第八章平面解析几何

第八 平面解析几第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方定义：xx轴0°.αk表示，k＝tan_α90°的直线没有斜率．过两点的直线的斜率 为 3．

x线x线过两点y－y1 x－x1＝ x轴、y x1＝x2kkk存在与不存在讨论，00Ax＋By＋C＝0kB0B＝0时，kB≠0[试一试

若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是 D．2解析：选 当2m2＋m－3≠0时，即m≠1或

3时3时，＝1，

故m＝2或 过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值 m解析：∵kMN＝－2－m 3解析：33y＝－4x3设x＋y＝1，即 答案：4x＋3y＝0k＝tanα(α≠90°)α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不[练一练直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是

，4∪4

C.

解析：选 设倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα其中sinα∈[－1,1]．又 ≤44过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程 解析：x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离， 44x－5＝0答案：x－5＝01．(2013·秦皇岛模拟)直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是 C. D.解析：选 由直线的方程得直线的斜率为k＝－

设倾斜角为α，则tan 3，α∈[0，π)，

＝6

3 2若直线l的斜率为k倾斜角为α而α∈6，4∪3，π则k的取值范围 解析：α∈π，π时，k＝tanα∈ α∈2π，π时，k＝tanα∈[－ k∈[－3，0)∪ 答案：[－3，0)∪[类题通法

k＝tanαα[典例 10(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10[解 10αsinα＝10

cosα＝310k＝tanα＝±

y＝1x＋3y＋4＝0(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x＋ 又因为直线过点 a所以aa

＝1a＝－44x－y＋16＝0[类题通法[针对训练经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0D．8x－5y＋20＝0解析：选 由题意设所求方程为y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0.由1·|5k－5|＝5得 8或

角度 与基本不等式相结合求最值问客观题.lM(1,1)x轴，yA，B两点，O为坐标当|OA|＋|OB|l的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2l的方程．解：(1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．l的方程为x＋y＝1，则 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)1＋1 a

a＝b＝2llkk＜0l), k1 21＝4k2＝1k＝－1时，|MA|2＋|MB|24k l角度 直线方程与平面向量的综lM(2,1)x轴，yA，B两点，O

lA(a,0)B(0b)x＋y＝1 ＝－MA·MB

b≥4a＝b＝3l[类题通法

＝3 解析：选 直线 直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是 33A. 3C．－ D．－3解析：选 设直线l的斜率为k，则 sin30°＝3cos 3在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( 解析：选 因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所kAB＝－kOA＝－3，AB的点斜式方程为若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 解析：k＝tan

∵α

l3l的方 kk由已知，得 k1＝－2 l2x＋3y－6＝06lybly＝1x＋bx6已知，得lx－6y＋6＝0若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( 33

2 解析选

直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( 程变形为y＝－ax－c.易 0

0， 若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点( 解析：选 a＋2b＝3⇒4a＋8b－12＝0，又2ax－by－12＝0，比较可知将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为

＝－3

3 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－1x，再向右平移1个3y＝－1(x－1) MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( 3或

如图所示

倾斜角大于90°时，k≤kPM，由已知得 3或k≤－4，故选

3解析：3

＝－4A，B，CkAB＝kAC，即－4 是过定点

∴k的取值范围是 3解析：(1)3(2)当不过原点时，设直线方程为x＋y x－y＝a.代入点(－3,5)

＝－3xABm∈－3－1，3－1ABα 解：(1)m＝－1ABm≠－1ABy－2＝12(2)m＝－12m≠－1时，m＋1∈－3，0∪(0，3] ∴k＝1∈(－∞，－3]∪ 3AB 3llklxAyB，O为坐标原点，设△AOB的面SSl的方程．解：(1)证明：法一：lkl总过定点y0＋1＝0x0＝－2，y0＝1l总过定点ly＝kx＋2k＋1ly要使直线l不经过第四象限，则k的取值范围是

l在x

y轴上的截距为

又 <0且

4k＝1k＝1 S4l1．(2014·哈尔滨模拟)函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为

c＝0的倾斜角为

＝4解析：选 由函数y＝f(x)＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝π知，f(0)＝fπ，即 ＝al的斜率为－12．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a＝ 解析：l1，l2P(2,2)l12－al2为，所以四边形的面积 22

1

第二节两直线的位置关 ，记为A≠B 1A1当B1B2≠0时，记为· B1 或 当 时，记为A＝B≠C 设两条直线的方程是就是方程组

d(A，B)＝|AB|＝x1－x22＋y1－y22.P(x1，y1)l：Ax＋By＋C＝0Ax＋By＋C1＝0Ax＋By＋C2＝0

运用两平行直线间的距离时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲[试一试1．(2013·长春调研)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的 B. 解析：

14， ∵＝ ∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离

充要条 B．充分不必要条C．必要不充分条 解析：选 由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是－(－1)×1＝0，[练一练点(2,3)关于直线x＋y＋1＝0的对称点

2＋2＋1＝0，解得 222ly－2＝－3(x＋1)2A(－2，m)B(m,4)l12x＋y－1＝0l2＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( 解析：选 ∴k

1∴－n×(－2)＝－1，1“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的( C．充要条 2解析：Ca＝2ax＋2y＝0x＋y＝0x＋y＝1ax＋2y＝0x＋y＝1平行时，－a＝－1，a＝2.综上所述，“a＝2”是“ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件，故选C.2l1：x－2y＋4＝0l2：x＋y－2＝0P0垂直的直线l的方程 解析：法 由方程组3∵l⊥l3l33l3

法 ∵直线l过直线l1和l2的交点∴l即∵ll3∴l12x＋9y－18＝0[类题通法直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线[典例 解：P的坐标为ABM的坐标为AB

ABP(a，b)x－y－5＝0P(a，b)l：4x＋3y－2＝0

7由①②联立可得7

或

P的坐标为(1，－4)或[类题通法

[针对训练与直线7x＋24y－5＝0平行并且到它的距离等于3的直线方程 解析：由 ∴m＝70答案：7x＋4y－80＝0对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见角度 点关于点的对P(0,1)ll1：2x＋y－8＝0l2：x－3y＋10＝0截得的线段被Pl的方程．解：l1lAPB(－a,2a－6)l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，a＝4A(4,0)ll角度 点关于线对解： 再由已知得 解得 4A′－33，4 角度三在[角度二]的条件下，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．设对称点M′(a，b)，则

2

2

M′6 mlN又∵m′m′角度 对称问题的应A(－4，－2)y＝xBy＝xyyD(－1,6)BC反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.BC

＝

[类题通法

A(ab)关于直线AxByC＝0(B≠0)的对称点A′(mn)n－b

A·2＋B·2(2013·银川模拟)已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于( D．3⇔解析：选 由题意知 1 6⇔a－2若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数 3 3 D．－1解析：选 由23．(2014·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( 解析：选 由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为

＝

已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围 解析：P

即所以a∈[0,10]．l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0a，b的值．即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)l1(2)∵l1∥l2，∴a＝1－a，b＝a l1l2 (a－1)x＋y＋al1l2∴

a4a 3∴a＝233∴a＝2，b＝－23 模拟)若直线(a＋1)x＋2y＝0x－ay＝1a 解析：选 由

1，a＋1＝2a，－

已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l的条数为( 解析：选C 由题知满足题意的直线l段AB两侧各有1条，又因为|AB|＝ 以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条． 2 2 解析：选 ∵l2，l1关于y＝－x对称∴l2的方程为－x＝－2y＋3. 22A(1，－2)，B(m,2)ABx＋2y－2＝0的值是 解析：选 由已知kAB＝2，即4＝2，解得y＋1＝0PB的方程是)解析：D由|PA|＝|PB|PABP3PA的直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，∴PB在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落段DC上，若折痕所在直线的斜率为k(k≠0)，则折痕所在直线的方程为 aaG点的坐标为(－k,1)(－2≤k<0)OG的交点坐标为－k，1

－1＝x＋k，即

1

答案 ＋2A(－3，－4)，B(6,3)l：ax＋y＋1＝0a

解析：由题意及点到直线的距离

a＝－3创新题x，yx|x|－y|y|＝1，则点(x，y)y＝x 解析：x≥0y≥0x＞0y＜0x＜0y＞0x＜0y＜0时，x|x|－y|y|＝y2－x2＝1.作出图象如图所示，因为直线y＝x为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到直线y＝x的距离的最大值为1.∴取值范围为l1：x＋a2y＋1＝0(1)l1∥l2b解：(1)l1∥l2a2≥0a2＋1≠3

b的取值范围是(2)l1⊥l2，所以a≠0 a＝±1时等号成立，因此|ab|(1)P(4,5)l(2)x－y－2＝0l解：P(x，y)l：3x－y＋3＝0 PP′3x－y＋3＝0 ∴3× 5 5由①②得5 5(1)x＝4，y＝5∴P(4,5)lP′的坐标为(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l

y＝2x是△ABC中∠CA，B的坐标分别是4,2)，(3,1)，则点C的坐标为 解析：选 点A关于直线y＝2x对称的点为(4，－2)，且点A关于y＝2x对称的点BC上，于是BC所在的直线方程为3x＋y－10＝0，由

得点C若点(1,1)到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值 解析：d＝|cosα＋sin＝ sinα＋π＝－1时，d2＋ 答案：2＋第三节圆的方圆心 －2半径：12x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0[试一试方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是

4

解析：选 由(4m)2＋4－4×5m＞0知 1或[练一练圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是 解析：选 设圆心为(0，b)，半径为r，则∴∴以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程 解析：法一：3x－4y＋12＝0AB

故所求圆的方程为(x＋2)＋－2＝2法二：A(－4,0)，B(0,3)，设P(x，y)为圆上任一点，则PA⊥PB.∴k

＝－1得y

·PA·

x 化简得(x＋2)＋－2＝2

答案：(x＋2)＋－2＝圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( 解析：选A 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b－22＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( 解析：选 由

2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4

＋5x－5y＋5 ＋5x－5y－5 —5x－5y＋5

—5x－5y－5解析：选 设所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2－4＋k(2x＋y＋4)＝0，即

1)x＋(k－4)y＋1＋4k＝0，化为圆的标准方程得[x＋(k＋1)]＋＋2k－4＝(k＋1)

＋4(k－4)－(1＋4k)＞0，5k－16k＋16＞0，1112显然，当

k＝8时，5k2－16k＋16有最小值

＝－10 5而面积最小．故所求的圆的方程为

[类题通法

＋5x－5y＋5a，b，rD，E，F角度 斜率型最值问已知实数x，y满足方程 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3xx所以设y＝k，即y＝kx.xxy＝kxk3k＝±3.(如图x所以y的最大值为3，最小值为－x

角度 截距型最值问在[角度一]y－x解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b22时，纵截距b取得最大值或最小值，此 3，解得b＝－2±6.(如图y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－角度 距离型最值问又圆心到原点的距离 x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4角度 利用对称性求最分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为 B.A．5B.2 212 12112对称点C′(2，－3)，则(|PC|＋|PC112

＝|C′C|＝52，所以

＝555[类题通法

数形求解与圆有关的最值问＝

t＝ax＋by 课标卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.P若P点到直线 2，求圆P的方程．[解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为y2＋2＝r2，x2＋3＝r2P222222(2)P(x0，y0)

Py2－x2＝1上，从而得

由

得

Pr＝

Pr＝ Px2＋(y－1)2＝3[类题通法[针对训练已知OP＝(2＋2cosα，2＋2sinα)，α∈R，O为坐标原点，向量OQ满足OPOQ0，则动点Q的轨迹方程 解析：Q(x，y)，由OPOQ＝(2＋2cosα＋x,2＋2sin若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(

解析：选 ∵点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的 解析：选 由于圆心在第一象限且于x轴相切，故设圆心为(a,1)，又圆与直线 相切可 ＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)＋(y－1)圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为( 小值 解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)ld＝32AB边上的高的最小值为322故△ABC面积的最小值是1×22×3－1＝3－2答案：3－

PA(－1,0)B(3,4)ABPCD，且|CD|＝4(1)CD(2)P解：(1)ABk＝1，AB的中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，(2)P(a，b)PCDa＋b－3＝0.①又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210，

P(－3,6)P的方程为或(2014·郑州第一次质检)以抛物线y2＝4x (2013·东城二模)已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( 2

∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离

x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( 22解析：选C ＝5，解得k＞0，已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( x± 32＋y2 3 3 32 3 3 3解析：选 由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为2π，设圆心3r

π＝|a|r＝2r2＝4，|a|＝

a＝±3Cx2＋y± 3 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的 0，配方得(x－2)2＋y2＝4.(2014·金华十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB＝3，则该圆的标准方程是 解析：依题可设⊙C：(x－1)2＋(y－b)2＝1(b＞0)，且32＋b2＝1所以⊙C的标准方程为

2

答案：(x－1)＋－2CM(1，－1)x－y＋1＝0C相切，则圆C的方程 x－y＋1＝0rr＝32C的方程为 答案： 创新题已知直线2ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为 直线的距离 ＝2，所以a2＝1－1b2≥0，即－2≤b≤2.设圆M的半径为r，

＝2(2b，又－2≤b≤2，所以2121≥|PM|≥2－1M的面积的最小值为(3－12答案：(3－2xOyOx－3y＝4(1)O解：(1)OrOx－3y＝4

O(2)由(1)设 即x2－y2＝2.PA·PB由于点P在圆O内，故y2＜1PA·PB的取值范围为(2014·蚌埠质检)ABCDP(2,0)AB－3y－6＝0，点(－1,1)AD(1)ABCD(2)l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)lABCD的外接l的方程．解：(1)∵lAB：x－3y－6＝0∴kAD＝－3，点(－1,1)AD∴ADy－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.由

4＋4＝2ABCD的外接圆的方程是(2)lk(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0x＋y－5＝0的交点(3,2)lQ(3,2)，由|QP|2＝(3－2)2＋22＝5＜8知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交，设l与圆P的交点为 8－d2(d为P到l的距离设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sin lPQ的斜率的负倒数，即－1l 1．(2013·石家庄模拟)已知两点A(0，－3)、B(4,0)，若点P是圆Cx2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为(

22 2解析：选 如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于P，这时△ABPAB的方程为x＋y＝1 －4y－12＝0CAB ＝5∴△ABP的面积的最小值为 2(2014·东城区模拟)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为 解析：l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为：y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.

第四节直线与圆、圆与圆的位置关k[试一试1．(2014·石家庄模拟)过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程 3解析：设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k＝4，所以切线方程为4x－3y＋1＝0，又直线x＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.3答案：x＝22．(2013·东城模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0,则圆心C的坐标 ；直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则 ± ＝1,解得k＝±4k＝－4—答案 —x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0M(x0，y0)系数法，切点为T的切线长为 x2＋y2＋Dx＋Ey |MC|2－r2(其中C为 C的圆心，r为其半径代数方法：运用根与系数的关系及弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝注意：[练一练1．(2014·模拟)过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为( C．x＋y＝0D．x＋3y＝0x－解析选 直线必有斜率．设斜率为k，则直线方程为y＝kx，则 ＝ B．10C．5或 解析：选 ∴弦心距为∵圆心坐标为 ＝3，∴c＝101．(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的 B．相C．相 解析：选 由点M在圆外，得a2＋b2＞1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离 ＜1 解析：选 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径∵x2＋y2－2x－1＝0可化为(x－1)2＋y2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2 ＜2∴－3＜m＜1，m的取值范围应是(－3,1)[类题通法

drΔ 则直线AB的方程为( 2 率为1，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.2[答案 (2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长 [解析 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为 22－22＝22[答案 2[类题通法[针对训练(2014·济南模拟)ax＋by＋c＝0O：x2＋y2＝1A，B两点，且3，则OA·OB的值是 3 解析选 ＝1×1×cos

(2014·郑州一检)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 [解析 由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AOAO

中，(25)2＋(

25× 1[答案

AB所在的直线方程.解：m＝5②－①得，x＝－1ABm＝－5②－①得，x＝1AB∴ABx＝1[类题通法[针对训练与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有 B．2 D．4解析：选 由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距显然两圆外切，故公切线的条数为＝3(2013·青岛一模)圆(x－1)2＋y2＝1与直线y 3 ＝3C．相

的位置关系是 解析：选 ∵圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径＝∴圆心到直线 3x的距离为|3| ＝

9(2013·西安质检)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的 22C.

22 因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离 |c|＝2 2根据直角三角形的关系，弦长的一半就等 1－22＝

所以弦长为2 2(2014·吉林模拟)x＋y－k＝0(k＞0)x2＋y2＝43是坐标原点，且有|OA＋OB|≥3AB|，那么k的取值范围是 3

B．[C．[2，2 D．[3，233解析：C当|OAOB|＝3|AB|时，O，A，B三点为等腰三OA＝OB，∠AOB＝120°Ox＋y－k＝0(k＞0)1k＝2k＞2时|OAOB|＞3|AB33|x2＋y2＝4k＜22，综上，k的取值范围为[2，22)(2014·陕西模拟)PC：x2＋y2＋4x－6y－3＝05＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P 个解析：由题意知圆的标准方程为l

2

＝5A(m，n)r，则A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0C(－1,3) m＝3，n＝1，r＝所以所求圆的方程为圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( 相 解析：选 ∵圆的方程可化为∴圆心为(1，－2)，2tx－y－2－2t＝0上∴圆与直线相交圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( C．外 ＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝5r2－r1＝1，r1＋r2＝3r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故两 高考)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为 6D.6|1＋4－5＋5解析选 |1＋4－5＋5 r2－d2＝2，故弦长为过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 35C．235

＝2r2－d2＝25．(2013·福建模拟)l：y＝－3(x－1)O：x2＋y2＝1M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等 解析：l：y＝－3(x－1)yA的坐标为(0，3)．由{x2＋y2＝1，y＝－3x－1得，2MxM＝1，所以△MOA2S＝1|OA|×xM＝1×

1＝233

C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的圆的方程 解析：法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x3y2＝0.

22

.

3－16λ－2－2＝0，解得λ＝1.故所求圆的方程为

CP(－2,1)y＝x＋13x＋4y－11＝0C相A，B两点，且|AB|＝6C的方程．解：Py＝x＋1

2

则由

故圆心C到直线3x4y－1＝0的距离

Cr＝dC

4M(3,1)ax－y＋4＝0及圆(1)M(2)ax－y＋4＝0a解：(1)C(1,2)r＝2C(1,2)x＝3d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，由题意 444y－1＝3(x－3)，即3x－4y－5＝0.4Mx＝3 ＝2，解得a＝0或a＝ (1)alC(2)lCA，B两点，且|AB|＝22l解：Cx2＋y2－8y＋12＝0x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)lC 则 ＝2.解得a＝－ (2)CCD⊥AB|CD|＝|4＋2a| 得22a＝－77x－y＋14＝02．(2013·湛江六校联考)C：x2＋y2－2x＋4y－4＝01l，lABl的方程；若不存在，说明理xCA，BA(x1，y1)，B(x2，y2)则x1y22 b＝1b＝－4b＝1b＝－4Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0成立．故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.3．(2013·江苏高考)xOyA(0,3)l：y＝2x－4.C1l(1)Cy＝x－1AC的切线，求切解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1C(3,2)A(0,3)C 由题意， ＝1，解得k＝0或－ y＝3(2)y＝2x－4C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所 D(0，－1)为圆心，2由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋111≤5a2－12a＋8≥0由5a2－12a≤0，得 ≤55Ca5第五节椭 对称轴：x轴、y轴 P[试一试若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为

A.5＋y B.4＋5

C.5＋y＝1或4＋5 2

∴a＝5，所求椭圆的标准方程为5＋yy轴上时 ∴a＝5，所求椭圆标准方程为54＝1.xy轴上，设出相应形式的标准方程，然后根a，b，ca2，b2，从而写出椭圆的标准方程．MF的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离a＋ca－c.[练一练 (c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是 31

21

cc2＝am，的离心率

圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为

解析：由题意知

解得

∴椭圆方程为129＝1或129 答案：129＝1或129 模拟)F1，F2是椭圆49＋24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且 解析：选C 2．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2, 8＋4

3解析：选 设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)．由点 －b2内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( 解析：选 设圆M的半径为r，则 [类题通法利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2||PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)22|PF1|·|PF2| [典例 2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心 [解析 直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而30°MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3cc＋ ＝c＋[答案 ＜a2－c2，c2＜1，0＜c＜2e∈0， [类题通法

2[针对训练 1．椭圆9

k k的值为 解析：选 若a2＝9，b2＝4＋k，则 5－k 由＝，即 ＝5若a2＝4＋k，b2＝9，则 由c＝4， 2．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取 B．

C C． D．[ 解析：选D 椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c， ≥3. 3[典例 高考)设椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为3，过点x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(2)A，BFkC，DAC·DBAD·CB＝8k[解 (1)设F(－c,0)，由c＝3，知a＝3c.过点F且与x轴垂直的直线的方程为 2342343c，代入椭圆方程有a2＋b2＝1

b＝2＝ ba＝3，c＝1，所以椭圆的方程为32(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)

y，整理得3＋2

2.A(－3，0)，B(3，0) AC·DB＋AD·CB＝(x1＋3，y1)·(3－x2，－y2)＋(x2＋3，y2)·(＝6＋2＋3k262＋3k2＝8k＝±[类题通法用“点差法”解决，往往会更简单． 或

＋[y＋y－4y [针对训练

1

新课标Ⅱ)xOyM：a2＋b2＝1(a>b>0)2x＋y－3＝0MA，B两点，PABOP的斜率为2MC，DMACBDCD⊥ABACBD面积的最解：(1)

则1＋1＝1，2＋ 21 21

x 由此可得

a

又由题意知，M的右焦点为(3，0)所 M的方程为63

x＝4

解得 或336＋3333因此|AB|＝43

y＝－

CDy＝x＋n－53＜n＜

由

6＋3 3CD1，所以|CD|＝3ACBDS＝1|CD|·|AB|＝8

3n＝0时，S取得最大值，最大值为833ACBD面积的最大值为83(2013·南充调研)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y B．必要而不充分条C．充要条 把椭圆方程化成1＋1＝1.若m＞n＞0，则n＞m＞0.所以椭圆的焦点在y y轴上，则11＞0m＞n＞0. (2013·高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为

C方程是

3＋4 B.4＋ C.4＋2

依题意，设椭圆方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，所以

解析：选 由题意知2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得＝3a2－2ac5∴e＝3e＝－1(舍去5

4．(2014·池州模拟)M(3，0)，椭圆4＋y＝1y＝k(x＋3)则△ABM的周长 解析：M(3，0)F(－3，0)ABF(－3，0)|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于 5.(2014·莆田模拟)A，B分别是椭圆36＋20＝1FPx(1)P(2)MAB上的一点，MAP的距离等于|MB|d解：(1)P的坐标为(x，y)AP＝(x＋6，y)FP＝(x－4，y) 22

解得

或 5 y＝ P的坐标为3，5 2(2)APx－3y＋6＝0M的坐标为(m,0)

2x＝9时，d取得最小值2

椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 解析：选 由题意可得 所以m＝4，选 |OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为 2解析：选A 3．(2013·石家庄模拟)中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4 2，2则该椭圆的方程为 2 则a＝22，b＝2，所以椭圆的标方程为

＝a＝28＋4

PF1，F2为焦点的椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)PF1·PF22 2 55 解析：选 ·PF ⊥PF，∴|PF1|＋|PF2|＝65＝2a，∴e＝c＝

3若方 ＝1表示焦点在x轴上的椭圆则实数a的取值范围 解析：

x2＋y＝表示焦点在轴上的椭圆，所以－＞＋＞，解得2 2 答案： C的离心率 7解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直ABO，所以|OF|＝c＝5AF1A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝5.75

2已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)P5a2a

2

解：(1)P5a，2a在椭圆上，故5a2＋2b2＝1，可得

a24e＝4(2)OQky＝kx.Q的坐标为由条件得 0＋ 消

y0及0000整理得(1＋k2)x2＋2ax00x0≠0

＋2

2

＋22＝322＋ k

4k

k

5 5k4－22k2－15＝0OQk＝± (2)PF2A，BPF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16M，N两点，且 解：(1)F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，所

c 2e＝1或－1(舍2(2)由(1)a＝2c，b＝3c3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．A，B

y5解得5

553

5A8c，33c，B(0，－ 885c＋5c＋3

＝5＝8于是8圆心(－1，3)PF2|－3－3－|－3－3－22d2＋|MN|2＝42，所以3(2＋c)2＋c2＝16.7c2＋12c－52＝0c＝－26舍2或

7

3(2014·长春调研)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)2x＋y＋＝02l

NBNB|c＋ 2＝23，c＋6＝±26，c＝6或36(舍去又离心率c＝3，6＝3，故a＝2 a2－c2＝ 故椭圆的方程为825(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)NA＝－7NB5所以 l0时，①不成立，于是设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，x得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0，②因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，于是y1＋y2＝－ y1y2＝ ，4k由①③得，y2＝ ，y1＝－ 8k4＋k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，所以直线l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.CO，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的lyP(0，m)CA，BAP＝2PB.(2)m 解：(1)y轴上，设椭圆方程为a＝2，b＝ca2＝b2＋c2b＝ 所以椭圆的方程为42则x1＋x2＝－2mk由根与系数的关系知

AP＝2PB即 2mk可

2＋k整理得又9m2－4＝0时不符合题意，所以 解得4＜m2＜4Δ＞0，解不等式4＜m2＜4得2＜m＜2 m的取值范围为 3．(2014·兰州模拟)已知椭圆方程为2＋x＝1k(k≠0)lP，QPQy(1)m(2)求△MPQ解：(1)l由2

可得＝设P(x，y)，Q(x，y)，则x －2k，xx＝－1.＝

1

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4PQNN的坐标为－k，2 k k由题意有

m－k

·k＝－112k12

，又k≠0，所 (2)2则 2所以△MPQ

f(m)＝m(1－m)3可知 m＝1时，f(m)f1＝27 m＝1时，△MPQ的面积有最大值3 16第六节双曲 性x≥ax∈R，y≤－a质对称轴：坐标 对称中心：原y＝y＝e＝c，e∈(1，＋∞)c＝a2＋b2轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴a、b、2a＞|F1F2|则轨迹不存在．a、ba＞0，b＞0a，b的要求相同．a＞b＞0e∈(1，2)；a＝b＞0e＝2；0＜a＜be＞a，b，ca、b、ca2＝b2＋c2，c2＝a2＋b2.x轴上，渐近线斜率为y轴上，渐近线斜率为[试一试

双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是 B．y＝±C．y＝± 解析：选 由题意知2－2 C：a2－b2＝110P(2,1)CC B.5 线方程为 解得＝a 与双曲线a2－b2＝1共渐近线的可设为 若过两个已知点则设为mn双曲线为等轴双曲线⇔e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置

a2－b2＝1(a>0，b>0)

＝e－1.[练一练 1．(2013·福建高考)双曲线4－y＝1的顶点到其渐近线的距离等于 2C.

D.45x5解析：选 双曲线4－y＝1的渐近线方程为y＝±2，即x±2y＝0，所以双曲线的顶(±2,0)到其渐近线距离为2＝2 5

C

1＝2c相切，则双曲线C的离心率 解析：F(c,0)到渐近线的距离等于2cb＝2 2a焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长)，c2＝2b2＝2(c2－a2)，c2＝2a2，c＝2aC的离心率为答案： 23 23 解析：选 双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知 F1，F2为双曲线54＝1的左、右焦点，P(3,1)A A.A.B.C.D.55解析选 55A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a＝37－2 高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 的方程是

A.4－ B.4－5 C.2－5 D.2－ 由题意可知 32－22＝5，故双曲线的方程 4－5[类题通法a、b、c双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.题角度 已知离心率求渐近线方 51．(2013·新课标卷Ⅰ)C：a2－b2＝1(a>0，b>0)2C线方程为 A．y＝ B．y＝

1

解析：选 ∵e2＝a2＝a2角度 已知渐近线求离心 双曲线的离心率为 4455C. 解析：选 设双曲线的一条渐近线方程为y＝kx，由题可知这条直线与抛物线1相切，联立

x2－kx＋1＝0 k＝±2，即a＝2

1＋a2＝角度 由离心率研究渐近线夹角问 值

解析：∵e＝2，∴e＝2，即a2＝2c＝a＋b ∴a2＝1,即∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是π角度 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范 4．(2013·惠州模拟)已知双曲线a2－b2＝1y＝2x范围为 A．(1， B．(1，C．( D．[解析：选 ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝bx，则由题意得 1＋4＝a[类题通法

＝a或＝b [典例 (2014·铜陵一模)若双曲线E：a2－y＝1(a＞0)的离心率等于2，直线EA，B(1)k(2)若|AB|＝63C是双曲线上一点，且OC＝mOAOB)k，m[解

E得A，B即

1＜k＜(2)x1＋x2＝2k，x1x2＝2 ∴k2＝5 1＜k＜2∴k＝2x1＋x2＝4设C(x3，y3)， ＝m(OA＋OB)，＝(4C∴80m2－64m2＝1m＝2k＝2[类题通法

1

xy注意：k[针对训练E的中心为原点，F(3,0)EFlEA，B两点，ABN(－12，－15)E的方程． 解：设双曲线的标准方程为设aab 2－

a1-＝a1-12x12

2y＋y

AB

4b2＝5a2a2＋b2＝9 所以双曲线的标准方程是45 高考)若双曲线a2－b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为 B．y＝±C.y＝ D.y＝± 2 在双曲线中离心率 1＋b2＝3，可得b＝2，故所求的双曲y＝±

(2014·哈师大附中模拟)C：16＋12＝1共焦点且过点(1，3)程为 A．x－3 B．y－2x

C.2－2 D.3－x 解析：选 椭圆16＋12＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为 －

m＝n＝2， F1，F2x9＝1PPF1·)A.C.B．2D．2解析：选 ∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2∴|PF1|2＋|PF2又||PF1

||＝2a＝2，∴||PF1

||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|×|PF2||PF1|＋|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|×|PF2∴|PF1|＋|PF2|＝2 (2013·江苏高考)双曲线16－9＝1的两条渐近线的方程 解析：令169＝0答案：y＝F1、F2在坐标轴上，离心率为2M(3，m)MF1·MF2解：(1)∵e＝2P(4，－10)，∴16－10＝λ ∴双曲线方程为66证明：法一：由(1)a＝b＝∴c＝23.∴F1(－23，0)，F2(2 3333

＝－3故kMF1·kMF2＝－1.∴MF1⊥MF2. 法二 ＝(－3－2＝(2 ·MF2＝(3＋23)×(3－2＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6 △F1MF2的底|F1F2|＝4△F1MF2h＝|m|＝ 1P是双曲线a29＝13x－2y＝0，F1，F2 或 解析：选 由渐近线方程3x－2y＝0，知 3.又b2＝9，所以a＝2，从而2

高考)抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－3＝1的渐近线的距离是 2 3223 3解析：选B 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以 3，故选B.3．(2013·调研)双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则 解析：选 双曲线方程可化为x－1mm∴实轴长为2，虚轴长为 1m 1，

4.(2013·郑州模拟)如图所示，F1，F2是双曲线A.B.A.B.2

2解析：选 连接AF1，依题意得AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30°，|AF1|＝c，|AF2|＝3c， 此该双曲线的离心率 ＝ 3＋1，选 5曲线的离心率是4，且PF1,·PF2,＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为 5 解析：选 设c＝a2＋b2，则 4

3PF1,·PF2,＝0(PF1⊥PF2)，两式相减得 (2013·惠州模拟)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)y＝410x点重合，且双曲线的离心率等于3，则该双曲线的方程 解析：由已知可得抛物线y2＝410x的焦点坐标为(10，0)，a2＋b2＝10.又双曲线的离心率e＝10＝10， a＝3，b＝1，∴双曲线的方程为9－y 9－y

7．(2013·陕西高考)双曲线16－m＝1的离心率为4，则m等 解析

线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离 ＝4a，且∠F1AF2＝120°，在△F1AF2中，4c2＝4a216a222×2a×4a×1＝28a2e＝2答案： A，B分别为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)4焦点到渐近线的距离为3.＝ ＝使OM ＝tOD，求t的值及点D的坐标解：(1)a＝2∴一条渐近线为y＝ 2即bx－2 ＝∴ b＝3，∴双曲线的方程为123(2)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.x2－16x1＋x2＝16x0＝4

x＝4∴

y30－3

∴t＝4D的坐标为(4 5PM，PN的斜率之积为5E1A，B两点，O为坐标原点，C双曲线上一点，满足OC＝λOAOBλ 解：(1)P(x0，y0)(x≠±a)在双曲线a2－b2＝1 有0－ 由题意又有y0·y0x0－a a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2e＝c＝ 5

22则 x1x2＝4

设OC＝(x3，y3)OC＝λOAOB，即C 有112211化简得：λ2(x2－5y2)＋(x2－5y2)＋2λ(xx－5yy112211A(x1，y1)，B(x2，y2) 2222得：λ2＋4λ＝0λ＝0

考)设F1，F2分别是双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、 21010

2 解析选 则

10＝a＝2 模拟)F1，F2分别是双曲线a2－b2＝1(a＞b，b＞0)为双曲线右支上的任意一点．若|PF2|＝8a，则双曲线的离心率的取值范围 aa

第七节抛物FlpFlF pp＞0F[试一试抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是 解析：选C 为4.动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. y1y2＝－p，x1x2＝4|AB|＝x1＋x2＋p＝2p(θAB的倾斜角1 1 ABAFBFy[练一练 若抛物线x＝ay过点A，4，则点A到此抛物线的焦点的距离 4AAA到抛物线的焦点的距离为4 52，则 ，△OAB的面积 解析：A(x0，y0)∴x0＝1AB⊥x故△OAB 答案 高考)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)y0)的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3，则p＝(

a 因为双曲线的离心率e＝c＝2，所以b＝3a，所以双曲线的渐近线方程ay＝

3

3±，面积为 3p＝3，又p＞0，所以2．(2013·新课标卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( y2＝4x或 B．y2＝2x或y2＝4x或 D．y2＝2x或解析：选 由已知得抛物线的焦点Fp，0，设点A(0,2)，点M(x0，y0)， 0p，－，AM＝y2，－由已知得 ＝，即 ＝，因 ＝0

由|MF|＝5

8－p2＋16＝5p＞0p＝2p＝8 焦点为F，则△MPF的面积为 解析：∴P22[类题通法(3)p1．(2013·郑州第一次质量预测)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( 解析：选D 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则 因为|AB|≤|AF||BF|(F为抛物线的焦点，即|AF||BF|≥6，所以|AA1||BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3Mxd≥2，选角度 距离之和最小问物线上有一动点P到y轴的距离为d1到直线l的距离为d2则d1＋d2的最小值为 解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝32d1＋d2答案：3角度 焦点弦中距离之和最小问已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为 |AC|＋|BD|[类题通法1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2014·福州质检)已知曲线y2＝2px(p＞0)在第一象限内与圆x2＋y2－4x＋1＝0交于不同的两点A，B.(1)p(2)xMMA⊥MBpM[解 A(x1，2px1)，B(x2，y2＝2pxx2＋y2－4x＋1＝0∴p的取值范围是 设M的坐标为MA＝(x1－m，2px1)MB＝(x2－m，∴MA·MB＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋2px1x2＝1，x1＋x2＝4－2pMA·MB，即∴p＝3－6(∵p＜1p＝3＋此时 ＝6－1，即M的坐标为(法 设AB的中点坐标为2ABxy0＝|AB|M22px1＋2px1＋2 x1＋x2＋22 |AB|2＝(x1－x2)2＋(2px1－12112＝x2＋x2－2xx＋2p(x＋x12112＝(x1＋x2)2－4x1x2＋2p(x1＋x2－2y0＝|AB| 4p(3－p)＝12(1－p)，即p2－6p＋3＝0，∴p＝3－6(∵p＜1p＝3＋此时M的横坐标为 ＝2－p＝M的坐标为([类题通法

[针对训练已知过抛物线y2＝2px(p>0)22的直线交抛物线于A(x1y1)B(x2y2)(x1<x2)两点，且(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOBλ2解(1)ABy＝224y2＝2px4x2－5px＋p2＝0，4所以p＝4，(2)p＝4,4x2－5px＋p2＝0x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，A(1，－22)，B(4，4设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,4＝(4λ＋1,42λ－233y2＝8x，即[233λ＝0已知m，n，m＋n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则抛物线mx2＝ny的焦点坐

A.

C.

解析：选 由题意知，2n＝m＋m＋n且n2＝m·mn，解得m＝2，n＝4，故抛物线为

2．(2013·福建模拟)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于( 33 33 解析：选 设点P的坐标为(xp，yp)，则

3＋2.过点P作x轴的垂线交x3 3．(2013·郑州质检)y2＝8xF135°两点，则弦AB的长为 解析：Dy2＝8xF的坐标为(2,0)AB135°，故直线则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝ 解析：分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q焦点的距离等于该点到准线的距离，得5．(2014·厦门模拟)x轴对称，它的顶点在P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(2)PAPBy1＋y2AB解：(1)P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1p＝2.y2＝4x，准线方程是x＝－1.

∵PAPB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kP1A(x1，y1)，B(x2，y2)1y2＝4x

12 121212由①－②得，y2－y2＝4(x－x1212

＝－1(x≠x＋＋

1．(2013·沈阳模拟)

1＝2y的焦点F到其准线l的距离是 解析：选 因为 所以由抛物线的定义可知所求的距离为＝2， 已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为 注意到抛物线y2＝2px的准线方程是 p曲线x2＋y2－6x－7＝0，即 －3)＋y＝16是圆心为(3,0)，4的圆．于是依题意有2＋3＝4.p＞0，因此有＝4，p＝2，已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( p p

2

东城区期末)y＝2pxF与双曲线79＝1合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积 2解析：选D由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)．过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，根据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K中，|AK|＝2|AA′|，故∠KAA′＝45°AK45°AKy＝x＋4y2＝16x得y2＝16(y－4)y2－16y＋64＝0y＝8.所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为2 相交于A，B两点．若AB的中点的坐标为(2,2)，则直线l的方程 存在或为零时不满足题意，故设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，其中k≠0

消去y得k2x2＋[4k(1－k)－4]x＋4(1－k)2＝0，显 ＝2，解k＝1.l2

6．(2013·江西高考)x＝2py(p>0)F，其准线与双曲线33＝1A，B两点，若△ABF为等边三角形，则

22

曲线3－3＝1的交点

12＋p2，所以p＝sinπ， ＝3，解得

C：x2＝4yFK(0，－1)lCA，B两点，AyD.(1)FBD(2)设FA·

DBKy＝9解：(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(－x1，y1)，l由

直线BD的方程为

44即y－ 444x＝0y＝x1x2＝1FBD4(2)因为FA·FB8－4k2＝8k＝ l±又由(1)得 16k2－16＝4±

x2－x1＝±的斜率 BD的方程为7x－3y＋3＝0，设∠DBKy 则M(0，t)到l及BD的距离分别 ，得t＝9或t＝9(舍去所以∠DBKy 1

AC＝4AB(1)G(2)BCybb

y1＋y2＝2 AC＝4ABp＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线G的方程为x2＝4y.(2)l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为由

kBCkBCyΔ＝16k2＋64k＞0k＞0∴b∈(2，＋∞)b的取值范围为1．(2014·淄博模拟)xOyly2＝4xA，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值(2)如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点l：x＝ty＋1y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，A(x1，y1)，B(x2，y2)∴OA·OB(2)l：x＝ty＋by2＝4xxy2－4ty－4b＝0A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴OA·OBl过定点∴若OA·OB＝－4l必过一定点 模拟)xOyF2，0l：x＝－2Pl上移动，RPFy(1)Q(2)MA(1,0)MC上，TSMyM运动解：(1)RFP∴RQFP∵|PQ|Ql点Q段FP的垂直平分线上QF为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x＞0)．(2)弦长|TS|CM(x0，y0)，My0圆的半径 0则 y2－2x 2MCx0＝2所以 3.2014·长春三校调研)xOy＞0)MFC(1)m

k2，k3，问k1，k2，k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说解：(1)CF的坐标为0，1MFN1，1－1C

∴1 (2)由(1)2l2由

2＋22＋22－2－2

由根与系数的关系得k1，k2，k3x x

xx y

y

xy＋xy－x

21＋1

12－1＝而k＋k＝ ＋ ＝2 1 1＝ ＝

＝－ ∴

＝－2，8k2＋10k＋3＝0k＝－2(符合题意)k＝－4(不合题意，舍去ly＋1＝－1(x－2) ∴k1，k2，k3l第八节曲线与方在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一即为方程组

[试一试若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( C．双曲 解析：选D 依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的设点——列式——P代换——依条件式的特点，选用距离、斜率等将其转化为关于x，y的方程x，y——代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨[练一练点C的轨迹方程

AB＝2，－yBC＝x，yABBCAB·BC

2C1.O(0,0)，A(1,2)P满足|OPAP|＝2P点的轨迹方程是()解析：AP点的坐标为(x，y)，则OP＝(x，y)AP＝(x－1，y－2)，OP整理得的垂线，垂足为Q，且QP ＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为 解析：选 设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵QP·QF＝FP·FQ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)2(y＋1)＝x2－2(y－1)x2＝4yPC[类题通法0[典例 MNPC[解 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径PP(x，y)PMNCM，N2，短半轴长为3椭 (左顶点除外)，其方程为43CP(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.l90°ly轴重合，可得|AB|＝23.l90°r1≠RlxlxQ，则±R，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得 ＝1，解得k＝± 2

2k＝4y＝4x＋2代入43＝17x

－4±62.所以 1＋k2|x－x

7k＝－2时，由图形的对称性可知 77综上，|AB|＝23或7M，NM：(x＋4)2＋y2＝2＝2C的方程解：P∴|PM|＝r＋2，|PN|＝r－∴|PM|－|PN|＝22∴2由双曲线定义知，PM、N∵a＝∴方程为x2y2＝1(x≥ [类题通法[针对训练已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( A．y B．y C．x D．x －|BF|＝|BC|－|AC|＝2FA，B2 7，a＝1，b＝48Fy [典例 已知椭圆4＋9＝1上任一点P，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，设点PQPM＝2MQM(1)C (2)过点D(0，－2)作直线l与曲线C交于A，B两点，设N是过点 且平行于

＝OA

OANBl (1)设M(x，y)是曲线C上任意一点，因为PM⊥x轴，PM＝2MQ，所以点P的又

P在椭圆49＝1上，所以4＋9＝1C的方程是4＋y(2)lly＝kx－2lA(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由4

得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0＋x2＝16k，x1x2＝12 Δ＝162k2－48(1＋4k2)＞0k2＞3k＞3k＜－ 2因 ＝OA＋OB，所以四边形OANB为平行四边形OANB是矩形，则OA·OB即x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝