高三第一轮复习数学

高三第一轮复习数学---圆锥曲线的综合应用（2）一、教课目的：进一步稳固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．二、教课要点：稳固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．三、教课过程：（一）主要知识：（二）例题剖析：[例1]（xx全国高考）已知抛物线y22px(p0)的弦AB过抛物线的焦点，C点在抛物线的准线上，BC//x轴，证明：直线AC过原点。（目的：进一步商讨抛物线的几何性质）【分析】利用方程求解由于抛物线y22px(p0)的焦点坐标是F(p,0)设直线AB的方程是：xmyp22代入抛物线方程得：y22pmyp20，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则C点坐标为(p,y2)2则y1y2p2,y122px1,y222px2由于BC//x轴，C点在抛物线的准线上，直线CO的斜率kCOy22y22py1kAO，因此直线AC过原点。ppy1x12（解法二）向量法[例2]如图，垂直于x轴的直线l于与圆F:x2y22xuuuruuurPQ⊥l于Q，且PQ2PF.（Ⅰ）求点P的轨迹方程;（Ⅱ）过圆心F作直线交点P的轨迹于A、B两点,uuuruuuruuur若AO3OF2OB，求点A、B的坐标.

0相切，P为坐标平面内一动点，ylPQ（目的：综合运用直线、圆、椭圆的几何性质解决有关问题）【分析】（Ⅰ）由条件，eF:(x1)2y21F(1,0)

OF

xuuuruuury2x2化简得设点P(x,y)QPQ2PF2(x1)2因此，x2y21即为所求点P的轨迹方程。2（Ⅱ）设过F的直线方程为l:yuuuruuuruuurk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)，由于AO3OF2OB可知k存在，且有(x1,y1)(3,0)2(x2,y2)x12x23(1)y12y20yk(x1)2222222又有x2k(x0即(12k)x4kx2k20x2y21)212x1x22k22且V8k212k280(2)由（1），（2）4k2x1x212k2x12k222k2327114514得k2k232,A(,),B(,8)x22442k21uuuruuur1成立如下图的直角坐标系。[例3]已知VOFQ的面积为S，且OF?FQ（I）若(II）设

1uuuruuurS,OF2求向量FQ所在的直线方程；2uuuruuurc(c2),S3c,若以O为中心、F为焦点的椭圆经过点OFQ，求当OQ4获得最小值时，椭圆的方程。（目的：综合运用函数的性质、向量、导数的有关知识、方法解决问题）【分析】I）设Q(x0,y0)uuuruuuruuurQOF2,F(2,0)OF(2,0),FQ(x02,y0)uuuruuur5,OF?FQ2(x02)1,x0uuur2111151S?OF?y0?2?y0,y0,Q(,)222222uuurx2或FQ所在的直线方程为yyx2。uuurc,F(c,0),uuur(x0c,y0),uuuruuurc(x0c)1x01(II）QOFFQOF?FQcc又S13y03Q(c13uuur21)29?c?y0c,,,).OQ(c4242c2c令g(c)12),则'(c)11,Qc'(c)0,g(c)在[2,]c(cgc22,gc5.此时cuuurQ(5,3).g(c)ming(2)上递加，2,OQ取最小值，222由题意，设椭圆方程x2y21(ab0)a2b2[例4]已知：VOPF面积为uuuruuur2,以O为中心，F为焦点的双曲线过点3,OF?FPP。（I）求OFP的大小；(II）若P点到中心O的距离为P点到两焦点距离的比率中项，请成立适合的坐标系，写出双曲线的方程【分析】设1OFP,OFc,PFm,2C?msin3,tan3,1200,c?mcos()2即OFP1200,（2）以O为坐标原点，OF所在直线为x轴成立直角坐标系，设双曲线方程为222xy1(a0,b0),F点对于O的对称点为F'，PF'm?n,n,则据题知：POa2b21c?m41由（）得（），又2OF222OF?PFcosOFPc2m24,mnc2m24(2)POPFQ(2PO)2(2OF)22PF'224mn4c22n22m2,2PF,即(nm)22c2,Qnm,nm2c(3),Qnm2a,a2c,Qb2c2a2,2b2c,由（1），（2），（3）可得c2424,a2b2222.因此曲线方程为x22y21.222222（三）稳固练习：1．以过椭圆的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的地点关系为（）（A）订交（B）相切（C）相离（D）不可以确立（目的：理解并引申以过焦点弦为直径的圆与圆锥曲线相应准线的地点关系）【答案】（C）【分析】利用椭圆的第二定义及离心率小于1的特征。x2y22．双曲线a2b21的离心率e2，焦点到此中一条渐进线的距离为2，A、B是双曲线上对于y轴对称的两点，O为坐标原点，则uuuvuuuvOA?OB等于（）（A）4（B）4（C）2（D）2（目的：掌握等轴双曲线的离心率、渐进线的特点及其对称性）【答案】（A）【分析】由e2得ab由焦点到渐进线的距离为2，得b2故双曲线的方程为x2y24,设A(x,y)则B(x,y)，uuuruuurx2y24OA?OB3．抛物线y22px(p0)的动弦AB长为a(a2p)，则AB中点M到y轴的最短距离是（）（A）a（B）p（C）ap（D）ap2222（目的：理解并掌握抛物线的定义）【答案】（D）【分析】Qa2p,利用抛物线的定义可得。x2y21(ab0)，F为左焦点，A为左极点，B为上极点，C为下顶4．已知椭圆b2a2uuuruuur0则椭圆的离心率为点，且AB?CF。（目的：掌握利用条件列出a,b,c的关系，进而求出离心率）15【答案】e2【分析】uuuruuur20a2c2ac0A(a,0),B(0,b),C(0,b),F(c,0)QAB?CF0acb解出e。5．双曲线

G

的中心在原点，以坐标轴为对称轴，而且与圆

x2

y2

17的一个交点为A(4,1)，假如圆在

A点的切线与

G的渐进线平行，则

G的方程是

。（目的：利用渐进线求双曲线方程）【答案】

16x2

y2

255【分析】圆x2y217在A点的切线方程为4xy17，设G的方程为(4xy)(4xy)(0)QG过点A(4,1)255四、小结：1、与圆锥曲线的几何性质有关的问题有“中点弦”问题、对称性问题、最值问题等，若条件和结论能显然表现几何特点及意义，则考虑用图形性质