高考数学练习（湖南）-考点08函数的概念和性质提高题汇总（解析版）

考点08函数的概念和性质提高题汇总

一、单选题(共15小题)

1.已知函数f(x)=|x-a|+1-b|(a,b£R),当x£[0,4]时,f(x)的最大值为M(a,b),若M

(a,b)的最小值为4,则实数a的取值范围为()

A.[0,.B.C.[0,2]D.[0,

【解答】解：当绝对值内两式同号时，f(x)=|x-a|+|2jW-b|=|x+2\Q-a-b|,

当绝对值内两式异号时,f(x)=|x-a|+|2Vx-b|=|x-2«-a+b|.

令g(x)=x+2Vx(x£[0,4]),h(x)=x_2Vx(x£[0,4]),

易知，g(x)e[0,8],h(x)e[-1,0].

当M(a,b)的最小值为4时，|x+24-a-b|的最大值的最小值为4,

几何意义是g(x)=X+27G(XG[O,4])图象上的点到直线y=a+b的距离最大值的最小值

为4,此时恰好有a+b=4；_

|x-2«-a+b的最大值不超过4,即h(x)=x-2«(x£[0,4])图象上的点到直线y=a

-b的距离不超过4,

故-4Wa-bW3,解得04a《千

故选：D.

【知识点】函数的最值及其几何意义

Ix+11-1,xWO-------

2.已知函数f(x)=\,则函数y=4f(x)+l在区间由，m+2](-2WmW0)上的最大值

-xZ+2x,x〉0

的取值范围是()

A.[1,2]B.[祀，2]C.[1,5/3]D.[1,V21

'Ix+11-1,xCO

【解答】解：函数f(x)=1.

-x'+2x,x>0

-x-2,x<-l

则f(x)=<x,T<x40,

-X2+2X,X>0

设g(x)=f(x)+1,

-1-X,X<-1

可得g(x)=，x+l,-1<x<0,

-X2+2X+1,X>0

作出g(x)的图象，从图象可知，当x=-2时，可得g(x)的最大值为1；

当-2<m<-1时，g(x)则=4g7m+2)=7-(m+2)2+2(m+2)+l=V-(m+2)2+2e(b^2)；

当-iWmWO时，g(X)max=1g⑴=«，

综上，可得在区间[m,m+2](-2WmW0)上的最大值的取值范围是[1,«]；

【知识点】函数的最值及其几何意义

3.若x,a,b均为任意实数，旦（a+2）?+（b-3）2=1,则（x-a）3+（Inx-b）?的最小值为（）

A.372B.18C.35/2-1D.19-65/2

【解答】解：（a+2）2+（b-3）2=1,

可得（a,b）在（-2,3）为圆心，1为半径r的圆上，

（x-a）2+（Inx-b）之表示点（a,b）与点（x,Inx）的距离的平方，

设过切点（m,Inm）的切线与过（-2,3）的法线垂直，

-rzslnm-S11

可得----—•—=-1，

m+2m

即有lnm+mJ+2m=3,

由f（m）=lnm+m2+2m在m>0递增，且f（1）=3,

可得切点为（1,0）,

圆心与切点的距禺为d=J（i+2）.（0-3）2=3,

可得（x-a）2+（lnx-b）2的最小值为（3亚-1）2=19-6«,

故选：D.

【知识点】函数的最值及其几何意义

b,a》b

4.若定义运算a*b=<》,则函数g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)的值域为()

a,a\b

A.(-8,4]B.(-8,2]C.[1,+8)D.(-8,4)

'b,a》b

【解答】解：定义运算a*b=（/令(-x2-2x+4)=(-x+2),可得x=-2,或x=l.

a,a〈b

故当-2WxWl时，(-x2-2x+4)2(-x+2)；当x<-2,或x>l时，(-x?-2x+4)<(-

x+2).

-x+2,

则函数g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)=<,如图：

-x'-2x+4,x<C-2,或x>l

红色曲线为y=-x2-2x+4的图象，蓝色曲线为y=-x+2的图象，.

故g(x)的最大值为g(-2)=4,g(x)没有最小值，即g(x)的值域为(-8,4],

【知识点】函数的值域

2团+，乂+2

5.己知函数f(x)»x4的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()

2|x|+l

A.0B.2C.4D.8

【解答】解：令g(x)=f(x)-2-—

2|x|+l

；g(-x)市片方「g(x)，・•・函数g(X)为奇函数.

Ag(X)max+g(X)min=O,故f(X)max_2+f(X)min.2=0,

Af(X)max+f(X)min=4.

故选：C.

【知识点】函数的最值及其几何意义

6.已知实数a,b满足(a+2)2+(b-3)2=2,则对任意的正实数x,(x-a)2+(Inx-b)2的最小值为()

A.372B.8C.2A/2D.18

【解答】解：由题意可知，该问题可转化为求圆(x-2)2+(y-3)2=2上任意一点到曲线y=lnx上任意

一点的距离的最小值的平方，_

不妨设圆的圆心为C(-2,3),半径为r=7历，

因为圆外任意一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，

所以只需求曲线y=lnx上到圆心C(-2,3)距离最小的点为A(m,n),

则点A满足曲线y=lnx在点A处的切线与直线AC垂直，

因为A在切线y=lnx上，所以n=lnm,

令f(x)=y=lnx,则f'(x)=—,所以f'(m)=—,

xm

即切线y=lnx在点A处的切线的斜率为工，

m

又因为A(m,Inm),C(-2,3),

所以直线AC的斜率为卜旷=与胆，

AC-2-m

所以n1n.=_],即Inm+m'+Zm-3=0,解得m=l,

-2-mm

所以点A(1,0),则ACI=个(-2-1)2+区-。)2=2\/2f

所以圆C上任意一点到曲线y=lnx上任意一点的距离的最小值的平方为(|AC|-r)2=(3

V2-V2)2=8,

所以(x-a)2+(Inx-b)之的最小值为8,

故选：B.

【知识点】函数的最值及其几何意义

7.设函数f(x)=logi(1+X2)H—n-T+3e‘，则使得f(x)Wf(3x-1)成立的x的取值范围

y1+3,X|

是()

A.(。，B.[-1,-K»)

c-(-8,-1]c[A,+oo)D.弓，y]

1-le-2x^-ll

【解答】解:f(x)=log<(l+x2)^---hzr+3e=log.(1+x2)+-

T1+3⑶T

f(-x)=log.(1+x2)+—3)lef-e」=f(x),即函数f(x)为偶函数,

V1+3冈3

在区间[0,+8)上,y=log[(1+x2)为减函数，y=----为减函数，y=弓)

T1+3

为减函数,

故函数f(x)在区间[0,+8)上为减函数，

则f(x)Wf(3x-1)<=>f(|x|)<f(13x-11)<=>x]213x-11,

解可得即不等式的解集为[],

4242

故选：D.

【知识点】奇偶性与单调性的综合

X2

8.已知函数f(x)=-x+log3(9+1),则使得f(x-x+l)+I〈log310成立的x的取值范围是()

A.(0,零)B・(-8,o)u(i,+oo)

C.(0,1)D.(-8,1)

qx+11

XXxX

【解答】解：f(x)=-x+log3(9+1)=log3(9+1)-Ioga3=log3---------=log3(3+-----),

3X3X

Vf(-x)=log3(3'X+3X)=f(x),

・・・f(x)是偶函数，

令3、=t(t>0),

Ag(t)=log3(t+—),

t

当OVtVl时，g(t)为减函数；当t21时，g(t)为增函数，

则当xVO时，f(x)为减函数；当x20口寸，f(x)为增函数，

Vf(x'-x+l)+I<log310,

f(x2-x+1)<log310-1,

/.f(x2-x+1)<f(1),

/.Ix2-x+1I<1,

/.-l<x2-x+l<l,

解得OVxVL

故选：C.

【知识点】奇偶性与单调性的综合

9.定义在R上的偶函数f(x)在[0,1]上单调递减，且满足f(x+1)=-f(x),f(n)=1,f(2Ji)

l<x<2,

=2,则不等式组'的解集为()

l<f(x)<2

TT

A.[1，子]B.[2n-6,4-n]C.[TT-2,,]D.[九-2,8-2"]

【解答】A？：Vf(x+1)=-f(x),

/.f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),

...函数f(x)的周期T=2,

又定义在R上的偶函数f(x)在[0,1]上单调递减，f(n)=1,f(2n)=2,

；.f(4-m)=1,f(2n-6)=2,且4-n,2n-6G[0,1]；

由1WXW2得，0W2-xWl,

，由组I5'得0r、,

ll<f(x)<2lf(4-兀)<f(2-x)<f(2兀-6；

,(l<x<2

*l2H-6<2-x<4-H，

解得n-2WxW8-2n；

•••原不等式组的解集为[n-2,8-2K].

故选：D.

【知识点】奇偶性与单调性的综合、其他不等式的解法

f(x2)-f(x1)

10.函数f(x)的定义域为R,对任意的Xi,x2S[1,+8)(xi#X2),有---------------<0,且函数f(x+1)

x2-xl

为偶函数，则()

A.f(1)<f(-2)<f(3)B.f(-2)<f(3)<f(1)

C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)

f(x2)-f(x1)

【解答】解：•.,对任意的xi,x2e[1,+8)(xi#X2),有---------------<0,

x2-xl

.*.f(X)在[1,+8)上单调递减，

■f(x+1)为R上的偶函数，；.f(-x+1)=f(x+1),：.f(-2)=f(4),

r.f(-2)=f(4)<f(3)<f(1).故选：B.

【知识点】奇偶性与单调性的综合

11.已知y=f(x+1)为偶函数，且y=f(x)在[1,+8)上单调递增，则不等式f(2x)<f(等)的解集为

()

A.(―,—)B.[―,—)C.(―,—)D.[―,—)

33232333

【解答】解：•.•函数y=f(x+1)是偶函数，

.*.y=f(x+1)关于y轴对称，

Vy=f(x+1)向右平移1个单位得到y=f(x),

Ay=f(x)关于直线x=l对称,

Vf(x)在[1,+8)上单调递增，

Af(x)在(-8,1]上单调递减，

•.•不等式f(2x)<f停),

41

|2x-1|<|--1|,即|2x-1|<—,

33

解得1~VxV蒋.

Oo

故选：A.

【知识点】奇偶性与单调性的综合

'1,x为有理数

12.定义在实数集上的函数D(x)=­c工工工田就称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄

0,X为无理数

利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数D(x)的说法中不正确的是()

A.D(x)的值域为{0,1}

B.D(x)是偶函数

C.存在无理数to,使D(x+to)=D(x)

D.对任意有理数t,有D(x+t)=D(x)

'1,x为有理数

【解答】解：因为函数D(x)=石+工;由村，

[0,x为无理数

所以函数的值域是{0,1},故A正确；

若x为有理数，则-x为有理数，有D(-x)=D(x)=1；

若x为无理数，则-x为无理数，有D(-x)=D(x)=0,

所以函数D(x)为偶函数，故B正确；

t。为无理数，若x为有理数，则x+t。为无理数，若x为无理数，则x+t°可能为有理数,

也可能为无理数，不满足D(x+t。)=D(x),

故任何无理数to均不是D(x)的周期，故C错误；

对任意有理数t,若x为有理数，则x+t为有理数，若x为无理数，则x+t为无理数，

故D(x+t)=D(x),故D正确.

故选：C.

【知识点】函数的值域

13.己知函数f(x)=|'x(.l+x)、'x>0则不等式f(x-2)<f(4-/)的解集是()

x(l-x),x<0

A.(-1,6)B.(-3,2)C.(-6,1)D.(-2,3)

【解答】解：f(x)的图象如下图所示：

由图象可知：f(x)在R上单调递增，

Vf(x-2)<f(4-x2),Ax-2<4-x2,

得x'xFCO,即(x+3)(x-2)<0,解得-3<x<2.

二不等式f(x-2)<f(4-x2)的解集为(-3,2).

故选：B.

【知识点】函数单调性的性质与判断

f(x2)-f(X,)

14.已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的X”x2e[2,+8)(X1WX2),有——------—>0,且

x2-xl

f(x+2)是偶函数，不等式f(m+1)2f(2x-1)对任意的xe[-l,0]恒成立，则实数m的取值范围

是()

A.[-4,6]B.[-4,3]

C.(-8,-4]U[6,+8)I).(-8,-4]U[3,+8)

f(x2)-f(xJ

【解答】解：对任意的xi,x2e[2,+8)(xiWxz),有——--------—>0,

x2-xl

故f(x)在[2,+8)递增，而f(x+2)是偶函数，故f(x)的对称轴是：x=2,

故f(x)在(-8,2]递减，在(2,+8)递增，

不等式f(m+1)(2x-1)对任意的xC[-l,0]恒成立，且-3W2X-1W-1,

故只需f(m+1)(2x-1)«x=f(-3)即可，

由对称性得：f(m+1)2f(7),故m+lW-3或m+l27,

解得：mW-4或m26,

故选：C.

【知识点】函数单调性的性质与判断

15.两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的

数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.已知两次购买时物品

的价格分别为会和工，按第二种购物方式购买物品的平均价格为2,则按第一种购物方式每次购买36件

物品的总花费的最小值是()

A.36B.72C.144D.180

【解答】解：设第一次与第二次购物的价格分别为a,b,

按第一种策略，每次购nkg,则两次的平均价格为an：bn=a：b

2n2

按第二种策略，第一次花m元,购入@km物品，第二次仍花m元，购入&km物品,

ab

两次平均价格为

由题意得，a=3,b=—,~二二2,BP--k—=1,

9494AXy

xy

则按第一种策略的总花费S=36,4+36•工=4x+9y=(4x+9y)(--3)

94xy

=72+.^-4^->72+2、pH72+72=144,

xyvxy

当且仅当即x=18,y=8时等号成立.

xy

故选：c.

【知识点】根据实际问题选择函数类型

二、填空题(共10小题)

16.已知f(x)是定义在［-4,4］上的奇函数，当x>0H寸，f(x)=-X2+4X,则不等式f［f(X)］<f(X)

的解集为—.

【解答】解：因为f(x)是定义在［-4,4］上的奇函数，

当x>0时，f(x)=-x'+4x,

当x<0时，-x>0,f(-x)=-x°-4x=-f(x),

所以f(x)=X2+4X,

而f(0)=0,

x2+4x,-4<x<0

故f(x)=\

-x2+4x,0<x<4

令f(x)=t,则原不等式等价于f(t)<t,

解得-3Vt<0或3<tW4,

所以-3<f(x)VO或3<f(x)W4,

所以-4<x<-3或-<x<0或l<x<3,

故不等式的解集为(-4,-3)U(-1,0)U(1,3).

故答案为：(-4,-3)U(-1,0)U(1,3).

【知识点】奇偶性与单调性的综合

17.函数f(x)=log2(-X2+2X+8)的递减区间是；函数f(x)=log2(-x2+ax+8)在(2,4)是单

调递减函数，则实数a的取值范围是.

【解答】解：E&-X2+2X+8>0,得-2<X<4,

2

则函数f(x)=log2(-X+2X+8)的定义域为(-2,4),

令函数t(x)=-X2+2X+8,该函数的图象是开口向下的抛物线，

对称轴方程为x=l,则函数t(x)在(1,4)上单调递减，

2

而y=log2t是增函数，故函数f(x)=log2(-X+2X+8)的递减区间是(1,4)；

令u(x)=-x、ax+8,函数y=logzu是增函数，

2

要使函数f(x)=log2(-x+ax+8)在(2,4)是单调递减函数，

则u(x)=-x、ax+8在(2,4)是单调递减函数，

且42

,解得2WaW4,

-42+4a+8^0

故a的取值范围是［2,4］.

故答案为：(1,4)；［2,4］.

【知识点】复合函数的单调性

18.已知函数f(x)=±£，若f(lnx)+f则x的取值范围为.

4/Y

XXA

【解答】解：:f(x)定义域为｛xlxWO｝,关于原点对称，且f(-x)=」T凸-f(x)，(X)为｛xlxW

X”XZ

0｝上的偶函数，

•.•当x>0时，易知f(x)在(0,+8)上单调递减，

Vf(x)为偶函数，；.f(x)在(-8,o)上单调递增，

f(lnx)+f(1J)-2f(l)>0,即f(Inx)+f(-Inx)>2f(1)(lnx#O,即xWl),

x

以上不等式等价于2f(Inx)>2f(1),进一步等价于|lnx|VI(xWl),

即-ICInxVl(xWl),解得工<x〈e(x卉1),

e

即X的取值范围为仕，1)U(1,e),

e

故答案为：(―>1)U(1,e).

e

【知识点】奇偶性与单调性的综合

19.已知函数f(x)是定义在［-2b,b+1］上的偶函数，且在［-2b,0］上单调递增，则f(x-1)Wf(2x)

的解集为—.

【解答】解：：f(x)是定义在［-2b,b+1］上的偶函数,

(-2b)+b+l=O,解得b=L

函数f(x)的定义域为［-2,2］,

Vf(x)在［-2,0］上单调递增，

Af(x)在［0,2］上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小,

由f(x-1)Wf(2x)可得|x-l|2|2x|,且-2<x-1W2,-2<2x<2,

解得-lWxW1,

故不等式的解集为｛x|-方｝.

故答案为：｛x|-l<xw］｝.

【知识点】奇偶性与单调性的综合

1-2X,x<0

20.若函数f(x)=｛i的值域为［0,+8),则实数a的取值范围是,

ax2+la+l)x+af，x>0

【解答】解：当xWO时，0<2Wl,

二0<1-2'<1,

.♦.x>0时，f(x)=ax、(a+1)x+a+弓•的值域B满足［1,+°°)UBU［0,+°°),

当a=0时，f(x)=x+g",值域B=+8),满足题意；

当a#0时，要使x>0时，f(x)=ax2+(a+1)x+a+/的值域B满足［1,+8)cBe［0,+«>),

则a>0,所以对称轴x=-察<0,所以当x>0时，函数f(x)为增函数，

2a

所以f(x)>f(0)=a+-^-,

19

所以0忘2+万<1,解得OVaV5.

综上，可得a的取值范围是0WaV>|.

【知识点】函数的值域

21.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在［0,+8)是增函数，且f(1)=0,则f(x)<0的解集为.

【解答】解：•••定义在R上的偶函数f(x)在［0,+8)上单调递增，且f(1)=0,f(x)<0,

；.f(|x|)<f(1),

A|x|<l,解得-1<X<1,

不等式f(x)<0的解集是(-1,1),

故答案为(-1,1).

【知识点】奇偶性与单调性的综合

22.若函数f(x)=i,x〉d则，=

【解答】解：当x>0时，由f(x)=f(x-1)-f(x-2),可得f(x+1)=f(x)-f(x-1),

两式相加得f(x+1)=-f(x-2),则f(x+3)=-f(x),

・••当x>0时，f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x),

即x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，

又f(x)=-2X，

f(x-l)-f(x-2)x〉C

，f=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=2-1=1,

故答案为：L

【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法

23.若函数f(x)满足f(x+2)=生g，则f(X)在[1，+8)上的值域为_.

x+2

【解答】解：•••函数f(X)满足f(x+2)=尊=(*21+1，则f(X)=-=1+^,

x+2x+2xx

故函数f(X)在[1,+8)上单调递减.

当x=l时，函数f(X)取得最大值为2,

当x趋于+8时，f(x)趋于1,

故函数的值域为(1,2],

故答案为：(L2].

【知识点】函数的值域

3sin2x,

24.若分段函数f(x)=i,将函数y=|f(x)-f(a)|,xW[m,n]的最大值记作Za[m,

2x-3,x>0

n],那么当-2WmW2时，Z2[ni,m+4]的取值范围是

3sin2x,xWO

【解答】解：由f(x)=(，得f(2)=1,

2x-3,x>0

则y=|f(x)-f(a)|=|f(x)-11,

作出函数f(x)的图象如图所示：

y

当-2WmW-l时，If(x)-1|^=(-3)-1|=4；

当m>-1时，m+4>3,2"“-3-1=2"'-4>4,

.•.当-lVmW2时,Za[m,m+4]=2""-4,

则Z/m,m+4]的最大值为2,-4=60.

故ZzDn,m+4]的取值范围是[4,60].

故答案为：[4,60].

【知识点】函数的最值及其几何意义

25.如图，假定两点P,Q以相同的初速度运动.点Q沿直线CD作匀速运动，CQ=x；点P沿线段AB（长度

为IO,单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB=y）.令P与Q同时分别从A,C

出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系是y=lC）7（L）1°,

e

其中e为自然对数的底，当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为—.

APyB

xQD

【解答】解：设P运动到第一个三等分点的时间为t”此时Q运动的距离为xi,P运动到中点的时间为t2,

此时Q运动的距离为X2,

•••两点P,Q以相同的初速度运动，设点Q的运动速度为v=107,

.•冬107=/由法,1.107=10?(±)<

3e2e

72=71

Xj=10log]?x210logiQ

107(1"房-1。弓A)

ee3,4

=10g=lr

71.7V

10e

故答案为：In仔.

【知识点】根据实际问题选择函数类型

三、解答题(共10小题)

26.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x20时，f(x)

32

(1)求f(X)的解析式，并补全f(X)的图象；

(2)求使不等式f(m)-f(1-2m)>0成立的实数m的取值范围.

【解答】解：(1)设x<0,贝于是f(-x)=

32

又因为f(X)是偶函数，

所以f(x)=f(-x)—--^-x3+-^-x2,

32

学”x<0

yx3-t-j-x2，

图象见右图.

(2)因为f(x)为偶函数，所以原不等式等价于f(|m|)>f(|1-2m|),

又由(1)的图象可知，f(x)在［0,+8)上单调递增，

所以|m|>11-2m|,

两边平方得m2>1-4m+4m2,即3m2-4m+l<0,

解得=VmV1,

所以实数m的取值范围是.

【知识点】函数奇偶性的性质与判断、奇偶性与单调性的综合

27.某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y(万元)与年产量x(吨)

2

之间的关系可近似地表示成y=a-30x+4000,问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最

低成本.

【解答】解：当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系

2

可近似地表示成丫=卡-30*+4000,

可得平均成本为：冬津丝-3022、区越E-30=10,当且仅当x=200时取等号,

10xV10x

年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元.

【知识点】根据实际问题选择函数类型

28.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.

(1)当a=2,xe［-2,3］时，求函数f(x)的值域.

(2)若函数f(x)在［-1,3］上单调递增，求实数a的取值范围.

【解答】解：(1)当@=2,xG[-2,3]时，函数f(x)=x?+(2a-l)x-3=x?+3x-3=(x+y)-年

故当x=-］•时，函数取得最小值为-乌，当x=3时，函数取得最大值为15,故函数f(x)

24

的值域为［-丝，15］.

4

⑵若函数f(x)在［-1,3］上单调递增，则与竺W-1,.言2*即实数a的范围为岛

222

+oo)

【知识点】二次函数的性质与图象、函数单调性的性质与判断

29.设函数f(x)=x、|x-a|,a为常数.

（1）若f（X）为偶函数，求a的值;

(2)设a>0,g(x)=f(X)-,x£(0,a］为减函数，求实数a的取值范围.

x

【解答】解：(1)由已知，f(-x)=f(x).…2分

即|x-a|=|x+a|,…3分

解得a=0…3分

(2)当x£(0,a］时，f(x)=x2+a-x,g(x)二乂闫-1,・・・7分

x

设Xi,X2&(0,a］,且X2>Xi>0,于是X1X2-a2V0,XiX2>0.

)()

Vf(xi)-f(x)—x।~1~x9-k^—1=X1-X2(1)>0

2xx

，x2l2

Vxi,x2e（0,a］且X1VX2,所以xiXzVa：

所以aea?,因此实数a的取值范围是（0,1］…12分

【知识点】函数单调性的性质与判断、函数奇偶性的性质与判断

30.提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度v（单

'50,0<x<20

位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式:V=520<x<120(keR),

140-x

研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.

（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围;

（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y=xv,求隧道内车流

量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.

【解答】解：（1）由题意，当x=120（辆/千米）时，v=0（千米/小时）,

代入V=60-77^，得0=60-解得k=1200.

140-x140-120

'50,0<x<20

20<x<120'

L140-x

当0<xW20时，v=50240,符合题意；

当20<xW120时，令60-12°-240,解得xW80,

140-。x

.•.20<xW80.

综上,0VxW80.

故车流速度v不小于40千米/小时，车流密度x的取值范围为（0,80］；

'50x,0<x<20

（2）由题意得，y=

取-耦，2。«<12。'

当0VxW20时，y=50x为增函数，

.,.y^20X50=1000,等号当且仅当x=20时成立；

当20VxW120时,

v—的1200x_.，20x、_的「,_20(140-X)-2800I

y-6”谢丁6。n(x-而彳)-60[x+"CHx-]

=60(20+X-7^-)=60[160-(140-X)-^^]

140-x140-x

=6O16O_4O3250

<6O(16O-2,/(14O-X)-^^-)(V7^-

V140-x

当且仅当140-x=23Q。-,Bpx=140-2077^87G(20,120]时成立，

140-x

综上，y的最大值约为3250,此时x约为87.

故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米.

【知识点】根据实际问题选择函数类型

J

31.已知函数f(x)=logH(ax)loga(ax)(a>0,a#l).

(1)当a=2,xG耳，8]时,求f(x)的值域；

(2)若f(x)在[],上能取得最小值求实数a的取值范围.

424

【解答】解：由f(x)=loga(ax)loga(a2x),得

f(X)=(l+logx)(2+10gaX)=(logX)^+31ogx