考点02整式与因式分解-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（解析版）

考点02整式与因式分解

1cH

命题趋势

以考查整式的加减、乘除、乘法公式、幕的运算、因式分解、探究规律为主，也是考查重点，年年考查,

是广大考生的得分点，分值为12分左右。预计2022年各地中考还将继续考查基的运算性质、因式分解、

整式的化简、代入求值、探究规律，为避免丢分，学生应扎实掌握.

，知识梳理

1)代数式

代数式的书写要注意规范，如乘号"x”用表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

2)整式

1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，

数字因数叫做单项式的系数.

注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如这种表示

3

1Q

就是错误的，应写成-②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如一5a3)2。

3

是6次单项式。

2.多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的

次数，其中不含字母的项叫做常数项.

3.整式：单项式和多项式统称为整式.

4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

5.整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

+nn

6.幕的运算:a"'-a"=a"'i(d")"="""；Cab)"=〃%"；a"'^a"=a"''.

7.整式的乘法：(1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里

含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式与多项式相乘：(a+Hc)=ma+mb+mc.

(3)多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nh.

8.乘法公式：（1）平方差公式：①+份①一份=（2）完全平方公式：（a±»2=/±2"+/.

9.整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的基分别相除，作为商的因式：对于只在被除

式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项

式，再把所得的商相加.

3）因式分解

1.把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2.因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：ma+mh+mc^m（a+b+c）.

（2）公式法：运用平方差公式：/—炉=（a+h）（a一份.运用完全平方公式：a2+2ab+h2=（a+h）2.

3.分解因式的一般步骤：

（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方

公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；

（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。

以上步骤可以概括为“一提二套三检查"。

重点考向

考向1代数式及相关问题

1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.

典例引领

1.（2021•青海中考真题）一个两位数，它的十位数字是X,个位数字是V,那么这个两位数是（）.

A.x+yB.10xyC.10（x+y）D.lOx+y

【答案】D

【分析】根据两位数的表示方法：十位数字X10+个位数字，即可解答.

【详解】解：；一个两位数，它的十位数是x,个位数字是y,

.••根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：10x+y.故选：D

【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键.

2.（2021•浙江台州市•中考真题）将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖

（）

A.20%B.^-xlOO%C.^^-xlOO%D.""xlOO%

22010x+10y

【答案】D

【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解.

【详解】解：混合之后糖的含量：------------=——方xlOO%,故选：D.

x+y10x+10y

【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键.

变式拓展

1.（2021•浙江金华市・中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后

售价最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提价50%,再打六折

C.先提价30%,再降价30%D.先提价25%,再降价25%

【答案】B

【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可.

【详解】设原件为x元，：先打九五折，再打九五折，.•.调价后的价格为0.95xx0.95=0.9025x元，

:先提价50%,再打六折，调价后的价格为1.5xx0.6=0.90x元，

•••先提价30%,再降价30%，.•.调价后的价格为1.3xx0.7=0.91x元，

•••先提价25%,再降价25%，二调价后的价格为1.25XX0.75=0.9375X元，

V0.90x<0.9025.r<0.91x<0.9375x故选B

【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小

的比较是解题的关键.

2.（2021•重庆中考真题）某销售商五月份销售4、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4,A、B、C三种饮

料的单价之比为1:2：1.六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，

预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的2，B、C饮

料增加的销售额之比为2：1.六月份A饮料单价上调20%且4饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3,

则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为.

9

【答案】历

(分析】设销售A饮料的数量为3x,销售B种饮料的数量2x,销售C种饮料的数量4x,4种饮料的单价y.B、

C两种饮料的单价分别为2y、y.六月份A饮料单价上调20%,总销售额为m,可求A饮料销售额为3xy+^m,

91171

8饮料的销售额为5孙+正加，C饮料销售额：—+—m,可求加=15孙，六月份A种预计的销售额

4孙，六月份预计的销售数量与无，A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比3x:与X计算

即可

【详解】解：某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4,

设销售A饮料的数量为3x,销售8种饮料的数量2x,销售C种饮料的数量4x,

A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1.,

设4种饮料的单价y.B、C两种饮料的单价分别为2y、y.

六月份A饮料单价上调20%后单价为(1+20%)y,总销售额为m,

A饮料增加的销售占六月份销售总额的A，A饮料销售额为3xy+\〃z,

3(1、91

A饮料的销售额与8饮料的销售额之比为2：3,,8饮料的销售额为53盯+正初二不孙+而机

33

B饮料的销售额增加部分为二-4孙饮料增加的销售额为耳2—4xy

2

13一4孙+4肛=?肛+

...C饮料销售额：--

22■4-20

,191171

/.3xyn——m+—xy+—m+-xy+-一m=mm=\15Cxy

152-104-20

六月份A种预计的销售额3盯+/-x15肛=4盯，六月份预计的销售数量4肛+(l+20%)y=Wx

1099

饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比3x:—x=9:10=二故答案为二

31010

【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握

销售额=销售单价x销售数量是解题关键

考向2整式及其相关概念

单项式与多项式统称整式.

观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，

相同字母的指数是否相同.

多项式的次数是指次数最高的项的次数.同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数

是否相同.

考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数

的次数是0.

典例引领

1.（2021•上海中考真题）下列单项式中，/匕3的同类项是（）

3212

A.abB.2a护C.abD./

【答案】B

【分析】比较时应字母的指数，分别相等就是同类项

【详解】•••”的指数是3,6的指数是2,与中“的指数是2,〃的指数是3不一致，

不是的同类项，不符合题意；

•.Z的指数是2,人的指数是3,与中〃的指数是2,6的指数是3一致，

/.2a2b3是a2b3的同类项,符合题意；

•••”的指数是2,〃的指数是1,与/83中。的指数是2,。的指数是3不一致，

不是//的同类项，不符合题意；

•••”的指数是1,人的指数是3,与二/中。的指数是2,匕的指数是3不一致，

.♦・a/不是的同类项，不符合题意；故选B

【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键.

2.（2021•海南中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（）

2

A.x+lB.盯C.巧D.-3尤

【答案】B

【分析】根据单项式的定义、单项式次数的定义逐项判断即可得.

【详解】A、无2+1是多项式，此项不符题意：B、孙是二次单项式，此项符合题意；

C、fy是三次单项式，此项不符题意；D、-3%是一次单项式，此项不符题意；故选：B.

【点睛】本题考查了单项式，熟记定义是解题关键.

3.（2021山东•中考模拟）如果整式》"-2一5/+2c是关于x的三次三项式，那么〃等于

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】根据多项式次数的定义得到〃一2=3,解得：片5.故选C.

变式拓展

1.（2021•青海中考真题）已知单项式2。%2"+7与3a2,为"+2是同类项，则机+〃=.

【答案】3

【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出〃?，”的值，再代入代数式计算

即可.

【详解】解：；单项式2不/尸，"+7与3a2»"+2是同类项，.♦.2,片4,〃+2=-2加+7,

解得：m=2,n=l,则，"+“=2+1=3.故答案是：3.

【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点.

2.（2020•四川绵阳市•中考真题）若多项式与…+（〃-2）一2+1是关于的三次多项式,则〃?〃=.

【答案】0或8

【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案.

【详解】解：..•多项式2比歹+1是关于X,y的三次多项式，

：.n-2=0,1+|”?-〃卜3,〃=2,I机-〃卜2,

.,./”一〃=2或加=2,，%=4或/%=0,\〃加=0或8.故答案为：0或8.

【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键.

考向3规律探索题

解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、

比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.

典例引领

1.（2021•山东济宁市•中考真题）按规律排列的一组数据：：1，3一，口，7—,9—,1一1，…，其中□内应

25172637

填的数是（）

2551

A.-B.—C.-D.一

31192

【答案】D

【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方+1，根据规律即可得到答案.

2n-l

【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方+1，..・第〃个数据为：一—

H+1

当〃=3时W的分子为5,分母为32+1=10,这个数为之=,故选：D.

102

【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键.

2.（2021•湖北随州市•中考真题）根据图中数字的规律，若第〃个图中的4=143,则P的值为（）

【答案】B

【分析】分别分析〃的规律、。的规律、的规律，再找〃、p、q之间的联系即可.

【详解】解：根据图中数据可知：〃=1,2,3,4,p=l2,22,32,42,……

^^22-1,32-1,42-1,52-1,....则p=〃2,q=（〃+l）2-l,

•第1个图中的4=143,夕=（〃+1）2—1=143.

解得：〃=11或〃=—13（不符合题意，舍去）="=121,故选：B.

【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键.

3.（2021•江苏扬州市♦中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1,

3,6,10,……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第

33个数为.

①«

【答案】1275

【分析】首先得到前〃个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第〃个图形中的黑色圆点的个数为

“5+D,再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3

2

整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可.

【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1,

第②个图形中的黑色圆点的个数为：°+2）X2=3,

2

第③个图形中的黑色圆点的个数为：（"J、,

2

第④个图形中的黑色圆点的个数为：。+4）睨=］（）,...

2

第"个图形中的黑色圆点的个数为川””，

2

则这列数为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91.......

其中每3个数中,都有2个能被3整除,33+2=16...1,16x3+2=50,

则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即竺|卫=1275,故答案为：1275.

【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.

变式拓展

1.（2021•湖北十堰市•中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列

的数为27,则位于第32行第13列的数是（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【分析】根据数字的变化关系发现规律第"行，第〃列的数据为：2〃（〃-1）+1,即可得第32行，第32列的

数据为:2x32x（32-1）+1=1985,再依次加2,到第32行，第13列的数据，即可.

【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第〃行，第，1列的数据为：

.,.第32行,第32列的数据为:2x32x(32-1)+1=1985,

根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2,

.•.第32行,第13列的数据为：1985+2x(32-13)=2023,故选:B.

【点睛】本题考查数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题.

2.（2021•内蒙古中考真题）将一些相同的按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“O”的个数,

则第30个“龟图”中有,个“O”.

OOO

OOOOOOOO

OOO

OOOOOOOO

OOo°oooooo

⑴⑵⑶(4)

【答案】875

【分析】设第〃个“龟图”中有小个“O”（〃为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“O”个数的变化可找

出变化规律2f+5（〃为正整数）“，再代入"=30即可得出结论.

【详解】解：设第〃个“龟图”中有如个“O”（〃为正整数）.

观察图形，可知：0=1+2+2=5,6=1+3+12+2=7,“3=1+4+22+2=11,44=1+5+3?+2=17,…，

二斯=1+（〃+1）+（n-1）2+2=n2-«+5（"为正整数）,；.凝=302-30+5=875.故答案是：875.

【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“O”个数的变化找出变化规律“小="-〃+5（〃

为正整数）”是解题的关键.

3.（2021•山东临沂市•中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，

后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系.下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此

可计算32mg镭缩减为Img所用的时间大约是（）

8100年D.9720年

【答案】C

【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案.

【详解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的;，

再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的;=5,

再经过1620x2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的［=5,

,再经过1620x4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的*=',此时32x*=1mg,故选C.

【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键.

4.（2021•安徽中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而

成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.

［观察思

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角

形地砖有8块（如图3）；以此类推，

图1图2图3

［规律总结］（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块;

（2）若一条这样的人行道一共有〃（〃为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为_（用含

〃的代数式表示）.

［问题解决］（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖

剩余最少，则需要正方形地砖多少块？

【答案】（I）2；（2）2〃+4；（3）1008块

【分析】（1）由图观察即可；（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题

干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；

（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量.

【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；故答案为：2；

（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4：

所以当地砖有〃块时，等腰直角三角形地砖有（2〃+4）块；故答案为：2〃+4；

（3）令2〃+4=2021则n=1008.5

当"=1008时，2〃+4=2020此时，剩下一块等腰直角三角形地砖...需要正方形地砖1008块.

【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元••次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、

发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等.

考向4暴的运算

塞的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算

的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理.

典例引领

1.（2021•湖北襄阳市•中考真题）下列计算正确的是（）

A.a3-i-a3=aB.a3-a3=ahC.„=/D.（加）=abh

【答案】B

【分析】根据同底数'累的乘除法法则，累的乘方法则，积的乘方法则，逐一判断选项，即可求解.

【详解】解：A./+a3=i，故该选项错误，B.标./=。6,故该选项正确，

C.,3）3="9,故该选项错误，D.,方3）2=。2分6,故该选项错误，故选B.

【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数塞的乘除法法则，写的乘方法则，积的乘方法则，是解题

的关键.

2.(2021•广东中考真题)已知9"'=3,27"=4,则32'"3"=()

A.1B.6C.7D.12

【答案】D

【分析】利用同底数基乘法逆用转换求解即可.

【详解】解：•••9"'=3,27"=4，/-32m+3n=32"'x33"=(32)mx(33)"=9"'x27"=3x4=12,二故选：D.

【点睛】本题主要考查同底数事乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键.

3.(2021•湖南永州市•中考真题)若X,y均为实数，43*=2021，47'=2021，则43孙Z7”="；

11

一+—=_______.

xy

【答案】20211

【分析】根据同底数塞乘法、积的乘方、器的乘方等计算法则进行等量代换即可.

【详解】解：：43'=2021.47,'=2021；•(43)=202V,(47»=2021\

43取.47孙=(43)x(47)=2021'x202。=2021f,故答案为:2021；

43'九47*=(43x47)个=2021°,即202产=2021»，

11x+y,

二孙=x+>,，一+—=-^=1,故答案为：1.

xy孙

【点睛】本题主要考查同底数幕乘法、积的乘方、募的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是

解决本题的关键.

变式拓展

1.(2021•陕西中考真题)计算：=()

1«,1

A.俞B.ab-C.前D.-2a3/?

【答案】A

【分析】根据积的乘方，慕的乘方以及负整数指数幕运算法则计算即可.

=',故选：4

【详解】解:（明-2

【点睛】本题考查积的乘方，幕的乘方以及负整数指数累等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题

的关键.

13

2.（2021•四川泸州市•中考真题）己知10"=20，100"=5（），则-4+"一的值是（）

22

59

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】C

【分析】根据同底数鼎的乘法10"•100〃=1。3,可求。+»=3再整体代入即可.

【详解】解：'TO"=20,100"=5（），；•10"•100"=10"2〃=20x50=1000=103，

1311

ci+2Z>—3»-4+〃+万=—（a+2/?+3）=—（3+3）=3.故选：C.

【点睛】本题考查幕的乘方，同底数累的乘法逆运算，代数式求值，掌握'累的乘方，同底数基的乘法法则，

与代数式值求法是解题关键.

3.（2020•河南中考真题）电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位，其中

1GB=2"，=T。KB,1KB=2">B,某视频文件的大小约为1GB,1G8等于（）

A.2XBB.83OBC.8X10'°BD.2X1030B

【答案】A

【分析】根据题意及塞的运算法则即可求解.

【详解】依题意得1GB=2'°MB=2l0x2l0A：5=210x2随x2"’8=23°8故选A.

【点睛】此题主要考查累的运算，解题的关键是熟知同底数累的运算法则.

考向5整式的混合运算

整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；

多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变

化，最后把所得式子化简，即合并同类项.

典例引领

1.（2021•江苏常州市•中考真题）计算：2a2—（/+2）=

【答案】a2-2

【分析】先去括号，再合并同类项，即可求解.

【详解】解：原式=2。2一“2一2="一2，故答案是：“2一2.

【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键.

01

2.(2021•湖南长沙市•中考真题)先化简，再求值：(x—3)-+(x+3)(x—3)+2x(2—x),其中户-储

【答案】—2x,1.

【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将无的值代入即

可得.

【详解】解：原式=%2_6X+9+X2_9+4X_2X2,=—2X,

将x=-g代入得：原式=-2彳=-2*[-£]=1.

【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键.

变式拓展

1.(2021•湖北荆州市•中考真题)若等式2a2.。+()=3/成立，则括号中填写单项式可以是()

23

A.aB.aC.aD.1

【答案】C

【分析】根据同底数幕的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解.

【详解】解：•.•3/22”=3。3-2/=。3,等式2a2“+(/)=3/成立,故选C.

【点睛】本题主要考查整式的加减运算，掌握同底数幕的乘法法则以及合并同类项法则，是解题的关键.

2.(2021•贵州中考真题)(1)有三个不等式2%+3(一1,一5»15,3(%-1)>6,请在其中任选两个不等式，

组成一个不等式组，并求出它的解集：

(2)小红在计算a(l+a)—(a—I1时，解答过程如下：

a(l+«)-(a-l)2

=a+a2-(a2-\)第一步

=。+Y一。2一1第二步

=a-\第三步

小红的解答从第步开始出错，请写出正确的解答过程.

【答案】（1）x<-3：（2）第一步，正确过程见详解

【分析】

（1）先挑选两个不等式组成不等式组，然后分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可；

（2）根据完全平方公式、去括号法则以及合并同类项法则，进行化简，即可.

⑵+3<-1①

【详解】解：（1）挑选第一和第二个不等式，得广…，

-5x〉15②

由①得：x<-2,由②得：x<-3,.•.不等式组的解为：x<-3：

（2）小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如卜：

a（l+a）-（a-1）2=。+/-（〃-2。+1）=a+a2-a2+2a-\^3a-[.故答案是：第一步

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组以及整式的混合运算，掌握解不等式组的基本步骤以及完全平

方公式，是解题的关键.

考向6因式分解

因式分解的概念与方法步骤

①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算.符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形

式.

②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.

③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解

必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如

果没有两数乘积的2倍还不能分解.

一“提”（取公因式），二“用''（公式）.要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全

平方公式.

典例引领

1.（2021•山东荷泽市•中考真题）因式分解：—a3+2/—a=.

【答案】—a（a—I）2

【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可

【详解】：+2/—a=-"(4——2a+1)=-a(a—1)-故答案为：—a(a—1)_.

【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键.

2.(2021•四川广安市•中考真题)若X、>满足｛:.，则代数式4y2的值为______.

x+2y=3

【答案】-6

【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可.

【详解】解：".'x-2y=-2,x+2j=3,；./的2=(x+2y)(x-2y)=3x(-2)=-6,故答案为：-6.

【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解

题关键.

3.(2020•四川内江市•中考真题)我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=mxn(〃?，„

是正整数，且，〃<〃)，在X的所有这种分解中，如果"两因数之差的绝对值最小，我们就称"2X〃是X

的最佳分解.并规定：/,(%=-.

n

例如：18可以分解成1x18,2x9或3x6，因为18—1>9—2>6-3,所以3x6是18的最佳分解，所以

T.I

/(18)=|=-.⑴填空：/(6)=；/(9)=；

o2

(2)一个两位正整数f(f=10a+。，l<a<h<9,a,6为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数

字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数；并求的最大值；

(3)填空：①/(22X3X5X7)=；②/(23X3X5X7)=；

③了(24x3x5x7)=；©/(25X3X5X7)=.

2/、420142014

【答案】(1)—:1；(2)I为39,28,17；的最大值一；(3)—,—,—,一

37721152115

2

【分析】⑴6=1X6=2X3,由已知可求〃6)=葭9=lx9=3x3,由已知可求/(9)=1；

(2)由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b+aT0a-b=9(b-a)=54,得到b-a=6,可求

t的值，故可得到的最大值；

(3)根据〃x)=—的定义即可依次求解.

n

2

【详解】(l)6=lx6=2x3,；6-1>3-2,.../(6)=§；

2

9=lx9=3x3,V9-1>3-3,A/(9)=1,故答案为：y：1；

(2)由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b+aT0a-b=9(b-a)=54,b-a=6,

Vl<a<b<9,，b=9,a=3或b=8,a=2或b=7,a=l,为39,28,17；

V39=1x39=3x13,/(39)=卷；28=1x28=2x14=4x7,/(28)=；

17=1x17,417)=，；的最大值，

nn

⑶①：22x3x5x7=20x21；./(22x3x5x7)=—；

②23x3x5x7=28x30；./Q3x3x5x7)=||=

4020

③：24x3x5x7=40x42/./(24x3x5x7)=—=—；

④：25x3x5x7=56x60.\x3x5x7)=而=*,故答案为：-,

【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求

解是解题的关键.

变式拓展

1.(2021•黑龙江绥化市•中考真题)在实数范围内分解因式：ab2-2a=

【答案】及)仍-0).

【分析】利用平方差公式。2-〃=3+与(。一份分解因式得出即可.

【详解】解：a/-2a=a(2-2)=a(b+e)(b-6)故答案为:a(b+6)(b-五).

【点睛】此题主要考查了利用平方差公式〃-匕2=3+6)3-切分解因式,熟练应用平方差公式是解题关键.

2.(2020•柳州市柳林中学中考真题)下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是()

A.a2-b2B.-a2-b2C.c^+b2D.a2+2ab+b2

【答案】A

【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：A、分符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；

8、-层-从两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；

C、4+加两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；

。、/+246+62是三项，不能用平方差公式进行因式分解.故选：A.

【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解.熟记平方差公式的结构特点是解题的关键.平方差公式:

a2—b1=(a+/?)(«-/?).

3.(2021•湖北十堰市•中考真题)已知肛=2,x-3y=3,则2dy—12x2y2+i8孙3=

【答案】36

【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可.

【详解】•••町=2/—3丁=3,.♦.原式=2肛(x—3yp=2x2x32=36,故答案是：36.

【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键.

考向7乘法公式的几何背景与运用

完全平方公式的运用主要考查是“知二求二”、参数问题与最值问题，乘法公式的几何背景为素材的题型

近年来考查也比较多。

典例引领

1.(2021•浙江台州市•中考真题)已知(a+b)三49,a2+b2=25,则ab—()

A.24B.48C.12D.276

【答案】C

【分析】利用完全平方公式计算即可.

,49-25

【详解】解：+。2+2ah=49,a2+b2=25<=---=12,故选：C.

【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键.

2.(2021.安顺•中考模拟)若f+2(/”一3)x+16是关于x的完全平方式，则加=.

【答案】7或-1

【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2(m-3)=±8,进而求出答案.

【解析】'."x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式，，2(m-3)=±8,

解得：m=-l或7,故答案为-1或7.

点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键.

3.（2020•宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾

股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1）,且大正方形的

面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边为m较长直角边为江如果将四个全等的直角

三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为一.

【答案】27

【分析】根据题意得出a2+b2=15,（b-a）2=3,图2中大正方形的面积为：（a+b）2,然后利用完全平方公式

的变形求出（a+b）2即可.

【详解】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15,（b-a）2=3,

图2中大正方形的面积为：（a+b）2,

（b-a）2=3a2-2ab+b2=3,15-2ab=32ab=12,

（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27,故答案为:27.

【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键.

变式拓展

1131

1.(2021•广东中考真题)若％+—=，且0<x<l,则—--?=.

X6JT

【答案】一线

36

11Q1751

【分析】根据X+±=今，利用完全平方公式可得(％—上)2=W，根据X的取值范围可得X-上的值，利

x6x36x

用平方差公式即可得答案.

.、人”.一113.11、2,125

［讣解］.xH———,..z(x—)2=(zxH—)—4x———,

x6xxx36

..八,.1.15.21,I1、13,5、65—65

•0<X<1,..X<•—,..X--=---,..X----=(XH—)(x—)=—X(--)=----.故答案为：-----

xx6x2xx663636

【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键.

2.（2020•湖南郴州市•中考真题）如图1，将边长为X的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），

并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列

哪个等式（）

1

（图1）（图2）

A.x~—2x+l=（x—1）"B.x?—l=（x+l）（x—1）C.r+2x+1=（x+1）-D.—x——x（x—1）

【答案】B

【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可.

【详解】第一个图形空白部分的面积是X2-1,第二个图形的面积是（X+1）（X-1）.

则x2-l=（x+l）（X-1）.故选：B.

【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键.

3.（2021•河北中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.

（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，

先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片块.

【答案】a2+b24

【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；

（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可.

【详解】解：（1）•••甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为。,匕

•••取甲、乙纸片各1块，其面积和为"+〃；故答案为：a2+h2

（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为

/+4/,若再加上4曲（刚好是4个丙），贝+则刚好能组成边长为a+2）的

正方形，图形如卜所示，所以应取丙纸片4块.故答案为：4.