函数奇偶性的应用

关于函数奇偶性的应用第1页，共22页，2023年，2月20日，星期三1．函数奇偶性的概念(1)偶函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的

一个x，都有

，那么称函数y＝f(x)是偶函数．(2)奇函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的

一个x，都有____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．任意f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝-f(x)走进复习

一、基础知识：

第2页，共22页，2023年，2月20日，星期三2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:（1）考查定义域是否关于______对称；（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数；若f（-x）=________，则f（x）为偶函数；若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是奇函数又是偶函数；

原点-f（x）f（x）-f（x）f（x）3．奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于

对称．(2)奇函数的图象关于

对称．y轴原点第3页，共22页，2023年，2月20日，星期三4．奇函数的图象一定过原点吗？【提示】不一定．若0在定义域内，则图象一定过原点，否则不过原点．5．由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想到什么简便方法？【提示】若函数具有奇偶性，作函数图象时可以先画出x>0部分，再根据奇偶函数图象的对称性画出另一部分图象．第4页，共22页，2023年，2月20日，星期三第5页，共22页，2023年，2月20日，星期三第6页，共22页，2023年，2月20日，星期三分段函数奇偶性判断判断函数的奇偶性

第7页，共22页，2023年，2月20日，星期三

走进课堂一、函数奇偶性概念的应用：第8页，共22页，2023年，2月20日，星期三第9页，共22页，2023年，2月20日，星期三相同相反二、函数奇偶性的图像特征：第10页，共22页，2023年，2月20日，星期三函数奇偶性与最值之间的关系若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是

，且有

，最小值和最大值和为

。

最小值－M增函数0第11页，共22页，2023年，2月20日，星期三问题：在例1（1）、（2）、（3）中，若是偶函数，结论又如何？第12页，共22页，2023年，2月20日，星期三例3、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①函数f(x)是R上的奇函数；②x>0时f(x)的解析式已知．解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．三、利用奇偶性求函数解析式：第13页，共22页，2023年，2月20日，星期三第14页，共22页，2023年，2月20日，星期三此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)＝0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？第15页，共22页，2023年，2月20日，星期三第16页，共22页，2023年，2月20日，星期三小结：1、利用概念求参数（可能用到方程思想）2、函数奇偶性的图像特征：（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同（2）偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（3）若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值

M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M

，最小值和最大值和为0。3、求函数的解析式－－－求谁设谁

第17页，共22页，2023年，2月20日，星期三第18页，共22页，2023年，2月20日，星期三函数单调性和奇偶性与抽象不等式例4、已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数x的取值范围．【思路点拨】f(x－1)＋f(1－2x)<0―→f(x－1)<f(2x－1)―→根据单调性列不等式组―→解得实数x的取值范围第19页，共22页，2023年，2月20日，星期三第20页，共22页，2023年，2月20日，星期三解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．(2).若偶函数