一类易逝品非线性成本库存模型

一类易逝嗣圈性成本库存模型孙静春;李双杰;方烨【摘要】本文采用指数函数模型来描述易逝品的成本随时间变化的特征，首先求出模型在基本假设条件下的最优订货量和订货成本，然后推导出了在订货商允许缺货、市场需求可变和订货周期可变三个扩展情景下的成本函数；最后通过计算机仿真实验，从经济性和时间效率两方面评价了本文的指数模型相对于经典EOQ模型的优势.％Thispaperadoptsanexponentialfunctionmodeltodescribethecostholdingtimerelationshipofperishablegoods.Firstlywecalculateoptimizedorderquantityunderthebasicassumptions,thenwesetupthreeadditionalscenariosforthismodelandgiveoptimizedcostfunctionsunderthesevariedassumptions.Finallythroughacomputersimulationexperiment,weevaluatetheexponentialmodelthecomparingtotheclassicEOQmodelinbotheconomicalefficiencyperspectiveandtimeefficiencyperspective.【期刊名称】《运筹与管理》【年(卷)，期】2012(021)001【总页数】9页(P96-104)【关键词】生产管理;库存模型;成本函数;易逝品【作者】孙'静春;李双杰;方烨【作者单位】西安交通大学管理学院，陕西西安710049;西安交通大学管理学院，陕西西安710049;西安交通大学管理学院，陕西西安710049【正文语种】中文【中图分类】F253.40引言易逝品是指在存储过程中容易发生腐烂、性能衰退和分解的变质类物品，如水果、蔬菜、海鲜、鲜肉等。易逝品在现实生活中大量存在，由于此类物品存在这时间效用很强的特点，所以对这些物品库存管理稍有不善就会产生较大的经济损失，并会对商品尤其是食品）的安全程度产生威胁。在市场经济激烈的竞争条件下，如何制定经济有效的订货及库存策略是各级生产商和零售商必需解决的问题，虽然大多数的生产者销售商已经根据相关理论对生产和订货情况实现了自动最优化管理，但是面对易逝类产品的生产和销售时，已有的研究成果依然凸显了一般性优化方法的不足，所以需要一种针对性的库存订货策略。关于此类问题，Weiss［1］进行了相关研究，其核心是用非线性的代数式表达产品退化对其生产的影响;MarkFerguson［2］系统地提出了Weiss模型在理想情况下的最优解以及参数估计方法，并通过算例证明了相对于传统的EOQ模型，Weiss模型得到的结果是较优的。但是MarkFerguson模型的假设条件太特殊，在实际生活中市场需求不是一成不变的，订货周期也是允许变化的，订货商也通常会允许缺货，而MarkFerguson模型并没有给出这些条件下的最优订货量。关于是否允许库存缺货，订货期随市场变化等相关库存问题的拓展，也有学者进行了相关研究。Goswami［3］等人分析了在线，性需求，订货商允许存在库存缺货的情况下，EOQ模型对易逝品问题的变形;Jinn-TsairTeng［4］等学者提出了在时变需求下，允许缺货的订货者的最优补货策略但斌等［5］提出了一个价格折扣的相关模型，又着眼于这一类价格折扣的库存问题，进行了相关的定量分析赵涛［6］等在基本报童模型的基础上扩展了易逝品应用的情况。以上的研究是对EOQ模型、报童模型和价格折扣模型的扩展，但是在非线性库存模型—MarkFerguson模型中，在订货商允许缺货、市场需求可变和订货周期可变三个扩展情景下模型是否存在最优解呢?如果存在，这些情况与基本情况相比带来什么影响?本文将对这两个问题展开研究，并将结合具体算例给以说明本文的易逝品模型对实际易逝品库存的指导价值。1非线性函数的库存模型由于易逝类产品的时效性要求很高，其成本与库存水平息息相关。本章中我们引入了一个易逝品非线性持有成本模型，通过数理分析，研究在多种不同市场情况下订货批量选择过程，目的是得到最优化的订货量和订货周期，使得总成本达到最优。1.1模型的符号和假设我们采用MarkFerguson等人提出的H(t)=指数模型作为本文研究的基础。为了对模型进行简明扼要的介绍，我们首先给出模型中将会出现的各参数以及它们的代号：表1模型中用到的符号及含义符号含义符号含义h易逝品成本参数1d较低的市场需求量r易逝品成本参数2D较高的市场需求量易逝品价值p高市场需求的出现概率Ts易逝品保质期a易逝品单位缺货成本K订货启动成本PV易逝品单位处理成本下面是此易逝品库存模型的假设。假设1物品的腐败速率随时间而变化不断增长，且符合H(t)=~htY形式；假设2对于销售商来说，该类易逝产品的需求率是一个常数，用d表示；假设2A由于不可控的因素影响，市场的需求量存在两种情况:高需求量D和低需求量d，两种情况出现的概率分别为p和(1-p)。市场需求的变化较慢，在任意一个订货周期内可以视为不变。销售商需要在合同中确定每一期的订货量Q和订货周期T（且每一期都相同），但销售商在决策时无法预见某一时点的市场需求情况。销售商面对高需求可能缺货，面对低需求产品可能造成产品过期。在每一订货周期末未能售出的产品只能折价售出，折价比例为禺假设2日在不可控制的因素的影响之下，市场的需求量可能存在两种情况:高需求量D和低需求量d，两种需求量出现的概率分别为p和（1-p）。市场需求变化的过程缓慢，在任意一个订货周期内可以看做是不变的。销售商需要在合同中提前确定每—期的订货量Q，但订货周期T可以根据市场需求的情况而随时改变，且销售商无法在制定订货计划时预见某一时点的市场需求情况。面对市场的高需求，销售商可以适当缩短订货期从而避免出现缺货的问题，但是面对低需求时，过长的销售周期可能超过易逝品的保质期，最终只剩少量残值，甚至是产品价值的完全损失。假设3销售商的每次订货都是瞬时完成的，即订货提前期为零，且每次的订货要求可以被完全满足。每次的订货成本固定，记为K;假设4不允许缺货；假设4A在一般的市场条件下，为了达到较优的经济效益，销售商可以在订货成本和缺货成本之间权衡，选择部分的缺货策略;每销售周期的缺货量记为q,总缺货成本记为B;假设5由于其他条件不变，销售商在每一周期内的策略都是不变的。通过选择合适的订货批量，销售商的目标在于最小化单位时间内的平均成本（包括持有成本和订货成本）。1.2模型的理论推导在满足模型基本假设1、假设2、假设3、假设4和假设5条件下，求解最优成本函数。图1给出了这个模型中销售商的平均成本曲线。如图所示，销售商所面对的相关成本由三部分构成:订货启动成本、易逝品持有（变质）成本，以及货物本身的成本。F（Q）是这三部分成本的求和。如上图所示，在D的需求率下，假设销售商每次的订货批量为Q,则我们可以得到订货周期为：存货量随时间变化的表达式为：为了进一步计算，对持有成本的表达式变形得到则在一个订货周期内，销售商的平均持有成本为图1易逝品的平均成本曲线平均持有成本与平均订货成本求和类似于经典EOQ模型，货物本身的价格对最优订货量的选择不产生影响，所以在最优化求解的过程中可以暂不考虑货物成本。容易证明，(5)式是相对于订货量Q的凸函数，所以对(5)式求一阶条件，得到最优订货量Q*为：为后文说明便利，上式中用d取代D代表需求量。从持有成本的表达式H(t)=~htY中可以看出，当代表商品易逝程度的参数Y=1时，持有成本随时间线性变化，产品的易逝性质完全丧失，易逝品变成了一般性产品;此时(6)式也转化为了经典EOQ(经济订货量)模型的形式。而对于一般的易逝品来说，参数y的取值总大于1,所以易逝品的最优订货批量Q*的取值总是小于经济订货模型中的最优批量。从实际出发分析，是易逝品相对于时间的高持有成本造成了其相对较低的订货量。在下面的几小节中，我们将尝试从几个方面放宽模型的假设约束条件，希望在得到较为一般（也更符合实际）的情况下易逝品经济订货量和订货经济效率。1.3允许缺货的情况原始模型的假设4中提到模型不允许缺货的发生，而在现实中面对某些情况时销售商会选择缺货策略;为了对这种状态进行分析，我们将基本假设4改为假设4A，考虑在满足假设1、假设2、假设3、假设4A和假设5条件下的最优成本函数。对于允许缺货的情况，我们研究的方法是将每个订货周期分为存货阶段（每一期从订货到存货消耗尽之间的时段）和缺货阶段（每一期存货消耗尽到下一期订货之间的时段）两部分，首先分别计算两阶段各自的成本，而后统一优化考虑得到最优的订货量和缺货量。根据这一方法，我们可以从图2中观察最优订货量的变化情况。其中，图中的实线代表库存数量曲线，而点线代表成本曲线（下图同此）。首先在存货阶段内，将每一期的订货量记为Q，固定需求率记为d。用类似于1.2节中原始模型的推导，容易得到易逝品在这一阶段内的总持有成本为：基于报童模型的假设，我们认为商品的缺货成本正比于缺货量，每单位的缺货成本记为a。则在订货周期的缺货部分中，相关的成本为：图2允许缺货情况下的库存-成本曲线每个周期内的订货成本仍为K;存在缺货的情况下，订货/销售周期变长这样在一个订货周期内，销售商的相对于时间的平均成本可以表示为：1.4需求可变的情况1.2节中提到的原始模型假设市场对产品的需求率恒定为d。但是在市场经济体制下，买卖双方的供需平衡总是处于不断的变化中，所以此假设也损害了原始模型的实用性。为了克服这一不足，我们需要对1.2节的基本假设2进行修正。以需求量为二值分布的情况为例，假设2变为假设2A，本小节考虑在满足假设1、假设2A、假设3、假设4和假设5条件下的最优成本函数。面对缺货和过期两种风险，销售商的合理选择是，订货量在高需求和低需求之间做出权衡，在高需求D发生时承担少量缺货带来的成本，而在低需求d发生时承担少量折价带来的成本。这也是我们分析的思路:分别得到两种情况下销售者的成本，再结合两种情况出现的概率得到销售者的期望成本，并选择合适的订货量和订货周期，使这一成本达到最小化。图3不同需求量下的库存-成本曲线—方面，市场有可能出现高需求D，如图3(a)所示。在此情况下存货的持续时间为在1.3节中我们已经得到，这一阶段内的总持有成本是而缺货成本是，将(3~12)代入上式得到：每个周期内的订货成本不变，仍然为K;在高需求出现情况下每周期内销售商相对于时间的平均成本C1是另一方面，如图3(b)所示在市场市场有也可能出现低需求d，在订货周期内某一时点t的库存水平是，i（t）=Q-dt,从而得到相应的持有成本表达式期末未售出易逝品的总量是，所以，相应的总折价成本为每个周期内的订货成本不变，仍然为K;在低需求出现情况下的平均成本C2是综合高需求与低需求两种可能出现的情况，对于确定的订货周期T和订货量Q而言，期望的总平均成本为1.5订货周期可变的情况我们分析了在固定订货批量和订货提前期下需求率变化对于易逝品经济订货量的影响，本节将进一步探讨这类问题:如果销售商不必提前确定周期订货，而是根据市场需求情况灵活调整订货周期，会对模型和最优结果产生怎样的影响。为此，我们将假设2进行修正为假设2B。在本节将考虑在满足假设1、假设2B、假设3、假设4和假设5条件下的最优成本函数。假设2B放松了销售者对于订货周期的要求。在不考虑保质期末仍未售出的商品存在残值的情况下，图4的两阶段显示了当低需求和高需求发生时，拥有订货周期自主权的销售商订货的库存情况。对于易逝品来说，如果其单位产品的价值为V，在以H（t）=^持有成本的形式下，该产品的保质期（即产品存在价值的最后期限）Ts可以从式V=中得到图5展示了高市场需求D下的库存-成本情况图4不同需求量下的库存曲线图5高需求D下的成本-库存曲线可以看出，在市场出现高需求D的情况下，销售者的平均持有成本的表达式(22)类似于式(4)的形式而此情况下的平均订货成本为在这种情况下，由于销售商可以在产品售完之时随时对货物进行补给，所以不会出现缺货的情况，也不会产生缺货成本。在市场出现高需求D的情况下，销售商总平均成本C1是在图6中，我们展示的是在市场出现低需求d的情况下，销售者必须处理掉过期产品，此时产品的库存-成本曲线如下所示。图6低需求d下的成本-库存曲线由于保存时间到达保质期的商品必须被完全处理，所以在市场出现低需求d的情况下，易逝类货品存货量随时间变化的表达式为因此在低需求d发生时，销售商的其成本由两部分构成:正常销售期内的库存成本，以及商品超过保质期后的处理/丢弃成本。假设保质期末货品的残值仍有BV(若价值完全损失则B=0),则下面的式(26)就是销售商两部分持有成本之和的数学表达。其中，最后一个等式的推导过程用到了保质期Ts与易逝品价值V之间的的关系。低需求d情况下的平均订货成本为在低需求出现情况下的总平均成本C2是结合高需求与低需求两种可能出现的情况，对于确定的订货量Q来说，期望的总平均成本为对式（10）、（20）和（29）等总平均成本函数，令其相对于自变量的偏导数为零，代入参数值解方程即可求出使平均成本最小的Q值。1.6算例在本节中，我们将给出本章中几个模型的应用情景，用具体的算例说明这个易逝品模型在库存订货控制方面的使用。为了便于比较，我们将统一计算口径（即使用同一组参数对各模型的订货量/成本进行最优化求解）。首先，我们对上面四个模型中涉及到的所有参数进行简单的介绍，并且对每一参数赋一具体的数值。总体来说，以上模型中涉及到的参数可以分为两类，分别是易逝品本身的属性参数，以及与市场情况有关的参数。参数的分类和其具体取值情况见表2和表2（续）。表2算例参数（易逝品相关）成本参数成本参数易逝品价值保质期Ts31.359.8610hrV表2（续）算例参数（市场相关）启动成本低市场需求高市场需求D出现概率单位缺货成本单位处理剩余alphaBeta50010700.30.10.2KdDp利用本章中给出的各模型求解思路和上面表中对模型参数的具体赋值，我们可以求出相应模型中的最优化结果，以及相应的最优化平均成本。计算结果如表3所示，表中的情况A,B和C分别依次对应了模型的三个扩展情况。表3算例结果原始情况扩展情况A扩展情况B扩展情况C订货量平均成本订货量缺货量平均成本订货量订货周期平均成本订货量平均成本QCQQCQTCQC43.5583.3225.4133.8756.4152.1324.1374.5558.1043.78通过分析表3中的几个扩展模型算例的结果，我们可以得到如下结论：对于扩展情况A来说，由于可以选择缺货的方式来降低成本，平均成本有了较为显著的下降;此外由于参数中给定的缺货成本较低(0.1)，所以降低了销售商的订货动力，结果是最优订货量较低而最优缺货量较高。对于扩展情况B来说，由于市场可能出现较高的需求，使得销售商的订货量有了一定的增加;此外由于市场的不确定性需求，让订货商必须无法得到确定的最优订货方案，只能在期望的意义上获得最优解，这也使得此情况下的平均成本有了较大的增加。扩展情况C相对于情况B而言按由于不必再受订货周期的约束销售期有所延长，但是考虑到过期的处理成本较大，所以订货量仅有小幅增加，而平均成本较情况B有所下降。通过算例分析发现，随着市场需求变化的增加，销售商在最优策略下的总体平均成本会有一定的增加;另一方面，随着销售商对订货周期，订货量可控性的增加，其在最优策略下的平均成本则会相应减少。2易逝品模型和EOQ模型的比较与分析为了比较本文的易逝品模型和EOQ模型，我们将创造一系列市场需求-库存供应的情景，并通过改变实验组中参数的取值，得到在这些不同情境之中模型效率的差别。2.1模型的实验设计一般来说，易逝品库存模型有六个关键因素:易逝类货物的价值(V)，启动成本/批量运货成本(K)，单位时间需求量(d)，货物的保存成本/库存成本(h)，易逝品的生命周期(T)，以及易逝品随时间的降价策略(P)。我们的实验也将围绕着这几个因素展开。在我们的实验中，将货物的价值(V)和启动成本/批量运货成本(K)设为定值;而将需求率(d)，库存成本(h)，生命周期(T)，以及降价策略设计为规律变化的变量。这样选择的依据是，货物价值和批量运货成本这两个变量对于易逝品和一般产品来说都是类似的，不能体现出易逝品的特点，对订货策略的影响不显著。为了观察这几个可变因素对于模型的影响，我们进行如下的简化处理：选择5个不同的d值:20，40，60，80，100，代表易逝品从低到高的需求率；选择5个不同的h值:0.02，0.04，0.06，0.08，0.1，代表每日库存成本的不同；选择2个不同的T值:12，24，代表易逝品较长和较短的生命周期;选择5组P值:(12.5%，25%)，(12.5%，50%)，(25%，50%)，(25%，75%)，(50%，75%)，其中每组括号里的两个数字分别代表了产品在1/2生命周期和b生命周期时，零售商对于易逝产品折扣比率;(其中选择4个不同的b值:0.6，0.7，0.8，0.9，代表不同类型易逝品品质衰减特点的可变性，以及对零售商的降价策略的影响。上面的五个易逝品关键因素相互独立，所以在排列组合的情况下，我们可以得到5*5*5*2*4=1000个含有不同参数组合的实验组。每一个实验组都是一个独特的市场需求率，独特的单位库存成本，以及独特降价策略的组合。为了准确高效地处理所有1000组仿真实验组数据，我们利用了相应的数学软件和其中的编程功能。其中1000组实验数据的产生和基本处理应用了Excel2007中的VBA功能;回归过程的批量处理则主要依靠计量经济学软件Stata10中的编程功能。2.2模型效率分析本节研究的思路是，通过对不同参数组合的1000个实验组进行宏观统计分析，找出易逝品订货模型相对于经典EOQ模型的差距。但是由于在EOQ模型中未考虑物品的易逝特性，按照这个最优订货量执行则有可能因为过量订货而造成物品完全腐烂而失去价值。因为这种风险是订货商事先完全可以预见到并且避免的，所以我们对原有的EOQ订货量做出一些修正，以避免不符合实际情况的出现。如前所述，我们研究的目的在于对比每一实验组中使用两个模型的时间效率和经济效率，即：上面的两个式子中，时间效率差别的度量AT是一个绝对量，代表了使用EOQ模型零的售者和使用易逝品模型零售者在订货周期(以天为单位)的差别;经济效率差别的度量AC是一个则相对量。式中，CQ*和CEOQ分别代表变质模型和EOQ模型下最优订货量所对应的平均成本，分别可以通过(5)式求出。我们首先在表4中，对这两个量的基本统计结果做一介绍：表4实验组的订货效率差别统计统计量AC(%)AT(天)10001000平均值75.83012.149527最小值1.613130.3237072第25百分位数14.325011.016268中位数32.819791.666735第75百分位数81.647785.167976最大值1092.6148.观察数122567从上表中我们知道，在1000组实验中，成本效率差别AC分布在1.61%到1092%范围内，中位数是32%;而订货周期差距的范围在0.32天到8.12天之间，中位数是1.67天。这个结果说明了本文中易逝品订货模型相当于EOQ模型在特定类型货品订货中的价值。一方面，较短的订货周期能带来更少的物品损失，避免了多次的降价，零售商能为商品确定一个稳定的价格;另一方面，易逝品订货模型带来的较短订货周期能为零售商带来更多的经营弹性:更少的存货意味着更多的流动资金和经营弹性。3结论基于MarkFerguson等提出的指数易逝品持有成本模型，本文研究了订货商允许缺货、市场需求可变和订货周期可变三个扩展情景下的成本函数，分别给出了求解最优订货量的方法。对于模型的扩展情况来说，在允许缺货的情况下，单位总成本表达式为：在市场需求可变的情况下，单位总成本表达式为：⑶在订货周期可变的情况下，单位总成本(期望)表达式为：对于允许缺货的情况，订货商可以选择缺货的方式来降低平均成本;对于市场需求可变的情况，市场需求的不确定性增加了订货商的平均成本，订货商要想降低成本，最有效的方法是收集更多的信息，降低这种不确定性;对于订货周期可变的情况，平均成本相对于订货周期不变的情况2有所降低，但是由于过期的产品处理成本较大，订货量并没有随着销售期的延长大幅增加，增加幅度较小，意味着带来更多的流动资金和经营弹性。本文运用计算机仿真分析方法从时间效率