安徽省蒙城五校2021-2022学年高三上学期第一次联考理科数学试题（含答案与解析）

蒙城一中涡阳一中淮南一中怀远一中颍上一中

2022届高三第一次五校联考试题

数学（理科）

（时间：120分钟分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合加=卜卜=ln(x-l)},N={y[y=e],则(Q")r|N=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(0,1]D.[0,1]

2.已知复数z=l+i，则在复平面内表示复数五义的点位于（）

Z

A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限

3.若则下列不等式成立的是（)

A.cr<b1B.ab>a2

11

C.-<-D.ac2>be2

ab

x-y+l>0

4.已知实数x,y满足rx+yzo，则由该不等式组确定可行域的面积为（

x<0

111

A.1B.-C.—D.一

34

,11

v

5.已知命题P：3x0>l,log,%^-.命题q：VxeR,e>x+-;则下列说法中正确的是（）

422

A.是彳段命题B.，人4是真命题

C.〃是假命题D.-是真命题

6.已知向量£=(1,2X),万=(0,2),则竺的最大值为()

a

A.2夜B.2C.72D.1

7.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，已知§4=0,%=5,则()

2

A.an=2M+5B.Sn=n-4n

2

C.an=3〃-10D.Sn=2n-8n

8.将函数/(x)=2sin(；x+?)的图像向右平移4f个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的

g倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，若对任意的xeR均有g(x)Zg住］成立，则

y=g(x)的图像()

7171

A.关于x=一二对称B.关于x=-r对称

6

C.关于对称D.关于0对称

(37

(x+4)一,-5«x<-3

已知函数/(x)=,,若函数g(x)=/(x)-logjx|有9个零点，则实数a的取值

/(x-2),x>-3

范围为(

A(5,7)B.(5,7]C.(9,11]D,(9,11)

乃3冗(27r、

10.已知函数〃X)=COSX+X2-2%X定义城为gW,则不等式/|口-+*>/(乃-X)的解集为

-22」137

()

7171、「乃乃、7T7T~\(7C

L66)L26)162」14」

11.给出下列命题：①函数/(x)=tanx图像的对称中心为(Z%,0)(ZeZ)；②已知的内角A,

B,C的对边分别为“，b,c.则a</?是cosA>cos8的充要条件；③若函数

202F-l

〃x)=3+最小值分别为m,〃，则

2021'+1

m+n=6；④已知函数/(x)=cosxsin2x,则〃x)的最大值为竽.以上命题中正确的个数为()

A.OB.1C.2D.3

12设a=221n20,Z?=211n21,c=201n22,则()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>h>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.匕＞J\-x2dx=.

14.曲线/（x）=e”cosx+l在点（0"（0））处切线方程为.

兀44

15.已知0＜二＜5＜/＜兀，又cosa=y,cos(a+/)=-g,则sin/?=

16.正项数列｛qj满足q=1,%=2.又｛、砧:｝是以g为公比的等比数列，则使得不等式

1314J+-5-+…+」一＜2021成立的正整数〃=.

a\a?a2n+\

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

17.设命题，：函数_/■（x）=l。g“（x2—分+l）定义域为R；命题公去eR使不等式3、一9*2a能成立.

（1）若命题夕为真命题，求实数。的取值范围；

（2）若命题（r〃）vq为假命题，求实数a的取值范围.

18.己知AABC的内角A,B,C的对边分别为“，b，。，向量

ex-（c,a）,e2=Icos（C--）,sinA1,^//e2.

（1）求角C；

乃

（2）若ccos8+OcosC=l,且/4=—,求△ABC面积S.

4

19.已知函数/（x）=d—（%一1）%—alnx,其中awR.

（1）求函数y=/（x）的极值；

（2）若函数/（x）有两个不同的零点，求实数”的取值范围.

20.淮南市位于安徽省中北部，地处长江三角洲腹地，淮河之滨，素有“中州咽喉，江南屏障”、“五彩

淮南”之称，是沿淮城市群的重要节点，如图所示，淮南市准备在淮河的一侧修建一条直路。C,另一侧

修建一条观光大道，它的前一段。。是以。为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段

加是函数小）"加++＞。,…闸＜394,81时的图像，有

归苧，且最高点8与点。的距离为DFLOC,垂足为「

(1)求函数卜=Asin(cox+e)的解析式；

(2)若在淮河上修建如图所示的矩形水上乐园R0FE，问点P落在曲线。。上何处时，水上乐园的面积

最大？

21.若数列｛4｝满足4+1=A：,则称数列｛4｝为“平方递推数列”.已知数列｛4｝中，6=9,点

(a,,，4+J在函数〃力=犬+2》的图象上，其中〃为正整数.

(1)证明数列｛q+1｝是“平方递推数列”，且数列｛怆(%+1)｝为等比数列；

(2)设(1)中“平方递推数列”的前〃项积为T“，即7；=(4+1)(%+1)…(4+1)，求怛却

(3)在(2)的条件下,记，求数列｛〃｝的前〃项和S..

lg(4+l)'

丫一]

22.已知函数"X)=E*(X>1).

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)已知2>0,若关于X的不等式2/卜")也%一为2+120在区间(1,+8)上恒成立，求2的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合“=卜卜=ln(x-l)｝,N=｛y[y=e*｝,则(QA/)flN=()

A.(-1,0)B,(0,1)C.(0,1]D.[0,1]

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数y=ln(x—1)的定义域和函数、=/的值域，化简集合M,N,再利用补集及交集定

义，即可求解.

【详解】•.•M=｛x|y=ln(x—l)｝=(l,+oo),N=｛y[y=e*｝=(0,+oo),

.•4M=(—8,1],(《M)r|N=(O』.

故选：C.

77—2i

2.已知复数z=I+i,则在复平面内表示复数------的点位于()

Z

A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的乘法及除法运算可得77三—2心1二-2i,即得.

z

【详解】・・,复数z=l+i,

.z]_2i_(l+i)(l—i)_2i2_2i2(l—i)2,

"-z1+i-1+i-(l+i)(l-i)1'

在复平面内表示复数三三•的点位于虚轴上.

z

故选：B.

3.若。>〃>0,则下列不等式成立的是()

A.a2<b2B.ah>a2

八11,

C.—<—D.ac~>be"

ab

【答案】C

【解析】

【分析】利用不等式的基本性质依次判断选项即可.

【详解】对于A,由a>b>0,知/>〃，故A错误；

对于B,由。>。>0,知次><。2,故B错误；

对于C,由。>〃>(),知一<一,故C正确；

ab

对于D,由a>h>0,c?20知2旅2,故D错误；

故选：C

x-y+l>Q

4.已知实数X,>满足(x+yNO,则由该不等式组确定的可行域的面积为

()

x<0

1

D.-

4

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式组画出可行域，结合三角形的面积公式计算即可.

【详解】由不等式组画出表示的平面区域，如图，

结合图形可知，S/B0=gxlxg=；.

故选：D

5.已知命题P：3x0>1,log,x0>—.命题《：VxeR,e'>x+—；则下列说法中正确的是()

2

42

A.是假命题B.〃入q是真命题

C.〃人(-|f7)是假命题D.[(pvq)是真命题

【答案】C

【解析】

【分析】分别通过解对数不等式和构造函数证明不等式成立来判断命题〃和命题9的真假，然后根据选项

的组合一一验证排除，即可完成解答.

,1,1

【详解】命题P：3x0>l,logiX0>-,即log1/>log]彳，

44W2

解得0<毛<；,故该命题错误；

命题4：VxeR>e'>x4—,设函数/i(x)=e"—x—,

22

/?(%)=e'-l,VxeR,所以令/7(x)=e'-l=0,解得x=(),

在(-8,0)上，h'(x)<0,所以〃(x)单调递减，

在(0,+oo)上，h'(x)>0,所以依幻单调递增，

所以〃(尤)在x=0处取得极小值，即力(幻极小值=A(0)=e(,-0-1=l-1=|>0,

故/i(x)2/z(0)>0,所以e、>x+L,对于VxwR恒成立，该命题正确;

2

选项A,Pvq应真命题，故该选项错误；选项B,〃八4应为假命题，故该选项错误；选项C,

，人（丑）为假命题，故该选项正确；选项D,->（pvq）应为假命题，故该选项错误.

故选：C.

6.已知向量Z=（l,2x）,B=（O,2）,则丝的最大值为（）

a

A.272B.2C.72D.1

【答案】D

【解析】

a.h4x

【分析】根据题意可得一，分x40和x>0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.

/4/+1

【详解】解：由向量7=（1,2力，否=（0,2）,

/口4X

得/E，

当x«0时，坐〈0，

a

a-b4x4,4.

当了>0时，524炉+1.1-Ir,

a4x+-2J4X--

X7X

当且仅当4X=L,即x=1时，取等号，

x2

综上等的最大值为1.

a

故选：D.

7.记S“为等差数列｛叫的前“项和，己知§4=0,%=5,则（）

A.4=2"+5B.S“=〃2-4〃

C.an=3/i-10D.S“=2〃2一8〃

【答案】B

【解析】

【分析】将S4=0转化为4%+6d=0,将a5=5转化为4+44=5,然后两式联立，解得d=2以及

%=-3,最后根据等差数列通项公式以及前〃项和公式即可得出结果.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d,

则邑=4+生+%+/=44+6d=0,6=%+44=5,

4。］+6d=0

联立〈'7,解得d=2,%=-3,

q+4d=5

则a,=ciy+(〃—1)d=—3+2(〃—1)—2/2—5,

n(n-1)2a

Sn=叫+'2~~L?d-3〃+n-n=nr-4/?,

故选：B.

(\jr\

8.将函数/(x)=2sin彳x+w的图像向右平移由个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的

g倍(纵坐标不变)，得到函数N=g(x)的图像，若对任意的xeR均有g(x)2g［W)成立，则

y=g(x)的图像()

71TC

A关于x=-一对称B.关于x=一对称

612

C.关于(-对称D.关于］?,0卜称

【答案】C

【解析】

njr

【分析】根据三角函数的平移伸缩变换可得g(x)=2sin(x+一―2r),由题意可得g**。=g(一)且

66

5万

8(尤焉二-2,进而求出2，=会+2丘(人Z),利用验证法依次判断选项即可・

6

1JI

【详解】将函数/(x)=2sin(-x+-)图象向右平移4r个单位长度，

26

j7T1

得到了(x)=2sin(7X+——2，),再将图象上各点横坐标缩短为原来的;倍，

26/

TT7T

得至|J/(x)=2sin(xd----2t),即g(x)=2sin(xd----2t),

66

对任意XCRg(X)Ng(令恒成立,则g(X)min=g。)，

又g(7)=2sin成+看一2/),g(x)mm=-2,

7(’)1jl)1

所以sin(一十——2r)=-l,得一十一一2t=一一+2火万，

66662

5)

解得21=工+22乃，keZ.

6

TTTTTT57r1

A：当％=—一时，sin(-+一一2f)=sin(——+2上))=——7±1,故A错误;

66662

JT兀477C

B：当工=—时，sin(---1----2f)=sin(-----F2Z»)W±1,故B错误；

1212612

TTy/77,

C：当人=——时，sin(——+---2力=sin(一4+2女万)=0,

336

7T

所以g(x)图象关于点(-§,0)中心对称，故C正确;

D：当x=。时，sin(y+—-2r)=sin(-—+2^)=--—^0>故D错误.

故选：C

(x+4),—5<x<—3

9.已知函数/(x)=<若函数g(x)=/(%)-log“国有9个零点，则实数。的取值

/(x-2),x>-3

范围为()

A.(5,7)B.(5,7]C.(9,11]D.(9,11)

【答案】A

【解析】

【分析】原问题等价于函数y=f(x)与y=logjx|的图象有9个不同的交点，对a分0<。<1和“>1两种

情况进行讨论，分别画出两个函数的图象，利用数形结合即可求解.

【详解】解：因为X2-3时，f(x)=f(x-2),所以“X)在[-3,+8)上是周期函数，

又当一3Wx<T时，一5WX—2v—3,所以y(x)=/(x—2)=(X+2)2,所以/(x)在[-5,+8)上的

图象如图所示，

若函数g(x)=/(x)-log.国有9个零点，则函数y=/(x)与》=log小|的图象有9个不同的交点,

当0<。<1时，易得函数y=f(x)与y=log“|x|的图象有且只有2个不同的交点，不符合题意；

log〃5<1

当时，要使函数y=/(x)与y=log“k|的图象有9个不同的交点，由图可知<।,「解得

【晦7〉1

5<a<l；

综上，实数。的取值范围为(5,7).

故选：A.

3(2万'

10.已知函数/(x)=cos%+%2-2G的定义城为—,则不等式/一丁+x>/(*x)的解集为

_22」V37

()

71「乃；(7T71'\(71

L66)L26)(62」(4」

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得函数/(X)=COSX+%2-2〃X在与兀上单调递减，在万，多上单调递增，且关于

——FX—71>|7r—X—71

》=乃对称，进而可得，一―+x<^—

232

713兀

【详解】•・•函数y=COSX在于兀上单调递减，在71.—上单调递增，且关于工=4对称，

函数>=/-2万x的对称轴为工二乃，函数在上单调递减，在上单调递增，

・•・函数/(x)=cosx+d—2G在上单调递减，在冗《上单调递增，且关于尤=4对称，

(27r\

・••由/----HX,>/(万一X)可得，

I3)

2万II

—FX—71>|万一X—7r|

乃，2万，3万…,口乃冗

<—<—+x<—，解得一一〈XV7.

23266

万,,3"

-<7T-X<——

22

故选：A.

11.给出下列命题：①函数〃x)=tanx图像的对称中心为(公■,())(左eZ)；②已知AABC的内角A,

B,C的对边分别为“，h,。.则a〈。是cosA>cosB的充要条件；③若函数

瑞三+lg(庐TT)在区间［此闺(左>0)

/W=3+上的最大值，最小值分别为m,n,则

加+〃=6；④已知函数/(x)=cosxsin2x,则/(x)的最大值为乎.以上命题中正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用正切函数的性质可判断①，利用大角对大边及余弦函数的性质可判断②，利用奇函数的性质

可判断③，通过构造函数g(f)=—2/+2r,利用导数求函数最值可判断④.

【详解】对于①，因为函数〃x)=tanx图像的对称中心为1一,())《eZ),故①错误；

对于②，因为函数y=©05%在(0,%)上单调递减，所以Qvb=AVBocosA>cosB,故是

cosA>cos3的充要条件，故②正确；

对于③，设g(x)=：；；；；+.4+]xw[-左阳(左>0),则

8㈠卜黑三+.标++导^+怛严1-)j(力

所以函数g(x)为奇函数，所以在区间[一左，%](%>0)上g(x)gx=—g(x)min，即

¥+X0

^(■)max^(Ln='

所以/(x)=3+g(x)在区间[-A闺(％>0)上的最大值，最小值分别为加=3+g(x)nw.,

〃=3+g(%n，

所以加+〃=3+g(x)e+3+gQL=6，故③正确；

对于④，函数/(x)=cosxsin2x=2sinxcos2x=-2sin3尤+2sinx,令方=sinx£[-l,l],

设g«)=-2r+2r,re[—1,1],则g'(r)=-6『+2,令g'«)=0,得.=士亭，

在区间“I,一理),(理」],g'(/)<o,函数g(。单调递减，在区间,与上g'a)>。，函数

g(r)单调递增，

又g(-i)=o,g—-

\JV

所以g。)在上的最大值为竽，即/(X)的最大值为竽，故④正确；

综上，命题正确的个数为3.

故选：D.

12.设。=221n20,。=21山21,c=201n22,则()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】

【分析】先比较&与c的大小，通过构造出/(月=丁，然后根据单调性可得”>c；再比较〃和“，通

过构造g(x)=x—ln(x+l)进行适当放缩即可；最后比较匕和。，也是运用g(x)=x—ln(x+l)函数进

行适当放缩即可.

【详解】设=W

则有：/'(犬卜上?

令r(x)>0,解得：0<x<e

故/(x)在(O,e)上单调递增；

令/'(力<0,解得：％>e

故在(e,+8)上单调递减.

可得：/(22)</(20),即即201n22<22In20

故有：a>c

设g(x)=x-ln(x+l)(x20)

iX

则有：g'(x)=l-----=--

x+1x+1

则g(x)[0,+8)上单调递增

g(x)2g(0)=0

故x21n(x+l乂xNO)

Z?-a=21(ln21-ln20)-ln20=211nH+^j-ln20<|2^1-ln20<0

20

故有：b<a

同理：c〈b

综上可得：a>b>c

故选：B

【点睛】(1)对于实数比较大小，我们通常观察式子结构，构造出对应的函数，然后利用函数的单调性;

(2)作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所

比值的大小；

(3)当直接无法比较的时候，往往需要选取适当的“媒介”数(通常以"0”或"1”为媒介)，分别与要比较的

数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.\ll-x2dx=__________________

TT

【答案】-

2

【解析】

【分析】根据定积分意义,画出几何图形，根据积分上限和下限即可求得其面积,即为积分值.

【详解】

贝！I%2+y2=1(y>0)

【点睛】本题考查了定积分的简单应用，几何法在求定积分中的应用,属于基础题.

14.曲线f(x)=e*cosx+l在点(0,/(0))处的切线方程为.

【答案】y=x+2

【解析】

【分析】直接根据函数的导数的几何意义，求出函数/(x)在点(0,2)处的切线方程的斜率为/'(0)=1,

进而求出切线方程

【详解】对/(x)求导可得:(x)=e'(cosx-sinx)

则曲线/(x)在点(o,/(。))处的切线方程的斜率为：r(o)=i

又"0)=2

则切线方程:y=x+2

故答案为：y=x+2

兀44

15.已知0<a<,</?<兀，又cosa=g,cos(a+/7),则sin〃=.

24

【答案】一##0.96

25

【解析】

34

【分析】利用同角关系式可得sina=g,sin(a+〃)=土g,然后利用差角公式即求.

兀4

【详解】<0<a兀，又cosa=不

.371八37r4

sin=-,—<tz+/7<—,又cos(a+〃)=一§，

sin(a+/?)=±g,

、3

当sin(a+/?)=§时，

sin/?=sin(a+/?-a)=sin(a+/?)cosa-cos(a+〃)sina=+,

当sin(a+/?)=■时；

3443

sin/?=sin(a+/7-a)=sin(^+/?)cosa-cos(cif+/?)sina=-^x—+—=0,此时不合题意.

24

故答案为：—.

25

16.正项数列｛为｝满足q=1,%=2.又｛向"二｝是以3为公比的等比数列，则使得不等式

1314<工+^-+…<2021成立的正整数"=.

a\a2a2n+l

【答案】5

【解析】

【分析】利用等比数列的定义和通项公式可得，数列｛a,,｝的奇数项，偶数项分别成公比为］等比数列,

再利用等比数列前"项和公式和不等式的解法即可求解.

【详解】依题意标二"是首项为标W=3，公比为g的等比数列，

故疯乱=血、击，两边平方得。,金氏+1=泰，

所以a”+1Xa“+2=£7，两式相除得^1二^，

故｛4.T｝是以4=1为首项，公比为。的等比数列,

故「—，所以―工

｛的,｝是以电=2为首项.公比为。的等比数列，

由1314<3x22'I一■!■<2021,

2

经检验可知，"=5符合题意.

故答案为：5.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

17.设命题函数/（力=108”（％2一^+1）定义域R；命题夕：HreR使不等式3'-9"Wa能成立.

（1）若命题9为真命题，求实数。的取值范围：

（2）若命题（rp）vq为假命题，求实数。的取值范围.

【答案】（1）a<—

4

（2），<a<2且awl

4

【解析】

【分析】（1）由题意，（3'—令3*=/（/>0）,利用二次函数的图象与性质求出最大值即可

求解；

（2）由题意，命题，为真命题，命题4为假命题，由P为真命题得0<a<2且由4为假命题时

a>-,从而即可得答案.

4

【小问1详解】

解：因为命题夕是真命题，所以（3、-9'）皿Na,

令3、=（/>0）,则3*-9'=一/+，=一当一―，即尤=log3—时等号成立，

所以实数。的取值范围为。〈工；

4

【小问2详解】

解：因为命题为假命题，所以命题。为真命题，命题夕为假命题，

由P为真命题得：。>0且A=—4<0»所以()<a<2且a。1,

由(1)知：当q为假命题时。>,，

4

综上，实数。的取值范围为!2且awl.

4

18.已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，6,C,向量

q-1cos(C---),sinA//e2.

(1)求角C；

冗

(2)若ccos3+bcosC=l,且4=—,求ziASC面积S.

4

TT

【答案】(1)-

3

(2)3+立

8

【解析】

【分析】(1)根据向量平行的充要条件及正弦定理可求得tanC,继而求出角C

(2)利用余弦定理和正弦定理求出。、c,利用三角形的面积公式即可求解.

【小问1详解】

解：由题意得：•.,4=(c,a),e2=[cos(C-q),sinA/左2

171

/.csinA=6rcos(C---),BPsinCsinA=sinAcos(C---)

66

又,.・sinAwO

sinC=cosCcos—+sinCsin工=cosC+—sinC»即，sinC=cosC

662222

/.tanC=V3

,/CG(0,兀)

【小问2详解】

__tz2+c2-b2]a2+/?2-c21

,/ccosB+bzcosC=c-----------+b-----------=I

2aclab

*'•a=\

又,:C=H,A=工，得8=包

3412

Cl_C7

由正弦定理：一^=一得。=也.

sin—sin—?

43

.5乃.(71兀、.71nn.71V6+V2

/.sin——=sin——I■—=sin—cos——i-cos—sin—=-------

12<46j46464

c1.o1,V6y/6+^23+G

S=—acsin/?=—xlx—x-------=------.

22248

19.已知函数/(x)=x2一(如一1)%—qlnx,其中“eR.

(1)求函数y=/(x)的极值；

(2)若函数/(x)有两个不同的零点，求实数”的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

⑵(1收).

【解析】

【分析】(1)由题可得r(x)=(2x+1)；(x-a)(x>0),分avo,a>0讨论即得；

(2)由题可得时不合题意，当。>()时，分0<aWl,。>1讨论，结合极小值小于零及零点存在定

理即得.

【小问1详解】

f(x)=x2-(2a-l)x-a\nx,函数/(x)的定义域是(0,+8),

•••.(x)=2x-(2a-\)--=2九2-伽丁)…=(2x+l)；(x—a%>.),

XXX

当aWO时，/'(x)>0,函数/(x)单调递增，此时无极值；

当a>0时，0<x<a,/'(x)<0，函数/(x)单调递减，x>a,/'(x)>0,函数/(x)单调递增，

故/S)=-a(a+lna-l)是极小值，无极大值；

综上：当aWO时无极值；当a>OB寸，/(a)=-a(a+lna—I)是极小值，无极大值.

【小问2详解】

当aV()时，“X)单调递增，/(力最多有一零点，不满足条件；

当0<aWl时;/(x)的极小值是一a(a+lna-1)

设g(x)=lnx+x-l,g'(x)=——->0,g(x)在x>0单调递增，

Vg(l)=lnl+l-l=O,0<a<l>

.•.g(a)WO,则/(x)的极小值大于等于零，/(x)最多有一零点，不满足条件.

当时,/(x)的极小值/5)=_Qg(a),：g(a)>g(l)=O,

/)<0,/电$+9“一|卜0,

(\\

所以在必有一零点；

f(3a)-3a2+3a-aln3a=a(3a-ln3a)+3a>3a>0,

〃x)在(a,3a)也有一零点，满足条件，

故”的取值范围是(1,+8).

20.淮南市位于安徽省中北部，地处长江三角洲腹地，淮河之滨，素有“中州咽喉，江南屏障”、“五彩

淮南”之称，是沿淮城市群的重要节点，如图所示，淮南市准备在淮河的一侧修建一条直路。C,另一侧

修建一条观光大道，它的前一段。。是以。为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段

是函数/(%)=Asin®x+夕)(A>0,<y>0,附xe[4,8]时的图像，Vx,,x2w[4,8]有

|/(x,)-/(x2)|<^y.且最高点3与点。的距离为DF1OC,垂足为尸.

(1)求函数>=Asin(cox+s)的解析式;

(2)若在淮河上修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线。。上何处时，水上乐园的面积

最大?

【答案】(1)y=W^sin兀71

-X——

3(63

(2)P坐标为

【解析】

【分析】(1)结合图象，根据|/(石)一/(七)|《乎求得了(x)的振幅，根据最高点8与点。的距离为

平，运用勾股定理求得/(x)的周期，然后根据点在曲线上求得8；

(2)先根据点。坐标，进而求得抛物线的方程，然后表示出矩形PMFE的面积S,最后研究面积

s=Lf的单调性即可

【小问1详解】

对于函数y=Asin(cox+3),由图象知：人=今3

解得：7=12

2万71

又3=

并将其代入到y=空sinx+°)中

解得：^+^=2^+|(^eZ)

又可得：夕=一鼻,

故y

【小问2详解】

在丁=生叵sin中，令x=4,得£)(4,4)

3(63)

则曲线。。所在抛物线的方程为：y2=4x

设点P-,r(0<r<4)则矩形PMEE的面积为：S=4--t,re[0,4]

I47

3/

可得：S'=4-工

4

令S'=0,解得：r=生巨

3

S>0,则S单调递增;

5'<0,则S单调递减.

故当r=迪时，S最大,此时P坐标为(金