导数的概念及其几何意义

5.1.2导数的概念及其几何意义

一、选择题（共15小题）

1.在求平均变化率的式子中，自变量的增量Ax应满足条件（）

A.>0B.<0C,zlx=0D.H0

2.已知函数/'（X）,则/1%超喑殁的含义是（）

A.表示函数/（X）在区间［2,2+Ax］的平均变化率

B.表示函数f（x）在区间［Zlx,2］的平均变化率

C.表示函数/（x）在点（2/（2））处的瞬时变化率

D.表示函数f（x）在区间［2,2+Ax］内任意一点的瞬时变化率

3.函数f（x）=ax2+b%+C（QA0）在％=2处的瞬时变化率为（）

A.44aB.2Q+bC.bD.4a+b

4.fM=3x在%从1变到3时的平均变化率等于（）

A.12B.24C.2D.-12

5.函数f（x）=2x2-l在区间［1,1+Ax］上的平均变化率刍等于（）

A.4B.4+2zlxC.4+2（4X）2D.4X

6.自变量从X。变到xi时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（）

A.在区间［出，与］上的平均变化率B.在3处的变化率

C.在％处的变化率D.在区间上的导数

7.某质点的运动方程是S（t）=2t-（t+I/,则在t=2s时的瞬时速度为（）

A.-2B.-4C.-5D.0

8.函数在某一点的导数是（）

A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比

B.一个函数

C.一个常数，不是变数

D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

9.某质点的位移函数是s（£）=2/=10m/s2）,则当£=2S时，它的加速度是（）

A.14m/s2B.4m/s2C.10m/s2D.-4m/s2

1（）.一直线运动的物体，从时间t到t+4t时，物体的位移为4s,那么lim竽为（）

A.从时间t到t+4t时，物体的平均速度

B.在t时刻时该物体的瞬时速度

C.当时间为仇时物体的速度

D.从时间t至I」t+At时物体的平均速度

11.已知尸（1）=1.lim"1+33-"］）等于（）

力”04%

A.1B.-1C.3D.i

3

12.如果质点4按照规律s=3/运动，则在5=3时的瞬时速度为()

A.12B.16C.18D.27

2

13.物体自由落体运动的方程为s(t)=g=ggm/s,若v=色等产色=9.8m/s,那

么下列说法正确的是()

A.9.8m/s是在1s这段时间内的速度

B.9.8m/s是从1s到(1+4t)s这段时间内的速度

C.9.8m/s是物体在t=1s这一时刻的速度

D.9.8m/s是物体从1s到(1+4t)s这段时间内的平均速度

14.已知函数y=：，当%由2变为1.5时，函数的增量为()

13

A.1B.2C.-D.-

32

15.设函数f(x)=/+1,当自变量x由1变到1.1时，函数f(x)的平均变化率为()

A.2.1B.1.1C.2D.1

二、填空题(共7小题)

16.丫=方2-2%+3在工=2附近的平均变化率是.

17.已知曲线/(x)=2/+1在点M(x0,y0)处的瞬时变化率为—4,则点M的坐标为.

18.一物体运动的位移s和时间t的关系是s=2t-3t2,则物体的初速度是.

19.若f,M=3,则lim小血二德=

20.己知函数/(x)=/+2,则f'(2)=.

21.将半径为R的球加热，若球的半径增加4R,则球的体积AV=.

22.导数:如果函数f(x)在开区间(a,b)内,就说f(x)在开区间(a,b)内可导，这时对于

Vx0e(a,b),都对应一个,这样就在开区间(a,b)内构造了一个新函数，我们把这一

新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称导数，记作或.

三、解答题(共5小题)

23.在受到制动后的ts内，飞轮转过的角度(单位：rad)由函数@(t)=4t-0.3t2给出，求：

(1)当t=2时，飞轮转过的角度；

(2)飞轮停止旋转的时刻.

24.己知质点M按规律s=3f2+2做直线运动(位移单位：cm,时间单位：s).

(1)当t=2,4t=0.01时，求生；

At

(2)求质点M在t=2时的瞬时速度.

25.若曲线y=/(%)=2x3在某点处的切线的斜率等于6,求此点的坐标.

26.直线2：y=x+a(a于0)和曲线C：y=/-x?+1相切.求切点的坐标和a的值.

27.求曲线y=fM=x2+l过点P(1,O)的切线方程.

答案

1.D

2.C

3.D

【解析】本题即为确定函数在％=2处的导数，根据定义计算即可.

4.A

【解析】Ay=/(3)-/(I)=33-3=24,所以乎=三=12

AX3-1

5.B

22

【解析】因为=[2(1+4x)2_1]_(2xI-1)=4Ax+2(Ax),

所以包=4+24X.

Ax

6.A

7.B

8.C

9.A

【解析】由vQ)=s'(t)=6严一a(t)=v'(t)=12t-g,

当t=2时，a(2)=u，(2)=12x2-10=14.

10.B

11.C

12.C

13.C

14.C

【解析】y=*_|=：

15.A

16.2+4%

【解析】=(2+4)2-2(2+4%)+3-Q2-2x2+3)=(Jx)2+2Ax

17.(-1,3)

【解析】lim一”=lim(24%+4x)=4x=-4,

Ax-^04*Ax-^000

所以％0=一1，

所以点M的坐标是(-1,3).

18.2

【解析】平均速度=电・亚=2-33

当t趋于。时，瞬时速度为2,即初速度为2.

19.6

f(%+24%)-fQy)

lim

dXTOAx

lim卜.金也竺

Ax^OL2Ax

【解析】

2ymf(%+23-O

4x-*02AX

2f'M

6.

20.12

【解析】尸(2)=lim1)=lim[12+6Ax+U%)2]=12.

Ax-^0"4%—0

21.4TTR2AR+4TTR(AR)2+TT(21/?)3

22.每一点都可导，确定的导数r(a),f'(x),y'

23.(1)易知当t=2时，飞轮转过的角度为6.8rad.

(2)利用定义易求得d(t)=4—0.63即为飞轮在t时刻的瞬时速度.

令"(t)=0,得t=g,

即飞轮在弓s时停止旋转.

24.(1)竺=Mt+*-s(t)=3(，+狗2+2-如一2=ft+34t.

AtAtAt

当t=2,/t=0.01时，

—=6x2+3x0.01=12.03.

At

(2)当戊趋于0时，6t+3/t趋于6t,

所以质点M在t=2时的瞬时速度为12cm/s.

25.设此点的坐标为(％,2元),

因为V“■)=/电晒i等遍=6琉

X=xo

所以6XQ-6.解得x0=+1.

故此点坐标为(1,2),(-1,-2).

26.设直线，与曲线C相切于点P(x(),yo),