人教A版高中数学必修四 2.5.1平面几何中的向量方法 学案

平法-----学案一、学目标经历用量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过;体会向是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．二、自学习．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似题，常用向量平(线的等价条件：∥b(≠0)______________________________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的价条件：非零向量ab，⊥b____________(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos_________________________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模公式＝_______三、合探究探究：利向量证明平行问题例

如图所示，若为行四边形，∥AB，与相于，DE与相于点M求证：∥AD例2

回顾归纳(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件．(2)向量法证明直线平行，恰是向平行问题的一种存在形它们的基线无公共点．与前面例比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点．探究：利用向量证明垂直问题BE如图所示，在平行四边形中，BC2BA，∠＝，作⊥BD交BC于，的值．EC

→→→→→→→→回顾归纳

利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过量的计算获得几何命题的证明．探究：直方向向量的应用例

在△中，A，(7,5)，(－4,7)求A的平分线的方程．回顾归纳直Ax＋By＋C＝的向向量＝(，－A，法向量n＝(A．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．四、学致用变式训练△M分为、AC中点．求证∥BC.变式训练已是正方形对线BD上点为形求证＝且⊥.变式训练3在角坐标系中，已知点A(0,1)点B－3,4)，若点在的分线上且|＝2OC＝________.五、自小测．在△ABC中已知(4,1)(7,5)、(－4,7)则BC边中线的()7A2B.C．D.52．点O是角形ABC所平面内的一点，满OA＝OCOCOA则点O是△ABC的)A三个内角的角平分线的交点C．条中线的交点

B三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→5→→→→→→→→→1121→→→→→→→→→→→．已知直线l：＋4－＝，l：7x＋y－28＝，则直线l与l的角()121AB．D．150°．若O是ABC所平面内一点，且满|OBOC＝＋－2OA，eq\o\ac(△,则)的状)A等腰三角形C．腰直角三角形

B直角三角形D．边角形．已知点(，1)B(0,0)，C(，，设BAC的分AE与BC相交于E，那么C＝，其中λ等于()1A2B.C－D．－3→→→→→→ABAC→AC1．已知非零向量与A满足＋＝0且＝，ABC的状是→→→→|AB||()A三边均不相等的三角形C．(非等边)角形

B．角三角形D．边角．如图，在ABC，点OBC的点，过点的线分别交直线、于不同的两点M、N＝mAM，＝，＋的为_．．已知平面上三点A、B、C满AB＝3，|BC＝4，＝则＋BC＋CA＝参考答．B[BC中为，，AD－，5，AD＝5.]．[OA＝OB，(OAOC＝∴OBCA∴OB⊥AC同理⊥，OC⊥，∴O为心]．B[设l、l的向向量为v，v，则v＝(4，，＝(1－7)，121v252∴〈v，〉＝＝＝∴l与l的夹角为45°.]|·|v22．B[∵OB－＝＝AB－AC，OB＋－OA＝AB＋AC，∴AB－AC＝AB＋AC，四边形是形，且BAC90°.△是直角角形]．C

→→→m→→→→→→→→→→→→m→→→→→→→→→→→→→→→[如图所示，由题知∠＝30°，∠＝，＝

|→→，∴＝3，∴＝－|→→AB．[＋|

＝，得角的分线垂直于BC∴＝→→ABAC→→→而＝cosAB，〉＝，又AB，AC∈[0°，，∴∠BAC＝60°.故正三角形。→→|．→1→→→n→→→n→解析∵O是BC中点，∴＝(AB＋＝AM＋AN∴MO＝－AM又22