自考本科线性代数(经管类)知识汇总

第一章行列式1.1行列式的定义(一)一阶、二阶、三阶行列式的定义(1)定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注注意：在线性代数中，符号不是绝对值。(2)定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：角线的乘积)((3)符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为下面的对角线法记忆1值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。(1)(2)(3)(2)和(3)叫三角形行列式，其中(2)叫上三角形行列式，(3)叫下三角形行列式，由(2)(3)可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五2解解因为.(二)n阶行列式它由n行、n列元素(共个元素)组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j称为列标，它表示这个数在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。n阶行列式通常也简记作。3nn阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。((1)在n阶行列式中，划去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素的余子式，记作例如，在三阶行列式表示将三阶行列式划去第置组成的二阶行列式，所以表示将三阶行列式二阶行列式。所以若((1)((2)((3)((4)解(解(1)((2)((3)((4)4(2)符号叫元素的代数余子式)((1)((2)((3)((4)((2)(3)(4)(如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数)(以上两组数相等)(以上两组数相等)5这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，即规定n的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果所以有特别情形计算下列行列式6((2)((1)由本例可由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积7((i=1,2,…,n)一般地可推得n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积1.2行列式按行(列)展开n行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。现在给出下面的重要定理，其证明从略。定理1.2.1(行列式展开定理)n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即(i=1,2,…,n)(1.8)(j=1,2,…,n)(1.9)等于它的任意一行(列)的各元素与等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即((1.8)((j=1,2,…,n)(1.9)或上述展开定理也可以表示成(i=1,2,…,n)(j=1,2,…,n)8余子式余子式，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素(特别是)抄写下来。根据定理1.2.1知道，凡是含零行(行中元素全为零)或零列(列中元素全为零)的行特别情形(1)(2)解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开(解题技巧)9可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积我们称这种行列式为下三角行列式(可任意取值的元素在主对角线的下面)。((1)((2)(重新分组后得出)1.3行列式的性质与计算nn这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。下面我们来研究行列式的性质，并利用行列式的性质来简化行列式的计算。1.3.1行列式的性质一个n阶行列式，这个新的行列式称为D的转置行列式，记为或。即如果则性质性质1行列式和它的转置行列式相等，即或的性质，对“列”也成立；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的。(运用最多)性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数：证将左边的行列式按其第i行展开以后，再提出公因数k，即得右边的值：按列逐次提出公因数。解解等号右边的式子，然后提出这个行列式中第三列的公因数5，把行列式中各元素的绝对值化小以后，再求出原行列式的值。f在行列式D的每一行中都提出公因数(-1)并用行列式性质1可以得到是是反对称行列式，则它满足条件((运用最多)性质3互换行列式的任意两行(列)，行列式的值改变符号。即对于如下两个行列式有根据这个性质可以得到下面的重要推论：推论如果行列式中有两行(列)相同，则此行列式的值等于零。换行列式D中的两个相同的行(列)，其结果仍是D，但由性质3可知其结果为性性质4如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，不妨设第j行元素是第i行元素应成比例的情形可以类似地证明。解：因为(第二行与第四行成倍数)解：因为性性质5行列式可以按行(列)拆开，即证将左边的行列式按其第i行展开即得这就是右边两个行列式之和。(运用最多)性质6把行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行(列)的对应元素上去，所得的行列式仍为D。证因为(第一行的数乘与(-1)加到第二行上去)此题中，为了叙述方便，我们引入了新的记号，将每一步的行变换写在等号上面(若有列变换则写在等号下面，本题没有列变换)，即第一步中的②+(-1)×①表示将第一行的-1倍加到第二行上，第二步是第一列展开。根据行列式的展开定理与行列式的性质，我们有下面的定理：子式的乘积之和等于零，即的任意一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余1.3.2行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法。(1)利用行列式的性质，把原行列式化为容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化为上三角(或下三角)行列式再求值。此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上(-1)，在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k。(2)把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，式的性质将行列式化为上三角行列式，即可求出行列式的值。的性质与展开定理结合起来使用，往往可以更快地求出结果。解观察到行列式的第一行第一列位置的元素a11=1，利用这个(1，1)位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化为0，然后按第一列展开，可将这个四阶行列式降为三，具体步骤如下：按第一列展开，得例例8计算行列式(把最简单的调到第一列或是第一旬)在在本例中，记号①②写在等号下面，表示交换行列式的第一列和第二列，②+5×①第二列。((例子很特殊)式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6，我们可以采用简易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数6，再将后三行都减去第((32)？解将行列式按第一列展开，得((简化的过程就是消阶，次方也应减少，为(N-1)等例例12计算范德蒙德(VanderMonde)行列式：[答疑编号10010308：针对该题提问](第一行乘(-X1)加到第二行上；第二行乘(-X1)加到第三行上)(这是个定律)(这是个定律)每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一行或是列全为“1”的行列式，然后再化简)1.4克拉默法则或或(一)二元一次方程组(方程1、2左右同乘以一个数，上下对减)令令1A(二)三元一次方程组数行列式令即即即即即即一般地，有下面结果定理(克拉默法则)(1)中，若它的系数行列式0(2)中方程组只有零解(1)若系数行列式D≠0方程组只有零解(2)若系数行列式D=0则方程组(2)除有零解外，还有非零解(不证)例在三元一次齐次方程组(2)a=-2时，D=0，有非零解。本章考核内容小结(一)知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式的定义知道余子式，代数余子式的定义(二)知道行列式按一行(列)的展开公式(三)熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式重点是三阶行列式的计算和各行(列)元素之和相同的行列式的计算(四)知道克拉默法则的条件和结论本章作业3第二章矩阵2.1矩阵的概念表用用大小括号表示j第i行与第j列的变叉位置记为(i，j)。为nAA的主中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Om×n或者O(大写字)表示。特别，当m=1时，称α=(a1，a2，…，an)为n维行向量。它是1×n矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。或简写为对对角矩阵必须是方阵。例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。n阶数量矩阵有如下形式：的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。对角矩阵必须是方阵。或n一一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。(可以是方阵也可以不是方阵(可以是方阵也可以不是方阵)2.2矩阵运算本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。2.2.1矩阵的相等(同)个矩阵中处于相同位置(i，j)上的一对数都必须对应相等。特别，注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如因为两个矩阵中(1，2)位置上的元素分别为0和2。但是却有行列式等式(因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样(因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样)2.2.2矩阵的加、减法n则(1)矩阵的加法与行列式的加法有重大区别不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行(列)相加外，其它的(2)阶数大于1的方阵与数不能相加。(阶数大于1它就是一个表，不是一个数了) (把数转化为数量矩阵aEn就可以想加了)则(1)交换律A+B=B+A.(乘法没有交换律)(2)结合律(A+B)+C=A+(B+C).(3)A+O=O+A=A.(4)消去律A+C=B+CA=B.2.2.3数乘运算(矩阵与数不能相加，但是可能想乘)(kaij)m×n.(矩阵里的第个原数都乘以数K)则这两种数乘运算是截然不同的。数乘运算律(1)结合律(kl)A=k(lA)=klA，k和l为任意实数。(2)分配律k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA，k和l为任意实解((注意是乘以矩阵里的每个元素)2.2.4乘法运算CAB。由此定义可以知道，两个矩阵A=(aij)和B=(bij)可以相乘当且仅当A的列数与B若(列(列行)==BA没有意义。求求(1)A3E3(2)E3A3((2)现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。求(1)AB(2)AC(2)a(1)单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA=AEn=A(2)数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：(aEn)A=A(aEn).(3)在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般AB≠BA。(4)当AB=O时，一般不能推出A=O或B=O。这说明矩阵乘法不满足消(5)当AB=AC时，一般不能推出B=C。(消去律)解解因为与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设为与A可交换的矩x例9解矩阵方程，X为二阶矩阵。解解设。由题设条件可得矩阵等式：等的定义得((列出两组方程式)乘法运算律(1)矩阵乘法结合律(AB)C=A(BC)。(不改变顺序)(2)矩阵乘法分配律(A+B)C=AC+BC，A(B+C)=AB+AC。(3)两种乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)，k为任意实数。n矩阵乘法的结合律要用定义直接验证(证略)，其他三条运算律的正确性是显然的。方阵的方幂可以不加括号而有完全确可以不加括号而有完全确AA的幂(或称方幂)为我们定义n则：AkAl=Ak+l，(Ak)l=Akl，k，l为任意正整数。((2)(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。((2)(1)则则则则E(1)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2AB=BA。(3)当AB=BA时必有(AB)k=AkBk.(只有两者两等时成立)(同系数两个数或是两个数的平方相等)(同系数两个数或是两个数的平方相等)例如，取ABBA不成立。 (1)AB=O，A≠O不能推出B=O。例如时(两个不等于零的方阵相乘或是一个数平方也可能等于零)AO推出则(3)由AB=AC，A≠O不能推出例如((4)由A2=B2不能推出A=±B。则则2.2.5矩阵的转置即易见A与AT互为转置矩阵。特别，n维行(列)向量的转置矩阵为n维列(行)向则l(1)AB(2)(AB)T(3)ATBT(4)BTAT((2)((3)((4)由本例可见(AB)T=BTAT，这一结果有普遍性(不证)转转置运算律(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(kA)T=kAT，k为实数。(4)(AB)T=BTAT，(A1A2…An)T=AnTAn-1T…A1T.定义2.2.6设A=(aij)为n阶实方阵。若A满足AT=A，也就是说A中元素满足：阵，因此，往往省略一个“实”字。例如，证证：取=X(注)举例证明了下面结论，对任意方阵A(注)举例证明了下面结论，有(A+AT)是对称阵(A-AT)是反对称阵(2)如果已知PTAP为n阶对称矩阵，问A是否必为对称矩阵？证(1)因为A是对称矩阵，必有AT=A(满足这个条件)，于是必有(PTAP)T=PTATP=PTAPAnA的顺序构成的行列式称为方阵A作则(1)矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号“”与矩阵记号“(*)”也不同，不能用错。(2)矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。(3)当且仅当(3)当且仅当易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积有一般地应一般地应有则(1(1)(2)(3)；(1)，(2)的证明可由方阵行列式的定义及行列式性质直接得到。(3)的证明从略。①①②②，④④是得例21证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。因因为是数，所以必有。2.2.7方阵多项式定义一个n阶方阵，称f(A)为A的方阵多项式。注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵而不是常数。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。由2.3方阵的逆矩阵这个b就是a的倒数，常记为。而且a与b互为倒数。(其中是n(其中是nA若满足(2.5)式的方阵B不存在，则称A为不可逆矩阵(或奇异矩阵)。A，B为同阶的可逆方阵，常数k≠0，则(1)为可逆矩阵，且(2)(3)证推推广有((4)证(5)证(6)(7)若A可逆且AB=AC，则有消去律B=C如何判定一个给定方阵是否可逆呢？为了回答这个问题，我们先给出下面的概念。定义2.3.2设，为的元素的代数余子式(i,j=1,2,…,n)，则矩阵出，在构造A的伴随矩阵时，必须放在中的第j行第i列的交叉即类似可得(2.7)即类似可得(2.8)要条件，以及方阵可逆时，求出其逆矩阵的一个方法。2.3.2n阶方阵A为可逆矩阵。，使。由方阵乘积的行，使。由方阵乘积的行列式法则，可得，于是必有，于是必有。nn则由(2.9)式可得矩阵等式由矩由矩阵可逆的定义可知A是可逆矩阵，而且还得到了求逆矩阵公式在在两边左乘在在两边右乘或成立即可，而用不着按定义同时验证两个等式或成立即可，而用不着按定义同时验证两个等式。dAA矩阵时，求出。例例3判断矩阵是否可逆，求出它的逆矩阵。解(1)由于(2)逐个求出代数余子式和伴随矩阵：；；于是。n矩阵求逆矩阵计算量是很大的，特别是当n≥4时不宜用伴随矩阵来求逆矩阵。，求(1)(2)(3)(4)令时，显时，显然有证：由E(2)((2)((3)((4)2.4分块矩阵于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块(子矩阵)，以子块为元素的形式的的矩阵叫分块矩阵。例如，例如，设这样A可以看成由4个子矩阵(子块)为元素组成的矩阵，它是一个分块矩阵。分块的分块矩阵的一般形式为的分块矩阵的一般形式为，A仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的表述方法，而并不是另外定义一种新的矩阵运2.4.1分块矩阵的加法解：根据分块矩阵加法的定义知道，解：根据分块矩阵加法的定义知道，，求出行列式的值。求出2.4.2数乘分块矩阵2.4.3分块矩阵的转置设设则其转置矩阵为分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为“内外一起转”。我们发现：不但每个子矩阵的位置作了转置，而且每个子矩阵的内部也作了转置。例如，例如，设2.4.4分块矩阵的乘法和分块方阵求逆。利用分块矩阵计算乘积。利用分块矩阵计算乘积AB时，应使左边矩阵矩阵A分块方式与右边矩阵B的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘其其中为阵阵的列数分别等于((i=1,2,…,r,j=1,2…,t)。对于矩阵于是于是得到则。则特别地，当AB=O时，由可得。(1)形如的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵，其中(2)两个准对角矩阵的乘积设是同阶方阵，则(3)准对角矩阵的逆矩阵若都是可逆矩阵，则分块对角矩阵可逆，并且均用分块矩阵的乘法，容易验证上式成立。求矩阵解：将矩阵解：将矩阵A分块，得，利用伴随矩阵方法求逆，得形如，的分块矩阵分别称为准上三角矩阵和准下三角矩阵。它们都是分块三角矩阵。这里，每个主对角块都必须是方阵，但阶数可以的主对角线上各子块的行列式的乘积，即((2)2.5矩阵的初等变换与初等方阵2.5.1初等变换定义2.5.1对一个矩阵A＝(aij)m×n施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行46(列)变换，统称为矩阵的初等变换。(i)交换A的某两行(列)。(ii)用一个非零数K乘A的某一行(列)。(iii)把A中某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。矩阵之间的等价关系有以下三种性质。((1)反身性((2)对称性若则((3)传递性若则2.5.2初等方阵引进方程的目的是想用矩阵乘法描述矩阵的初等变换。(I)交换E的第i,j两行(列)(i≠j)得到的初等方阵记为(II)用非零常数k乘E的第i行(列)，得到的初等方阵记为(III)将E的第j行的k倍加到第i行上(或第i列的k倍加到第j列上)(i<j)得到的初等方阵记为将E的第i行的k倍加到第j行上(或第j列的k倍加到第i列上)(i<j)，得到的初等方阵记为(1)P12A(2)AP12(3)D1(k)A，(4)AD1(k)(5)T12(k)A(6)AT21(k)定理2.5.1Pij左(右)乘A就是互换A的第i行(列)和第j行(列)Di(k)左(右)乘A就是用非零数k乘A的第i行(列)。Tij(k)左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上。Tij(k)右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列上。2.5.3矩阵的等价标准形定理2.5.2任意一个m×n矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化称称为A的等价标准形。求矩阵所以A的等价标准形为(E3，0)。因为对矩阵A施行初等行(列)变换相当于用对应的初等方阵左(右)乘A，而初等方阵都是可逆矩阵，若干个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，所以定理2.5.2可以等价地叙为得2.5.4用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵于单于单位矩阵)A可以写成若干个初等方阵的乘积。因此，若将(A，E)看作分块矩阵，则有P(A，E)＝(PA，PE)＝(PA，P)(A，E)→(E，A-1)上面的公式就是用行初等变换法求A-1的根据，上面公式说明，当分块矩阵(A，E)作具体方法：用初等行变换把n×2n矩阵(A，En)化为(En，A-1)，当(A，En)的左半注意：用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换，而且在求出A-1以后，2.5.5用矩阵的初等变换求解矩阵方程方法：用初等行变换把分块矩阵(A，B)化成(E，A-1B)即：公式(A，B)→(E，A-1B)则x=A-1B上式说明，在解矩阵方程Ax=B时，看分块矩阵(A，B)的A变形为E时，解解：由方程XA＝BXAA-1＝BA-1XX满足XA＝BXT满足ATXT＝BT从而有BAT(方法)：(AT，BT)→(En，(BA-1)T)∴(AT，BT)→(E，XT)BA2.6矩阵的秩秩(A)表示A的秩。阶数，例如，当r(A)＝3时，说明在A中至少有一个三阶子式不为零，而所有的阶数大解解：容易计算出二阶行列式A是一个三行四列的矩阵，把A的三行全部取出，再从其四列中任取三列就可得到一个三阶子式，共有四个三阶子式，我们算出A的所有三阶子式如下:r(PA)＝r(A)，r(AQ)＝r(A)。证：因为可逆矩阵P和Q都是若干初等方阵的乘积，用初等方阵乘矩阵就是对矩阵施解：由假设解：由假设即T的行列式本身就是它的最高阶非零子式，所以r(T)＝r。解：由于所以A是可逆矩阵，取矩阵B的全部三行和第一、二、三列，得到的三阶子式这显然是B的一个最高阶非零子式，所以r(B)＝3，由定理2.6.1的推论知r(B)＝对于一般的矩阵而言，要确定它的非零子式的最高阶数，并非一件容易的事情，但是，对于被称为阶梯形矩阵来说，它的非零子式的最高阶数却是一目了然的。定义2.6.2满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵(1)如果存在全零行(元素全为零的行)，则全零行都位于矩阵中非零行(元素不全为零的行)的下方；(2)各非零行中从左边数起的第一个非零元素(称为主元)的列指标j随着行指标的递增而严格增大，(即各非零行从左边数起第一个非零数下方各数全为零)m×n阶梯形矩阵的一般形式是从直观上看，第i个非零行从左边数起的第一个非零元素(即主元)为aiji,位于aiji,，下于是r(T)＝r=“T中非零行的个数”。因为我们要找出的是T中的非零行，所以这种阶梯形矩阵应该称为行阶梯形矩阵，不如果对矩阵A施行初等行变换，得到其阶梯形矩阵后，进一步进行初等行变换，将阶A的简化行阶梯形矩阵或称为A的行最简形矩阵，简化行阶梯形矩阵的一般形式为既然矩阵的初等变换不改变其秩，那么只要用初等行变换把任意矩阵A化成阶梯形矩r(A)＝r(T)＝“T”中非零行的行数。定理2.6.2对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等行变换把它化成阶梯形矩阵。定理的证明略去下面用例子具体说明将矩阵化成阶梯形和简化行阶梯形矩阵的方法。化成阶梯形矩阵与简化行阶梯形矩阵。解：用矩阵的初等行变换将矩阵化成阶梯形矩阵。阶梯形矩阵有两个非零行，可见矩阵A的秩r(A)＝2，同理它有三个非零行，所以r(B)＝3注在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也可以用初等列变换。而且不必化成简化行阶梯形矩阵关于矩阵的秩，有以下结论。(1)设A＝(aij)m×n,则r(A)≤min{m,n}。rATrAAAT(3)n阶方阵A为可逆矩阵所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵。秩2.7矩阵与线性方程组性方程组有非零解的一个判别条件.记当b1=b2=…bm=0时，方程(2-10)叫齐次线性方程组。下面的矩阵叫线性方程组(2.10)的增广矩阵。解：先用对线性方程组施行线性方程组的初等变换方法来求解。形如(2)的方程组称为阶梯形方程组，形如(3)的方程组称为简化的阶梯形方程组。方程组(2)和(3)都与方程组(1)同解，方程组(3)实际上由两个方程构成，它含4每当x3，x4任意取定一组值，代人上式就得到方程组的一个解，故方程组有无穷多个的消元过程一一对照。它与方程组(1)同解，称这个表达式为方程组(1)的一般解，其中为自由未换对应其系数矩阵“交换两个对应行”的初等行变换，另两种变换也类似。阶梯形矩阵(2)*”，“简化的阶梯形方程组(3)”的系数矩阵就是方程组(1)的系数矩阵的“简化行阶梯形矩阵”。阶梯矩阵，得出易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解。行阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程的解。解：化线性方程组的增广矩阵为行最简形矩阵：B为解：把线性方程组的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵：即取x3为自由未知量，可知方程组有无穷多个解，上式就是所给方程组的一般解。下面利用矩阵的秩给出齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。An保留下来的有效方程个数<未知数个数n，所以有自由未知数，因而解有无穷多，当然有非推论1含有n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是且当它有非零解时，必有无穷多个非零解。Ax中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解。事实上，方程组的系数矩阵的秩不超过其行数，即方程的个数，所以r(A)≤m<n。关于线性方程组的详细讨论将在第四章中进行。本章内容小结(一)基本概念，基本运算和公式(1)(aij)m×n=(bij)=(aij±bij)m×n(2)k(aij)=(kaij)(3)(aij)m×s(bij)s×n=(cij)m×ncij=ai1cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=(4)AT表示由A的行变为列的矩阵。(5)若AB=E，则B=A-1,A=B-1(6)矩阵的三种初等变换：①某行(列)乘非0数k②两行(列)互换③一行(列)加减它行(列)的k倍。E换生成的矩阵。(7)矩阵的秩：表示A中不为0的子式最高阶数。((8)若就说A与B等价(二)重要结论和公式(1)A+B=B+A，但AB与BA可能不相等。ACBC((3)中特别情形((5)(AB)T=BTAT，(AB)-1=B-1A-1，(AT)T=A，(4)若γ(A)=n，则有((A-1)-1=A，(kA)-1=((6)(7)矩阵经过初等变换不改变它的秩。A=r。(三)重点(1)求AB(2)求A-1(3)解矩阵方程AX=BXA=B((4)用矩阵的行初等变换解线性方程组本章作业.7.8.9.提示，(A+E)(A-E)=0双方乘(A+E)-1.第三章向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算指的是向量中的分量个数。行向量与列向量是有区别的，一个行向量与一个列向量即使对应的分量相等，也不能把它由于向量定义为有序数组，那么向量与数组中数的次序有关。注意：不同维数的零向量是不相等的。nn利用负向量的概念，可以定义向量的减法：类似地定义向量的加法、减法和数乘运算。向量的加法运算及数乘运算统称为向量的线性运算，这是向量最基本的运算。((1)α＋β=β＋α；(加法交换律)(2)(α+β)＋γ=α＋(β＋γ)；(加法结合律)(3)α＋0＝α；(4)α＋(－α)＝0(5)1×α＝α；(6)k(α＋β)＝kα＋kβ；(数乘分配律)(7)(k＋l)α＝kα＋lα；(数乘分配律)(8)(kl)α＝k(lα)。(数乘向量结合律)向量的现行组合例1：设α＝(2，1，3)，β＝(－1，3，6)，γ＝(2，－1，4)，求向量2α＋3β－γ。解：2α＋3β－γ＝2(2，1，3)＋3(－1，3，6)－(2，－1，4)＝(4，2，6)＋(－3，9，18)－(2，－1，4)(4，5)，β＝(－1，-2)，求向量α＋3β。(2)矩阵A按列分块时，可得A＝(β1,β2,…βn)，得到一个列向量组β1，β2，…βn，其则(1)A按行分块时，可得则(1)A按行分块时，可得……作显然，任何一个向量都可以表示为标准单位向量组的线性组合，2.向量的线性表出关系线性表出：β＝2α，但γ＝(2，4，5)不能用α＝(1，2，3)线性表出。(2)因为(5，10，15)＝(1，2，3)＋2(2，4，6)，所以γ=(5，10，15)可用α3.线性组合的矩阵表示法为了充分利用矩阵来研究向量之间的关系，我们要引进线性组合的矩阵表示法。 那么，存在m个数k1，k2，…km使得(3.1)式成立当且仅当方程组(3.2)有解。规则，方程组(3.2)可写成矩阵形式：kk2，…km就是线性方程组Ax=β的解。若方程组(3.2)有惟一解，则表明β可用α1kk2，…km就是线性方程组Ax=β的解。若方程组(3.2)有惟一解，则表明β可用α1，α2，…αm线性表出，且表示法是惟一的.即把所给的行向量全部转置成列向量再依次存放构造出矩阵A，则有有即4.表出系数求法举例解设线性方程组为初等变换，得组合？解：考察线性方程组用矩阵的初等行变换化简方程组的增广矩阵：方程组的同解方程组为3.2线性相关与线性无关即只有k1=k2=…km=0，才能使k1α1+k2α2…kmαm=0。就说向量组线性无关。根据向量组线性相关性定义，可以直接有下面结论((1)含有零向量的向量组一定线性相关。(2)一个向量生成的向量组α线性相关α=0。证：①充分性，若α线性相关，按定义，存在k≠0。使使(3)两个向量的向量组α，β线性相关α与β的分量成比例。0,…0)，ε2=(0,1,0,…0)，…εn=(0,0,0,…1)一定令等式两边的三个分量分别相等，就可以列出组合系数满足的线性方程组因为它的系数行列式把它整理后可得k((1)n个n维列向量α1,α2,…αn，线性无关矩阵A=(α1,α2,…αn)的行列式以任意取值的自由变量，因此，它必有非零解。所以下面的两个向量组都是线性相关组：所以下面的两个向量组都为线性无关组：行列式不为零，则它的行向量组和列向量组都线性无关。3.2.3线性相关性的若干基本定理(m≥2)线性无关任意一个都不能表示为其余向量的线性组合。(m≥2)线性相关至少存在某个是其余向量的线性组合，即，证：证：设线性相关，则存在不全为零的数，使使如果存在如果存在某个是其余向量的线性组合，则存在不全为零的数，((m≥2)一定线性相关。使线性无关，而添加一个同维向量后所得到的向量组线性无关，而添加一个同维向量后所得到的向量组，线性相关，则可以用线性表出，且表示法是惟一的。证证可表性因为，为线性相关组，所以存在不全为零的m+1个数k，使使得不全不全为零，且为关组的假设矛盾。即可由向量组线性表出。惟一性：如果有两个线性表出式因为因为线性无关，必有易知方易知方程①仅当成立，从而仅当定理定理3.2.3设为线性相关组，则任意扩充后的同维向量组，证明证明因为为线性相关组，所以存在不全为零的数使得此时，当然有这说明我们常把定是3.2.3简述为“相关组的扩充向量组必为相关组”，或者“部分相关，整体必相关”。它的等价说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整体无关，部分必无关”。如果为线性相关组，则必为线性相关组证明证明因为为线性相关组，所以一定存在不全为零的数使得写出所有的分量就是+++…………当然减少最后一个方程的线性方程组一定有一定有非0解，从而线性相关我们把向量组我们把向量组称为向量组的“接长”向量组；而把向量组称为向量组称为向量组的“截短”向量组。长向量组必为无关组”。注意(1)扩充是指向量维数(即向量中分量个数)不变，仅是向量个数增减，接长或截短是指向量个数不变，仅是向量维数增减。(2)接长或截短必须在相应分量上进行。但未必限于首、尾分量，可以在任意相应分量上进行接长或截短，而且增减分量个数也可多于一个。定义定义一：若向量组，R中每一个向量都可以由向量组线性表示，反过来，向量组S中每一个向量都可由向量组定义二若向量组T存在一个部分组满足条件(1)线性无关(2)向量组T中任何一个向量都可由线性表示。就说向量组是向量组T的一个最(极)大线性无关组。也也是它的最大无关组，原因是线性无关，任何一个二维向量，可见一个向量组的最大无关组可有多种，可见一个向量组的最大无关组可有多种。TT中任何一个向量?均可以由T的一个最大无关组，很明显是向量组若也所以任何一个向量组均与其最大无关组等价，有下面定理(2)向量组T的任何两个最大无关组等价。下面我们不加证明地介绍定理满足定理：若向量组满足((1)向量组R与向量组S都是线性无关组。(2)向量组R与向量组S等价本定理证明两个等价的线性无关向量组含有向量个数相等。量组T的任意两个最大无关组包含的向量个数相等。，∴r(T)=2若若定义：矩阵定义：矩阵A的分块行向量组的秩叫矩阵A的行秩由于矩阵A经过行初等变换后生成的行向量组与原行向量组等价，故秩不变。下面不定定理：矩阵A经过初等变换不改变它的行秩和列秩的大小。定理：矩阵的行秩，列秩及矩阵的秩相等，而矩阵A的行秩=矩阵A的列秩=矩阵A的我们不加区别地一律叫矩阵A的秩，记作r(A)推论若(1)r(A)=n时，向量组(2)r(A)<n时，向量组证明(证明(1)与r(A)=n时，A的列向量组的最大无关组就是本身线性无线性无关((2)当r(A)<n时，的最大无关组的向量个数r<n。线性相线性相关33.3.4求向量组的秩的方法若r=n，则线性无关若r<n，则线性相关判别是否线性无关，并将表示为的线性组合。解法一：分两步(一)第一步判别向量组是否线性无关线性无关(二)第二(二)第二步表示为将设设即即∴相应的线性方程组的增广矩阵为∴∴从上面的解题过程中可以看出从上面的解题过程中可以看出因此可以将两步合并进行解解法二取线性无线性无关且例2求出下面列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合解(一)以所有向量为列向量形成4×4矩阵，然后用初等行变换把矩阵化成简化行阶它的伸长向量组它的伸长向量组也线性无关。它们对应的向量组也线性无关。((二)设得得∴∴从上面求解过程中可以看出，在求向量组的一个最大无关组并将其余向量表示为这个最大无关组的线性组合时，可以合并为一步完成。当是列向量组时A)第二步用行初等变换将A变形化为简化的阶梯形时E最大无关组，且若是行向量组时第一步引入第二步用行初等变换将A化为简化阶梯形则对应于E3的向量组是最大无关组，且而是一个最大无关组，且例3求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：解把所有的行向量都转置成列向量形成4×5矩阵以后，再用初等行变换把它化成简化即可求出向量组的秩和它的极大无关组，并且可将其余向量用极大无关组线性表出。rr是A的列向量组的一个极大无关组，是与部分组有相同的线性相关性，与于是于是可得最最后，关于矩阵的秩有下面定理(不证)这说明两矩阵之积的秩小于等于每个矩阵的秩。定义3.4.1n维实行向量全体(或实列向量的全体)构成的集合称为实n维向量空间，记作由n维实行向量全体组成的向量空间与由n维实列向量全体组成的向量空间在结构上是(1)若，则；(2)若。定义3.4.2中的条件(1)称为V对向量的加法运算封闭，条件(2)称为V对数乘运算封闭。上上述两个条件可以合并成以下条件：对任意向量和任意常数k，l∈R，都有。Rn的子集是最简单的子空间。因为零向量加零向量仍是零向量，零向量乘任意数后仍是零向量。称为零子空间。由子空间的非空性和对加法的封闭性及对数乘的封闭性易见，在任意一个子空间V中一定包含零向量。事实上，由V不是空集知道，可以任取∈V，则-=(-1)∈A，于是由封闭性知++(-1)=0∈V。bSR证：对任一=RabTR的第一个分量不是则3.4.2生成子空间定义：若向量组则由的线性组合的全体向量所组成的集合叫由生成的子空间，记作V=L()作3.4.3基与维数以及坐标(1)线性无关；((2)V中的任意一个向量都可由向量组线性表出，即存在常数则称向量组为V的一个基，其中每个都称为基向量。基中所含向由基的定义可知，向量空间V的一个基，实际上就是向量集合V中的一个极大线性无关组，V的维数就是极大无关组中所含向量的个数，也即V的秩。因此向量空间的维数是不变的，它不会随基的改变而改变。每一个∈V一定可以惟一地表示成的线性组合，于是必有这就是说，任意一个向量空间都是由它的任意一个基(即极大无关组)生成的。注意(1)V中每个向量的维数n是指向量中的分量个数，向量空间V的维数r是指V的基中的基向量的个数。这是两个不同的概念。rV线性无关组，它们都含有r个向量，且必有r≤n.(2)若dimV=r，则Vr合，是V的基为V中最大线性无关组。三个线性无关向量都是基，它们都可以作为坐标系中三个基向量。定义：当成立时，由r个表出系数组成的r维向量()称为向量在此基S下的坐标。性方程组。用这个基线性表在基用这个基线性表在基下的坐标，并将将它们代入第三式即可解出任取任取下的坐标就是。这说明下的坐标就是。这说明解令容易解得基下的坐标为(a-a，a-a，基a)，且有12233在此三阶行列式与它等价的线性方程组为所所求的生成的子空间的一个基和维数。解解秩就是生成空间的维数。生成的子空间的一个基，生成子空间的维数为3。考核内容一、基本概念2.向量的线性组合，向量组之间的线性表出关系及其矩阵表示，等价向量组。线性相关性与线性无关性。4.向量组的极大无关组和向量组的秩。5.向量空间的基与维数，一个向量在取定的基下的坐标。二、基本结论与公式1.1.n维列向量?能表示成同维列向量组的线性组合当且仅当非齐次线性方22.向量组(m≥2)线性相关当且仅当至少存在某个向量可以表示成其余向n组Ax=0只有零解。这里，A=()为n×m矩阵。4.单个向量线性相关当且仅当=0两个向量两个向量线性相关当且仅当它们的对应分量成比例。向量个数大于向量维数的向量组必为线性相关组。5.n个n维列向量组线性相关当且仅当A=()的行列式为零，即6.线性相关向量组的扩充向量组必为线性相关组。线性无关向量组的部分组必为线性无关组。线性无关向量组的接长向量组必为线性无关组。三、重点练习内容1.当一个向量表示成同维向量组的线性组合时，求组合系数。2.判定向量组的线性相关性和线性无关性。矩阵的秩来求向量组的秩。4.向量空间的判定，求向量空间的基以及向量在此基下的坐标。本章作业第四章线性方程组4.1齐次线性方程组4.1.1齐次线性方程组的解((4.1)方程(4.1)的矩阵形式为(4.1.1)是方程组(4.1.1)xAx后我们也常用向量形式表示方程组Ax=0的解.非零解，即其中至少有一个分量不是零。容易证明齐次线性方程组Ax=0的解有下面性质：性质1若是齐次线性方程组Ax性质1若所以必有都是Ax=0证与若Ax=0的解，则有也是Ax=0的线性组合。零解？第二章的定理2.7.1已回答了这个问题：齐次线性方程组有非零解当且仅当它的系数矩表示出来？在本节中，我们将回答后两个问题。例例1讨论齐次线性方程组的解。解用矩阵的初等行变换化简齐次线性方程组的系数矩阵：得到同解方程组，那么，它的一般解可以写成，那么，它的一般解可以写成可以用它线性表出；系数矩阵rA殊解的个数。下面我们将对具有如此功能的那些解向量引进如下定义。(1xAx。当Ax=0有非零解时V空间{0}，也就是说，V一定是有无穷多个向量的向量组，因而V中一定有无穷多个基(也就是向量集合V的极大无关组)。因此只要Ax=0有非零解，那么，它一定有无穷多个基础解系。的解向量个数s(也就是Ax=0的解空间的维数)如何确定呢？我们不加证明地给出以下定(1)当r(A)=n时，(它表示有效的保留方程有n个)rArnr且小于未知数个数n)方程组Ax=0有非零解，且基础解系的解向量有(n-r)个注意：基础解系必须满足三个条件①基础解系中每一个向量都是Ax=0的解②基础解系的向量个数必须为(n-r)③基础解系的向量组线性无关所以当r(A)<n时，方程组xAx最后，根据题设条件可以写出矩阵等式=2≠0=2≠0洁和直观。：根据已知条件可以写出矩阵等式：P是可逆矩阵，所以r(B)=r(A)=3，这说明β1，β2，β3必线性无关，另外，显然有4.1.2齐次线性方程组的通解的求法知量是可以任意取值的，所以对应于自由解：可以先调整方程的次序使得系数矩阵的左上角的元素为1，然后再用初等行变化成根据这个简化行阶梯形矩阵T，就可以写出原方程组的同解方程组。于是可以得到一个基础解系注：未知量不同的取值，所求出的是不同的未知量不同的取值，所求出的是不同的基础解系，对应于同一个齐次线性方程组的基础解系个，通常采用最简单的方法；把某个自由未知量的值取成1，其余是由线性无关的解向量组成的。为了不改变未知量的下标，在把系数矩阵化成阶梯形矩阵的过程中，不宜而且也不必作矩阵的初等列变换，只用初等行变换完全可以把原系数矩阵化成简化行阶梯形矩阵。例6证明同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相同的秩。AxBx0是两个同解的齐次线性方程组，则它们必有相同的基础解系，其中所含的解向量个数相同，即得nrAnrBrA=r(B)。和Ajjsj齐次方程组Ax=0的解。rArnAxnr，方程4.2非齐次线性方程组4.2.1非齐次线性方程组有解条件(4.2) (A，b)称为Ax=b的增广矩阵，它是m×(n+1)矩阵，有时，就直接用(A，b)代表非后，再讨论它何时有惟一解，何时有无穷多个解，如何表达一般解。实际上，它就是据此就可以得到非齐次线性方程组有解的判别定理：xbkkknbrA因为(A,b)是在A的右边添加一个列向量b构成的，所以，只有以下两种可能性。4.2.2非齐次线性方程组的解的结构b解了，所以，对于非齐次线性方程组Ax=b来说，根本不存在解空间和基础解系等概念。AxbAxbAx=0之间架设一座桥梁，它们设齐次线性方程组(4，1)是非齐次线性方程组(4，2)的导出组，则它们的解之间具A(ξ+η)=Aξ+Aη=0+b=b的任意一个解与其导出组的任意一个解的和仍是非齐次线性方程组的解。在在非齐次线性方程组中Amxnx=b中(一)若r(Ab)=r(A)=n，则方程组有解且惟一； (二)若r(Ab)=r(A)=r<n，则方程组有解且无限多，并且(三)若r(Ab)≠r(A)，则方程组无解。若，则方程组有惟一解且x=A-1b4.2.3非齐次线性方程组的求解方法求已给的非齐次方程组Ax=b的通解的方法是，用初等行变换把它的增广矩阵(A,b)化成简化行阶梯形矩阵(T，d)，在2.7节已证明了Ax=b与Tx=d是同解的非齐次线性方程这个(T,d)就是(A,b)的简化行阶梯形矩阵，据此得到原方程组的同解方程组原方程组的导出组的同解方程组为分别令可求得基础解系分别令求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组的特解的方法是任意的，最方便的方法是把自由未知量的值都取为零。有解？当它有解时，求出它的通解。(1)当a≠1时，第三个方程是矛盾方程(等式左边是0而右边不是0)，所以方程组无(2)当a=1时，去掉后两个零方程，可把最后一个同解方程组继续化简。得到同解方程组原方程组的导出组的同解方程组为分分别令可求得基础解系于是可求出通解k1,k2为任意实数例3证明：线性方程组有有解且仅当证：把增广矩阵的前四行都加到第五行上去，即得于是于是，此线性方程组有解η=η1+kξ,k为任意实数。(2)是Ax=b的解。无解？有惟一解？有无穷多个解？并求出它的通解。解：因为方程个数与未知量个数相同，所以可以考察系数矩阵A是不是可逆矩阵，计算(1)当λ=-2时，只用初等行变换把增广矩阵简化行阶梯形矩阵：因为第三个方程是矛盾方程，所以线性方程组无解。(2)当λ=1时，线性方程组是x1+x2+x3=1，它有两个自由未知量，可取特解(3)当λ≠1且λ≠-2时，A是可逆矩阵，线性方程组Ax=b必有惟一解，为了求出惟一解，可以用初等行变换把增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，注意到λ-1≠0，λ+2≠0，有于于是求出惟一解为本章小结一、基本概念1.齐次线性方程组与非齐次线性方程组以及它们的解。2.齐次线性方程组的解空间和基础解系以及通解。二、基本结论与公式②r(A)=r<n，则Am×nx=0有非零解，且基础解系中有(n-r)个解向量ξ1，ξ2…ξn-r而且解向量空间中任何(n-r)个线性无关解都可以作为基础解系，它的通解为：②时，Am×n=0有非0解(无穷多个)(3)在非零齐次线性方程组Am×n=b中，(4)在非零齐次方程组，Am×nx=b中，xb(i)当r(A)=r(A，b)=n(未知数个数)时，说明保留方程与未知数个数相同，所(ii)当r(A)=r(A,b)=r<n(未知数个数)时，说明保留方程的个数r小于未知数个①②①②三、重点练习内容此，列出同解方程组，选定n-r(A)个自由变量，求出基础解系和通解。2.判定非齐次线性方程组Ax=b是否有解。3.求非齐次线性方程组Ax=b的通解，只用初等行变换把增广矩阵(A，b)化成最简化行阶梯形矩阵，据此，列出同解方程组，求出某个特解η，在其导出组中选定n-r(A)个自k1,k2,…kn-r为任意实数,r=r(A)本章作业.第五章特征值与特征向量5.1特征值与特征向量5.1.1特征值与特征向量的定义于具有这种特性的n维非零列向量p和对应的数λ特别感兴趣，因为它们在实际问题中有下面给出方阵的特征值和特征向量的定义足否是①①②为了给出具体求特征值和特征向量的方法，我们把Ap=λp(Ap=λEnp)改写成(λEn-A)00=0。再把λ看成待定参数，那么p就是齐次线性方程组(λEn-A)x=0的任意一个非零解。A根据行列的定义可知有根据行列的定义可知有A的特征多项式为(5.1)(1)A的特征方程|λE－A|=0，即它的n个根λ1,λ2,…λn就是A的特征值(根)(2)对应于每一个特征值λi的齐次方程组(λiE－A)x=0,即的非0解向量就是方阵A关于特征值λi的特征向量。证由所设条件用定义Apkpkpp在求特征向量时，由于齐次方程组的非零解有无限多个，按习惯我们只取齐次方程组(λEn－A)x=0的基础解系为特征向量。A解(1)先求特征值AA的特征方阵为，A的特征方程为(2)求特征向量用来求特征向量的齐次线性方程组为(λEn－A)x=0即属于λ1＝0的特征向量满足线性方程组(1)当|2En－A|=0时，根据特征值的定义知道，2就是A的特征值。(2)当|En+A|=0时，因为|－En－A|=(－1)n|En+A|=0，所以，－1是A的特征值。再根据r(A＋En)＋r(A－En)＝n知道，必有r((A＋En)＜n5.1.2关于特征值和特征向量的若干结论则则命题2一个向量p不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向证：由矩阵转置的定义得到矩阵等式这说明A和AT必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值.p这说明A和AT的属于同一个特征值的特征向量可以是不相同的.AmAmAmA向量。AAAAA)=λ2α……mmAm(2)∵Aα=λα如果Ap=λp，则必有f(A)p=f(λ)p,这说明f(λ)必是f(A)的特征值，特别，当f(A)=0时，必有f(λ)=0，即当f(A)=0时A的特征值必然是对应的m次多项式f(x)的根。fAamAmam-1Am-1+…+a1A+a0E)α=f(λ)α∴f(A)的特征值为f(λ)，特征向量仍为α当f(A)=0时，f(A)α=f(λ)α=0∵α≠0∴f(λ)=0(2)B=f(A)=A2-2A+3E2的特征值为f(λ)=λ2-2λ+3∵f(λ1)=f(1)=2f(λ2)=f(3)=6nA特征值(m是个正整数)：(1)Am=0(2)A2=En(1)由λmp=Amp=O×p=0和p≠0知道λ=05.1.3关于求特征值和特征向量的一般方法下面我们通过实例介绍求方阵的特征值和特征向量的一般方法。例例9求出的特征值和线性无关的特征向量。(2)再求特征向量，用来求特征向量的齐次线性方程组为①属于λ1=λ2=2的特征向量满足：令令令令∴∴A属于λ1=λ2=2的特征向量为，满足方程系系数矩阵定理定理5.1.4设是n阶方阵的全体特征值，则必有tr(A)为tr(A)为中的n个对角元之和，称为(2)解：用定义解：用定义有特征值0。则∴(A-aE)p=Ap-aEp=λp-ap=(λ-a)p∴(A-aE)的特征值为(λ-a)，特征向量p与A的特征向量相同。(1)(2)(3)(4)解解：由特征方程知，特征值是它的根∴∴(1)λ=1时，有((2)λ=2时，有(3)λ=-2时，有(4)∵A2+3A-4E=(A-E)(A+4E)∴∴求求(1)，(2)(3)解：特解：特征方程的根是特征值。知得((1)∴∴(3)∵f(A)=A2+A+E的特征值为f(λ)，f(λ)=λ2+λ+1是Ap=λp5.2方阵的相似变换和B是相似的，记为A~B。(1)反身性A~A，这说明任意一个方阵都与自己相似。事实上，有矩阵等式(2)对称性若A~B则B~A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。事实上，有定理5.2.1相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列到注注意，此定理的逆定理并不成，具有相同特征多项式的两个方阵未必相似的特征多项式同为(λ-1)2，但它们不相似，或这是由于三解矩阵的特征值就是它的对解元全体，对解矩阵是特殊的三解矩阵。例3，若A~B证明A2~B2的特征值和线性无关的特征向量。123足，方程组：1由由取属于特征值属于特征值23分别取(x2,x3)为(1，0)，(0，1)可取两个线性无关的解这三个列向量就是需要求出的线性无关的特征向量三个根：λ=2，λ=λ=1，经检验确有：123征向量满足13取属于特征值λ=λ=1的特征向量满足即可取解23无关的特征向量，而在例5中，对应于二重特征值λ=λ=1，2323却找不到两个线性无关的特征向量。则说对角形矩阵∧是方阵的相似标准形。证：设A有三个线性无关的特征向量P，P，P其中123123123由由若三阶方阵没有三个线性无关的特征向量，则A不能与对角阵∧相似。定理5.2.3设p和p分别是n阶方阵A的两个不同的特征值12p和p必线性无关。1212证，已知-------1-----2但另一方面又有------------3将上述②式减③式，即得(λ-λ)lp=0，但是λ≠λ，p≠0，于是必有l=0，再12111211将它代入①式，并由p≠0，又得到了l=0，这就证明了p与p线性无关。2212A特征的特征向量组必为线性无关组。((1)任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；(2)对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；(3)若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相例例6，问是否相似于对角矩阵？若是，则求出其相似标准形。121232133123于是找到可逆矩于是找到可逆矩阵(1)求P，使P-1AP=∧；(2)求A3解解：(1)先求A的特征值，将特征方程再求特征向量，可解齐次线性方程组(λE-A)x=0求基础解。1122由由2令即(2)则12解：取解齐次线性方程组的基础解pi就是特征向量(i=1,2,3)有5.3向量内积和正交矩阵为了引进正交矩阵这一类重要的方阵。我们先介绍两个向量内积的概念。5.3.1向量内积两个同维向量的内积是对应的分量的乘积之和，它是一个实数。即两个列向量的内积是个数，内积的大小等于各对应分量乘积的和例1，求向量α=(-1，-3，-2，7)与β=(4，-2，1，0)的内积解：(αβ)=(-1)×4+(-3)×(-2)+(-2)×1+7×0=0例2，若α=(a,a,…,a)，求12n解定义5.3.3设定义5.3.4如果一个同维向量组中不含零向量，且其中任意两个向量都是正交的(简称为两两正交)，则称这个向量组为正交向量组。例例3,对于α=(1，2，3),有于k化(1)(1)都是无意义的表示式，因为，维难数大于((2)因为一维向量α=(a)就是一个数a，所以，它的长度就是数a的绝对值。例例如，α=(6)就是实数轴上的点x=6，对应向量的长度当然是6，因此，对有：例5：求向量α=(1，2，3)与β=(4，5，6)的内积解：(αβ)=1×4+2×5+3×6=32R，显然是标准正交向量组，不难直例7，求非零向量r，使得r与α=(1，1，1)与β=(1，-2，1)都正交。解：设r=(x,x,x)，则由向量正交定义知道必有123231。证证，设是一个正交向量组，如果有向量等式则由向量之间的两两正交性知道，对于任意一个1≤i≤m，必有iiii线性无关向量组未必是正交向量组，因为线性无关向量组未必是正交向量组，向量组，构造出与它等价的正交向量组，为此，我们介绍施密特(Schmidt)正交化方法：步骤得到正交向量组施密特正交化方法的计算步骤如下，利用向量内积可依次求出所需的向量：(1)若向量组α1，α2线性无关，则取1必有向量组β，β正交，且是标准正交组。12(2)若向量组α，α，α线性无关，则取123时时必有向量组正交，且是标准正交组。再把它们单位化可以求得5.3.2正交矩阵的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵。(1)；但反之则不然但反之则不然,行列式为±1的方阵未必是正交矩阵,(2)；事实上,由立得，这就是说,正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵。(3)正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵。事实上，有正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵。证，当这个结论可推广到有这个结论可推广到有限个正交矩阵相乘的情形，即有限个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵。A到这就证明了A是正交矩阵当且仅这就证明了A是正交矩阵当且仅证证(1)因为，所以，A的任意一个特征值.5.4实对称矩阵的相似标准形定理定理5.4.1实对称矩阵的特征值一定是实数，其特征向量一定是实向量。证设证设所以.若存在正交矩阵若存在正交矩阵P，使得，则称矩阵A正交相似于矩阵B。(对称矩阵基本定理)对于任意一个(对称矩阵基本定理)对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。中的n个对角元(证明略)出解解(一)先求特征方程的根它的三个根为((二)解齐次线性方程组求特征向量。(1)属于的特征向量满足：取(2)属于的特征向量应满足方程由取(3)属于的特征向量应满足方程由任意，取((三)是不同特征值的特征