项数列｛““｝满足q+S"=b,a2a4=1,

b

当〃=1时，可得q+S[=q+4=人，贝ljG=e>0,

+

由S〃=-an+b,则S〃_]=-an_x+h(n>2,neN)9

两式相减可得24-。自=0,所以2=〈(〃N2,〃eN+),

«„-i2

即数列｛。“｝为公比为!的等比数列，

所以生=*%=2，所以%4=3x得=；，解得6=4,

所以4=4=2，所以数列｛4｝的通项公式为%=qg"'=2x(1/-'=(I)"-2.

故答案为：«„=(1r2.

四、解答题

15.已知S“为数列｛%｝的前〃项和，4=2,7s“+2=%,b,=：,7,为数列也｝的前“项

log2an'1O&2an+\

和.

(1)求数列｛5｝的通项公式；

(2)若机＞20227；对所有恒成立，求满足条件，”的最小整数值.

【答案】

(1)4=23i

(2)674

【分析】

(1)利用递推公式，结合前〃项和与第〃项的关系、等比数列的定义进行求解即可；

(2)根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.

(1)

由题意75“+2=4+],

当〃22时，75"2=4,

两式相减得：7。“=a„+l-an,

即：4+1=瓯,(〃22),

所以“22时，｛4｝为等比数列

又因为〃=1时，=75]+2=7x2+2=16,

所以生=8,

所以，对所有〃wN*,｛/｝是以2为首项，8为公比的等比数列，

所以4=2X8"T=23"2；

(2)

,11

由题知：bn=-------；------=--R-不订

log2^-l