数模论文-东南大学校赛B

东南大学数模论文PAGE第七届大学生数学建模竞赛2013.05.17-2013.05.22主办：东南大学教务处承办：东南大学数学系东南大学数学建模竞赛组委会论文选题及题目：校赛B题参赛队员信息：队员1队员2队员3姓名院系手机email校赛B题摘要我们通过对附件（B）中数据的分析，发现商品的出售具有一定的周期性质。首先，我们利用泊松分布（A商品）和正态分布（B,C商品），找出商店缺货零出的点及其频率，再得出商店进货的周期。然后我们以月为单位，将各类商品的出售数量进行统计和作图。接下来，我们再通过傅里叶变化得出该数据中的幅频最高的点，找出其幅频最高的点对应的周期，验证正态分布中的周期。再接下来，运用最直接的极大值和极小值的方法，得出周期，再去验证之前得到的周期的正确性。我们通过一些图形模拟和计算，得出A,B,C商品的进货（缺货）的周期大约是12天。所以我们就可以很容易的得出，该商店的进货策略和在825天内进了多少次货。而且，在第二个问题上，我们通过泊松分布的得出A的日需求量为3.07件，由正态分布很容易得出B的平均值为4.5左右，C的平均值为7左右，即B,C的日需求量约为4.5和7。在问题三中，通过程序，找出A,B,C中连续点或者是相邻差值非常大的点，再从中挑选出符合缺货条件的点，从而算出，A的缺货时间为93天，缺货量为301件。B缺货时间大约为62天，缺货量大约286件。C缺货时间大约为48天，缺货量大约为339天。在问题四中，通过计算，A在每个周期内缺货大约为4.36件，确定B在每个周期内缺货大约4.14件，C在每个周期内大约缺货4.91件。由此，我们可以很容易得出当周期为11天时，A,B,C三种商品的缺货损失减半。关键词：泊松分布正态分布傅里叶变换假设检验目录TOC\o"1-5"\h\z\u一问题重述 41.1 41.2 4二问题分析 4三模型假设 4四符号说明 4五模型的建立与求解 5六模型的检验 12七模型的优缺点分析 12八模型的推广与改进 12参考文献 12附录 13一问题重述1.1背景：某商店取得了某物在该区域的市场经销权，销售该物的三类产品，附表1给出了该店过去连续800多天的三类产品销售记录。1.2问题描述：该店三类产品的进货策略是什么？800多天内共进了多少次货？该三类产品在该区域的市场需求如何？分析现有进货策略下，该店的缺货情况（包括缺货时间及缺货量）。（4）如果现有进货策略已经充分考虑了该店的产品存贮能力，如何改进进货策略，将缺货损失减半，且进货次数尽可能少？二问题分析在该题的观察中，我们观察到A,B,C数据繁多，而且绘成图之后没有明显的图象趋势，没有明显的特点。所以我们决定对原始数据进行一系列的处理，包括傅里叶变换，频率分布等处理，希望取得图象深程度的理解。在问题（一）中，我们认为这是一个固定周期的模型。我们认为，只要通过对数据的分析，找出商家去购买商品的大概周期，然后我们再结合数据中的一些特殊情况，就可以找出商家的进货方式了。然后我们用825除以周期，就可以得到商家在825天内大概进了多少次货。在问题（二）中，我们认为如果找到了，A,B,C的本质分布曲线，就可以通过求平均值或者正态分布平均值的方法，得到居民对于A,B，C的日需求量。在问题（三）中，我们认为要分析缺货情况，必须要在数据中找到哪些数据是断货或是缺货的，然后我们在找出缺货时间的基础上，去得到缺货量。在问题（四）中，我们认为只要找到在825天的缺货量，再除以售卖周期，就可以得到在每个周期内的缺货数量。这样就可以通过调整周期得到让让缺货损失减半的方法。三模型假设商家是主要是定期去采购商品；A,B,C商品储存方式不能替代；在商品无限充足的自然情况下，商品售出的数量大约呈正态分布。四符号说明P概率分布（泊松分布和正态分布）λ泊松分布中为平均值（方差）μ正态分布中的平均值σ^2正态分布中的方差W傅里叶变换中的频率ΔP0标准曲线与实际曲线在零点处的频率差值ΔPI，NI标准曲线与实际曲线在大于平均值（方差）处的频率差值和对应的频数ΔPi，Ni实际曲线与标准曲线在小于平均值（方差）处的频率差值和对应的频数T总的出售时间，即825天t总的缺货时间t1缺货（不断货）的时间λ标准图形中的平均值（方差）五模型的建立与求解对于A商品：我们首先用matlab将B,C数据进行正态分布处理数据，并作出图象，见下图（其中横坐标为出售数量，纵坐标为频率）：（一）泊松分布泊松分布的概率分布函数为：其中λ>.0是常数,则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X～P(λ)。泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。且在泊松分布中，平均值和方差均为λ。（二)具体问题分析在A商品的出售量的数据中，我们可以得到，A商品的出售数量平均值为2.76（图中显示为3.76），方差为3.07（图中显示为4.07）。我们取泊松分布中λ=3.07，得到标准的泊松分布函数。商品A的图象与标准泊松分布图象（为便于观察，图象向右平移一个单位）：结合图形和理论数据，我们可以很容易的看出，A的出售数量与频率的分布图象和泊松分布的图象十分相近。在图象中我们可以看出A的出售数量在零附近的概率非常高，我们认为这是因为A的缺货时间非常长，缺货量非常大而产生的。对于B,C商品：（一）正态分布正态分布，是一种概率分布。公式为：第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ，σ^2）。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。（二)具体问题分析我们首先用matlab将B,C数据进行处理，并作出图象，用matlab中的ttest函数，进行拟合分析，得出图象和正态分布的拟合度达到95%以上，几乎可以认为是正态分布。根据数据，我们得到B的出售数量平均值为4.62（图中显示5.62，以下数据相同），C的出售数量平均值为7.49。根据B商品的出售数据中，我们可以得到它的平均数和每个频数对应的频率。当我们取正态分布中的的参数μ=4.5，并且σ=2.4018时。就可以得到与B商品出售数量相对应的正态分布曲线。商品B的图象与标准正态分布图象（其中图象横坐标为出售数量，纵坐标为频率。为便于观察，图象向右平移一个单位）：根据C商品的出售数据中，我们可以得到它的平均数和每个频数对应的频率。当我们取正态分布中的的参数μ=7，并且σ=2.9120时。就可以得到与C商品出售数量相对应的正态分布曲线。商品C的图象与标准正态分布图象（其中图象横坐标为出售数量，纵坐标为频率。为便于观察，图象向右平移一个单位）：从图象中可以明显看出，B,C图象很符合正态分布的关系。所以我们可以确信，B,C数据是一种正态分布模型。但是我们可以在模型中明显的看见，在零附近出的概率值明显偏大。经过我们的研究，探讨可以确定，这是由于B,C的缺货，导致了零处的概率偏大。在A,B,C模型确立之后，我们分析认为，当数据中出现连续的零或者是二天出售量差值非常大时，极有可能是缺货（进货）的时间点。我们通过分析和计算机的筛选，找到了最符合缺货（进货）的点，再通过对筛选出来的点的分析（见附录），初步找出了缺货（进货）的周期在12天左右。再接下来，我们通过假设检验的方法，对周期进行进一步的确认。傅里叶变换傅里叶表换公式：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。具体问题分析下面是以月为单位，对每月的总的出售数据进行傅里叶变换，得出的一系列图形（其中横坐标为频率，纵坐标为傅里叶变换后的值，周期单位为月）：下面是A的傅里叶变换图形：下面是B的傅里叶变换图形：下面是C的傅里叶变化图形：从傅里叶变换的图形中，我们可以明显的发现，在频率为15的点附近，傅里叶变换的值最高。转化为该题中的具体数据即为：在周期为2*pi/15*28=11.7（天）为周期的数据最具有周期性。通过傅里叶变换我们可以在另一方面验证出，A,B,C数据的缺货（进货）周期为12天是正确的。在接下来，我们再次通过以周为单位（源程序见附录），做出A,B,C数据的图形（其中横坐标为周，纵坐标为以周为单位的出售数量）。A，B，C以周为单位的数据图形：我们再次运用假设检验的方式，通过观察相邻极大值和极小值的时间差值，再次找出B,C数据的大致周期。通过我们对这些数据的处理，再次找到B,C数据的周期，周期约为12天。而且对图形的观察，我们也可以得出，A,B,C的在一段时间内，上升和下降趋势十分接近。在A,B,C缺货（进货）周期为12天的基础上，我们进一步做出以12天为周期（源程序见附录），A,B,C数据的分布图象（横坐标为出售的数量，纵坐标是对应的频数）：A以12天为单位的数据图形：B以12天为单位的数据图形：C以12天为单位的数据图形：在图形上我们可以明显的观察到，B,C商品若以12天为周期，它们的出售数量都集中在一起，而且集中的非常明显。图形很明显的阐述了，当B,C以12天为周期缺货（进货），出售数量是高度集中的，即12天是它的主要周期。通过以上方法，我们再经过几次验证，得出B,C的缺货（进货）周期就是12天。在问题（一）中：对于A,B,C商品，我们通过上述的模型的建立与周期的确立，再结合实际数据。我们可以得出，A,B,C商品的进货周期为12天，在某些时刻（畅销的时候），还会缩短进货周期，并且允许缺货。在825天内，进货次数为：825/12=68.75（次），取整后，即大约进货69次左右。在问题（二）中，对于A商品，我们认为它的出售曲线是一个泊松分布曲线，所以我们通过方差分析，得出方差为3.07，即A的日需求量大约是3.07。对于B,C商品，我们通过对正态分布模型的建立，得出B商品的出售数量平均值为4.5，C商品的出售数量平均值为7.那么我们就可以得出，B商品的日需求量为4.5，C商品的日需求量为7。在问题（三）中，对于A,B,C商品，我们通过对图形的拟合对比，找出缺货的的时间和总的缺货量。计算方法为：总的时间：t=ΔP0*T+t1;总的缺货量：Q=Σ(NI*ΔPI-Ni*Pi)+ΔP0*T*对于A商品我们计算出断货时间为31天，缺货时间（不断货）62天，缺货总时间为：93天故A商品的缺货量：31*3.07（时间*方差）+206（缺货（不断货）时的缺货量）=301对于B商品，我们计算出断货时间为29天，缺货时间（不断货）33天，缺货总时间为：62（天）故B商品的缺货量为：29*4.5（断货量=时间*平均值）+156（缺货（不断货）时的缺货量）=286（总的缺货量）对于C商品，我们计算出出断货时间为17天，缺货（不断货）31天，总的缺货时间为：48天故C商品的缺货量为：17*7（断货量=时间*平均值）+220（缺货（不断货）时的的缺货量）=339（总的缺货量）在问题（四）中，对于A商品，周期为12，共进货69次，总的缺货量为301件，所以在每个周期内缺货4.36（件），结合方差为3.07，我们可以得出当进货周期为11天的时候，A的商品损失率就已经减半了。对于B商品，周期为12，共进货69次，总的缺货量为286件，所以在每个周期内缺货量为：286/69=4.14（件），结合平均值为4.5，我们可以得出当进货周期为11天的时候，B商品的损失率就接近零了，符合题意。对于C商品，周期为12天，共进货69次，总的缺货量为339件，所以在每个周期内缺货量为：339/69=4.91（件），结合平均值为7，我们可以得出当进货周期为11天的时候，C商品的损失率就接近零了，符合题意。总结以上，我们可以得出，当进货周期改为11天的时候，能够将A,B,C的商品损失率减半。六模型的检验七模型的优缺点分析模型的优点：我们的模型对于实际数据具有非常高的拟合度，所以在处理问题的