高数总结笔记

一．函数的概念smx

公式I.Jim.—=1

1.用变上、下限积分表示的函数x➔。x

II,I

(I)y=i`切，其中几）连续，则贵＝．小）11

公式2匣(1+;］=el吧(1+;)"=e

(2)Y=

s:,~:~)f咋t'其中叶），吐）可导，几）I

lill]-(1+V)-;;=e

连续，＼，今0

4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换

则皇＝．主心（x)-f［叶）帜(x)5.用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和

2.两个无穷小的比较数学二）

2

瓜）X

设lim.f(x)=O,limg(x)=O,且lim-—=l当x今0时，ex=1+x+—+A+三-+o(x")

g(x)2!n!

3__5__211+1

(I)l=O,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以x-x-.I.\nX

sinx=x-—+—+J\+(-1)"~+o(x211+1)

3!5!(2n+1)!

八x)=O[g(x)]，称g(x)是比J(x)低阶的无穷

小。cosx=1－三十三＿A＋（－l)“立－＋o(亡）

2!4!(2n)

(2)巨0，称J(x)与g(x)是同阶无穷小。

23

XX

ln(l+x)=x-—+—-A+(-1)"+1三＋o(x")

(3)/=1,称J(x)与g(x)足等价无穷小，记以23n

352吓l

f(x)~g(x)XX

arctanx=x-—+—-A+1(-11)"n+1l~X+O伈'1+1)

352n+l

3.常见的等价无穷小

当x➔0时伞－l）2伞－l扒[a-(n-1)]

(l+x尸＝l+ax+x+A+X'＋心）

sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x2!n!

12

l-cosx~~x2,ex-l~x,ln(l+x)~x,

26.洛必达法则

。

(l+xt-1~ax法则l.（—型）设Cl)limf(x)=O,limg(x)=O

。

二．求极限的方法

(2)X变化过程中，J'(x),g'(x)皆存在

I.利用极限的四则运算和需指数运算法则

2.两个准则f'(x)

准则l．单调有界数列极限一定存在(3)lim-—=A（或oo）

g'(x)

(1)若x11+1::;x,,(n为正整数）又x,1之m(n为正

则lim-兀—）=A（或00)

整数），则limx,,=A存在，且A2::mg(x)

＂妞

(2)若x11+1~x,,(n为正整数）又x11~M(n为正f'(x)

（注：如果lim不存在日不是儿穷人晕情形，则

g'(x)

整数），则limx11=A存在，且A~M

II一►OO

八x)

不能得出lim不存在且不是无穷大量情形）

准则2.（夹逼定理）设g(x)~J(x)~h(x)g(x)

oo

若limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)=A法则2.（—型）设Cl)limf(x)=oo,limg(x)=oo

oo

3.两个重要公式

(2)X变化过程中，J'(x),g'(x)皆存在

J'(x)值，如果对千区间[a,b]上的任一点X,总有J(x归M,

(3)Jim

g'(x)=A（或心）

则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最

八x)

则lim~=A（或心）

g(x)小值m。

定理3.（介仇定理）如果函数J(x)在闭区间[a,b]上

7.利用导数定义求极限

连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对千介千m

f伈＋心）－J伈）

基本公式：lim=f'伈）［如果

ru:--->0A和M之间的任何实奻c,在［a,b]上罕少存在个<;'使

存在］得

8.利用定积分定义求极限

鬼）＝c

1“K

基本公式！皿』江）＝I1(x汕［如果存在］推论：如果函数J(x)在闭区间[a,b]」连续，且J(a)

三函数的间断点的分类

与J(b)开号，则在(a,b)内至少存在一个点<;'使得

涵数的间断点分为两类：

(1)第一类间断点

庶）＝0

设x。是函数y=f(x)的间断点。如果八x)在间断点

这个推论也称为零点定押

五．导数与微分计算

X。处的方、右极限都存在，则称x。足f(x)的第一类间断

1.导数与做分表

点。

(c)'=0d(c)=O

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（欢）I=aXa-1(a实常数）d伈）＝axa-'dx(a实吊数）

(2)第二类间断点,

(sinx)=cosxdsinx=cosxdx

第一类间断点以外的共他间断点统称为第二类间断

点。,

(cosx)=-sinxdcosx=-sinxdx

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

(tanx)1=sec2xdtanx=sec2xdx

四．闭区间上连续函数的性质

(cotx)'=-csc2xdcotx=-csc2xdx

在闭区间[a,b]上连纹的函数f（对，有以下儿个基木

(secx)'=secxtanxdsecx=secxtanxdx

性质。这些性质以后都要用到。

定理I.（有界定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]士(cscx)1=-cscxcotxdcscx=-cscxcotxdx

连续，则八x)必在[a,b]上有界。log"x)1=二a>O,act=1)

(xlna(

dx

定理2.（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭dlog11x=~(a>0,a,;:.1)

xlna

ll

区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和(lnx)1=-dlnx=-dx

XX

最小值m。

其中最大伯M和最小值m的定义如下：（矿）'=a"lna(a>O,a:t:-1)

定义设／伈）＝M是区间[a,b]上某点Xo处的函数da"=旷lnadx(a>0,a:t:-1)

2

(e·`.)'=exdex=exdx叭t)存在，且妨(t)-:t=0,则

1dy_lfl1(t)

(arcsinx)1=~darcsinxarcsi=汇7dx（叶）丑o)

勹dx叶）

1二阶导数

(arccosx)1=-~darccosx=-dx

』言

I11立＝d［皇］＝d［皇］上=w“心（t)－lfl，心”(t)

(arctanx)=—darctanx=~dx

l+x2l+x2dx2clxdt~［叶）］3

,11dt

(arccotx)=—darccotx=—dx

1+x2l+x2

5.反函数求导法则

如（x+歹了）I=1

矗设y=J(x)的反函数X=g(y)，两者皆可导，且

J'(x)::/:-0

dln(x＋左言）＝1dx

厂

则g'（y)＝l=l(.f'(x)::/:-0)

J'(x)-.f'[g(y)]

加（x+歹了）I=l

二

dln(x＋丘言汀＝ldx

5二阶导数g”(y)＝d[gd;y)]=d［产］i

2.四则运算法则

加）土g(x)]'=f'(x)土g'(x)

=-J”(x)=-f”[g(y)](J'(x)=1:-o)

[J(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+J(x)g'(x)[r'(X)]3{J'[g(y)]}3

［例］=f,心~(g(x),e0)6.隐函数运算法则

设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y'的方

3.复合函数运算法则

法如下：

设y=f(u),u=(f)（对，如果叭x)在x处可导，．f(u)

把F(x,y)=O讷边的各项对x求导，把y看作中间变

在对应点u处可导，则复合函数y=f抄(x)]在x处可导，

址，用复合函数求导公式计饼，然后再解出y'的表达式（允

且有

dydydu许出现y变品）

==

dxdudxf'［小）切(x)

7.对数求导法则

对应地dy=f'（叶du=f物(x)切(x汕

先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导

由千公式dy=f'(u)如不节u足自变械或中间变扯方法得出导数y'。

都成立。因此称为一阶微分形式不变性。对数求导法主要兀千：

＠幕指函数求导数

4.由参数方程确定函数的运算法则＠多个函数连乘除或开方求导数

设x＝(f)(t)'y＝的）确定函数y=y(x)，具中(f)'(t)'关于需指函数y=[J(x)］心）常用的—种方法

3

y=e心）lnf(x)这杆就可以自接用复合函数运算法则进行。(I)在闭巨间[a,b]上连续

8.可微与可导的关系

(2)在开区间(a,b)内可导；

八x)在x。处可彶<=>J(x)在x。处可导。

则存在i;E(a,b)，使得

9.求n阶导数（n~2,正整数）

f(b)-J(a)

先求出y',y",A，总结出规律性，然后写出Y(n)，最后=J'(i;)

b-a

用归纳法证明。

或写成八b)-J(a)=f'(i;Xb-a)(a<i;<b)

有一些常用的初等函数的n阶导数公式

(I)y=exy(n}=e_nx有时也写成八心＋心）—f伈）＝f'(x。+0心）.LU

(2)y=ax(a>O,a=1=I)产＝a入．（lna)"(0<0<1)

这里X。相当a或b都1--1」以，~1--1J.Jr1--1」负。

(3)y=smxy(n)=sin(X＋了）

推论1若J(x)在(a,b)内可导，且f'(x)=0，则f(x)

(4)y=cosx

产＝cos(x+:]在(a,b)内为常数。

(5)y=lnxy(")=(-1)"-t(n-l)x-11推论2．若J(x).g(x)在(a,b)内皆可导，且

两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式

f'(x)三g'(x)，则在(a,b)内／（x)=g(x)+c,其中c为

II

[u(x)v(x)]（儿）＝区Cn/..，u(k)(x)汃"-k)(x)个常数。

k=O

三柯西中值定理（数学四不要）

n!设函数J(x)和g(x)满足：

其中C,~=u(0l(x)=u(x),

k!(n-kJ.'

(1)在闭尸间[a,b]上皆连续；

v(o)(x)=v(x)

(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g'(x)-:t-0

假设u(x)和v(x)都是n阶可导。

则存在i;E(a,b)使得

微分中值定理

一．罗尔定理

即）－．l(a)_/'(~)

=(a<;<b)

设函数J(x)满足如）－g(a)-g'亿）

（注：柯西中伯定理为拉格朗日中值定理的推广，特

(I)在闭区间[a,b]上连续；

殊悄形g(x)=X时，柯西中伯定理就是拉格朗日中值定

(2)在开区间(a,b)内可导；

理。）

四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）

(3)J(a)=J(b)

定理I.（皮业诺余项的n阶泰勒公式）

则存在乒(a,b)，使得f'(g)＝0

设f(x)在x。处有n阶导数，则有公式

二．拉格朗日中值定理

设函数J(x)满足

.f(x)=J(x己旯－心宁压）'+A+~)（入一X。)”+R.(x)

4

(x今X。)的一个极小值，称x。为函数J(x)的一个极小值点。

函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值

其中RJx)=ol(x-x。)',l(x➔X。)称为皮亚诺

点统称极值点。

2.必要条件（可导情形）

令项。［煦。(xR-：：))=oJ

设函数f(x)在x。处可导，且x。为J(x)的一个极值

前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不

同悄形取适当的n,所以对常用的初等函数如

点，则f'伈）＝0。

ex'sinx,cosx,ln(l+X)和(1+xt(a为实常数）绍t的n

我们称x满足f'(x。)＝0的x。为J(x)的驻点可导函

阶泰勒公式都要熟记。

定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）数的极值点一定是驻点，反之不然。

极值点只能是驻点或小可导点，所以只要从这两种点

设f(x)在包含Xo的区间(a,b)内有n+1阶导数，在

中进一步去判断。

[a,b]上有n阶连续导数，则对xE[a,b]，有公式

3．第一充分条件

儿）＝小。）＋宁(x-x。)＋宁丛'.-X。)'+A+~。)(x-x。)“+R.(x)设八x)在x。处连续，在0<lx-x。|<6内可导，

f(n+l)(t)f'(x。)不存在，或f'(x。)＝0。

其中R,,(x)=(x—X。)/1+1'(~在x。与x之

”(n+1).

10如果在(x。-o,x。)内的仵一点x处，有

间）

称为拉格朗日余项。

f'(x)>0,而在(x0,x。+5)内的任一点x处，有

上而展开式称为以x。为中心的n阶泰勒公式。当

f'(x)<0,则／伈）为极大值，x。为极大值点；

X。=0时，也称为n阶麦克劳林公式。

20如果在(x。-o,x。)内的任一点x处，有

如果limR,,(x)=0,那么泰勒公式就转化为泰勒级

n-0

f'(x)<0，而在(x0,x。硕）内的任一点x处，有

数，这在后面尤穷级数中冉讨论。

导数的应用：

f'(x)>0,则f伈）为极小值，x。为极小值点；

一．基本知识

1.定义

30如果在(x。-o,x。)内与(x。,x。+6)内的任一点

设函数J(x)在(a,b)内有瓦义，x。是(a,b)内的某一

x处，f'(x)的符号相同，那么八心）不是极值，X。不是

点，则

极值点。

如果点x。存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点

4．第二充分条件

x(x-:t:.x。)，总有八x)<f(x。)，则称J(x。)为函数f(x)

设函数J(x)在Xo处有二阶导数，且f'(x。)＝0,

的一个极大值，称x。为函数f(x)的一个极大值点：

f"(x。)~o，则

如果点x。存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点

当f"(x。)<0时，f伈）为极大值，x。为极大值点。

x(x-:t:.x。)，总有八x)>f(x。)，则称f(x。)为函数．f(x)

当／”（x。)>0时，f伈）为极小值，X。为极小值点。

5

y=J(x)在(a,b)内是凸的。

二．函数的最大值和最小值

1.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法求曲线y=J(x)的拐点的力法步骤是：

甘先，求出J(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点第一步：求出二阶导数J"(x):

第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的

x1,A,xk,其次计算f伈），A，八xk.)，八a\J(b)。

点x1、X2、…、X人';

最后，比较f(x1),A,J(xk),J(a)，八b),

第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数

的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标：

其中品大者就是f(x)在[a,b]上的品大值M；其中录

第四步：求出拐点的纵坐标。

小者就是J(x)在[a,b]上的最小值m。

四渐近线的求法

2.最大（小）值的应用问题1.垂直渐近线

首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，若lirn,f(x)=oo或li~f(x)=oo

然后再求出H标函数在巨间内的最大（小）值。x一a·x➔a

则x=a为曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。

三．凹凸性与拐点

1.凹凸的定义2．水平渐近线

设八x)在区间1上连续，若对杆惫不同的两点X1,X2'若皿f(x)=b，或丸恩,f(x)=b

恒有

则y=b是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。

3.斜渐近线

f(X:x2)>;[J(x1)+f伈）［J．(x12x2]<;[J(，十f伈）］］八x)

若lim—=a*0,皿加）－叫＝b

X-+O3X

f(x)

则称J(x)在I一卜是凸（叫）的。或Jim—-＝a士0,．｀l上巴[J(x)-ax]=b

X--X

在儿何上，曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下贝1Jy=ax+b足曲线y=J(x)的条斜渐近线。

五．曲率（数学一和数学二）

（上）面，则y=J(x)是凸（凹）的。

设曲线y=J(x)，它在点M(x,y)处的仙车

如果曲线y=J(x)有切线的话，每一点的切线都在曲

y”l

k=~，若k=t:-0,则称R=－为点M(x,y)处

线之上（下）则y=J(x)是凸（凹）的。[1+(y'）千k

2.拐点的定义的曲率半径，在M点的法线上，凹向这一边取一点D,

曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。

叫MDl=R,则称D为曲率中心，以D为圆心，R为半

3.凹凸性的判别和拐点的求法

径的圆周称为曲率圆。

设函数J(x)在(a,b)内具有二阶导数f"(x),

不定积分

如果在(a,b)内的每点X,恒有J"(x)>0,则曲线

一．基本积分公式

y=f(x)在(a,b)内是凹的；

1.fxadx=S+c(ac;:.-1，实常数）

a+l

如果在(a,b)内的每一点x，恒有J'，（对<0,则曲线

6

1是非常熟练地凑出微分。

2.f~dx=Ln忖＋C

X常用的几种凑傲分形式：

3.f矿dx=上矿＋C(a>O,a-#l)(1)f八ax+b胚＝切(ax＋心（ax+b)

lnaa

fe·'dx=ex+c(a:/=o)

4.fcosxdx=sinx+C(2)f八ax"+b)x11-1dx=~ff(ax"＋心（ax"+b)

5.Jsinxdx=-cosx+C(a:;t:.O,n:;t:.O)

1

6.Jsec2xdx=f±dx=tanx+C(3)f八lnx)空＝八lnx汃lnx)

COS-XXf

7.

Jcsc2xdx=仁勹2~Y=-cotx+C

smX

(4)Jf（：）产＝－I心（：）

8.Jtanxsecxdx=secx+C

9.Jcotxcscxdx=-cscx+C(5)J心）贵＝2I八功（五）

10.Jtanxd:飞＝－lnlcosxl+C(6)仇心xdx＝卢侵·`．压）

11.Jcotxdx=Inlsinxi+C(a>O,a-::t-1)

12.Jsecx心＝lnlsecx+tanxi+C庐x~xdx=J瓜沁）

13.Jcscxdx=lnlcscx-cotxl+C(7)j八sinx)cosxdx=JJ(sinx)d(sinx)

(8)J八cosx)sinxdx=-J八cosx)d(cosx)

14.Jdx.=arcsm-x+C(a>o)

心矿－x2a

(9)J八tanx)sec2xdx=J八tanx)d(tanx)

15.J2dx2=—1arctan—x+C(a>o)

a+xaa(10)J八cotx)csc2xdx=-JJ(cotx)d(cotx)

16.J2dx2=—1lnl-+a+xC(a>o)

a—x2aa-x(11)J八secx)secxtanxdx=J八secx)d(secx)

dx(12)J八cscx)cscxcotxdx=-J八CSCX)d(CSCX)

17.J=lnlx＋丘言＋C(a>0)

心

(13)If(arcsmx)心＝I八arcsinx)d(arcsinx)

j

二．换元积分法和分部积分法

1.第一换元积分法（凑傲分法）

C14)J~dx=-JJ(arccosx)d(arccosx)

设j如汕＝F(u)+C,义叭x)可导，则卢I

J(arctanx)

(l5)I~dx=JJ(arctanx)d(arctanx)

雇吵'(x胚＝停心(x二ff吵uJ(arccotx)

(16)dx=­仇arccot心(arccotx)

JI+x2

=F(u)+C=F抄(x)]+C

这里要水读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就

7

1

flarctan.:.{（－AV-（x-X。)2]然后再作下列三种三角替换之一：

(17)f(l+X2x]dx=－ff(arcta分(arctan;］

二角形不意陷（求反函数

()根式的形式所作替换

18用）

心x＋扣言）1

jdx=f本（x＋歹）¥他（x+汇二））

卢J矿－x2x=asint二、卢干

(a>o)

()

19

J矿＋x2x=atant

f1in(x+5二）1[:

dx=fJ加（x+汇了）¥他（x+汇=7))

I5

(a>o)心2-a2x=asectf勹JX示-41

c

(20)f俐心＝ln|／凶＋C(.r(x)-:t:-0)3.分部积分法

设u(x),v(x)均有连续的导数，则

2.第二换元积分法

设x＝的）可导，且rp'(t)-:f:.0,若fu(x)dv(x)=u(x)v(x)-fv(x)du(x)

f八的）切＇（初＝G(t)+C,或fu(x)v'(x)心＝u(x)v(x)-fu'(x)v(x)dx

则

使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作

f八x)dx令x＝的）I凇(t)](fJ，心t=G(t)+C=G忙（对］＋C

v'(x)有定规律。

其中t＝矿（x）为x＝的）的反函数。(I)P,,(x)eax'P,,，（对sinax,P,,(x)cosax情形，

第二换元积分法绝人多数兀千根式的被积函数，通过

P,,(x)为n次多项式，a为常数，要进行n次分部积分法，

换元把根式去掉，其常见的变蜇替换分为两大类：

每次均取eax,sinax,cosax为v'(x)：多项式部分为

第一类：被积函数是x与忒云了5或x与{Iax+b或

cx+d

u(x)。

由矿构成的代数式的根式，例如心五言口；等。

(2)P,,(x)lnx,P,,(x)arcsinx,P,,(x)arctanx情

只要令根式{a勺＝t，解出X=(f)(t)已经不再有根

形，P,,(x)为n次多项式取片(x)为v'(x)，而lnx,

式，那么就作这种变抵替换X=(f)(t)即可。

arcsinx,arctanx为u(x)，用分部积分法一次，被积函

第二类：被积俘1数含有✓Ax2+Bx+C(A-:t:-0),

数的形式发生变化，再考虑具它方法。

如果仍令✓Ax2+Bx+C=t解出x＝的）仍是根号，那C3)eaxsinbx,ea.rcosbx情形，进行二次分部积分

么这样变黛替换不行，要作特殊处理，将A>O时先化为法后要移项，合并。

扛l(x-X。)2士l2]，A<0时，先化为(4)比较复杂的被积函数使用分部积分法，婓用凑微

8

分法，使尽量多的因子和心凑成

xE[a,b]称为变上限积分的函数

一．定积分的概念与性质

定理(I)若儿）在[a,b]|－可积，则F(x)=i"入／（叩

1.定积分的性质

(1)』勹(x汕＝—I"勹(x胚在[a,b]卜连续

(2)fJ(x)dx=O(2)若f(x)什[a,b]上连续，则F(x)=rf心研

(3)

[a,b]上可导，且F'(x)=J(x)

J:[kJ;(x)+k2儿(x)伈＝k1f"勹(x沁＋k2f：儿（x胚叭x)

推）形式设F(x)＝［f(t)dt,(f)）（对，伲伈）可导，

'P1(x)

(4)rf(x)dx=ff(x)dx+［勹(x)dx(c也可以在[a,b]

f(x)连续，

之外）

(5)设a:s;b,f(x):s;g(x)(a:s;x:s;b)，则则F'(x)=.f[<p2(x)朸；（x)-f佪(x)阮(x)

f:r(x贮f。飞(x汕2.牛顿一莱布尼兹公式

(6)设a<b,m可(x):s;M(a:s;x:s;b)，则设瓜）在[a,b]上可积，F(x)为八x)在[a,b]上任意

一个原函数，

m(b-a)三fa勹（x贮M(b-a)

b

则有［小）dx~F(x~F(b)-F(a)

(7)设a<b,则i勹（x)dxl::;f{/b|八寸心1:a

(8)定积分中值定理设八x)在[a,b]上连续，则存在（注：若f(x)在[a,b]上连续，可以很容易地用上面

c;E[a,b]，使变士限积分的方法来证明；若J(x)在[a,b]上可积，牛顿

一莱布尼兹公式仍成立，但证明方法就很复杂）

f勹(x汕＝／心－a)

"

1b三．定积分的换元积分法和分部积分法

定义：我们称——f八x)dx为J(x)在[a,b]上的积

b-aJa1.定积分的换元积分法

分半均值

设八x)在[a,b]I连续，君变启替换x＝的）满足

(9)奇偶函数的积分性质

faf归x=0(f奇涵数）(1)叭t)在[a,/3］（或[f3,a])士连续：

-a

[f(x汕＝2f。勹(x协Cf偶函数）(2)如）＝a,rp(/3）＝b,且当a:o:::;t:o:::;/3时，

(10)周期函数的积分性压

a:o:::;的）吵，则j0勹(x沁＝L/Jf屈）h＇（初

设f(x)以T为周期，a为常数，则

r+r/(x协＝f。勹(x汕2.定积分的分部积分法

设u'(x),v'(x)在[a,b]上连续，则

二．基本定理fu（对v'(.对dx=u(x)v(x~:-J:u'(xHx)dx

1.变上限积分的函数

定义：设瓜）在[a,b]上可积，则F(x)＝［几肋，或J:u(x)心(x)=i心）v(x~:-s:v(x)du(x)

9

定积分的应用

一．平面图形的面积

l．直角坐标系

模型IS