函数的极大值与极小值

关于函数的极大值与极小值第1页，共16页，2023年，2月20日，星期三知识回顾：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间如果f′(x)>0,如果f′(x)<0,则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.第2页，共16页，2023年，2月20日，星期三根据导数确定函数的单调性的步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)>0,得函数单增区间;

解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.当x=x0时,f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时f′(x0)异号，则函数在该点单调性发生改变.第3页，共16页，2023年，2月20日，星期三第4页，共16页，2023年，2月20日，星期三一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值.（一）、函数极值的定义新课第5页，共16页，2023年，2月20日，星期三1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。注意2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。第6页，共16页，2023年，2月20日，星期三3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而第7页，共16页，2023年，2月20日，星期三（二）、极值与导数的关系XX1左侧X1X1右侧增极大植f(x1)减XX2左侧X2X2右侧减极小植f(x2)增极大值与导数之间的关系极小值与导数之间的关系第8页，共16页，2023年，2月20日，星期三（三）、导数的应用例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.解：第9页，共16页，2023年，2月20日，星期三(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.小结：求函数f(x)的极值的步骤:(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点？)第10页，共16页，2023年，2月20日，星期三解：当x变化时，y′，y的变化情况如下表例２：求的极值令y′=0，解得x1=－2，x2=2x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0－0+↗极大值↘极小值↗∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=当x=2时，y有极小值且y极小值=第11页，共16页，2023年，2月20日，星期三第12页，共16页，2023年，2月20日，星期三练习第13页，共16页，2023年，2月20日，星期三∴a=2.例4:函数在处具有极值，求a的值分析：f(x)在处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，可求出a的值.解：∵，∴第14页，共16页，2023年，2月20日，星期三五、课堂小结(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.求函数f(x)的极值的步骤:(1)求导数f′(x