教师考试学科数学高频主观题

学科数学高频主观题

e数学课程知识

1.数学学科的基本理念

(1)学生发展为本，立德树人，提升素养;

(2)优化课程结构，突出主线，精选内容;

(3)把握数学本质，启发思考，改进教学;

(4)重视过程评价，聚焦素养，提高质量。

2.数学学科核心素养

(1)数学抽象；(2)逻辑推理；(3)数学建模；(4)直观想象；(5)数学运算；

(6)数据分析。

3.数学抽象的具体含义、内容及意义

数学抽象是指通过数量关系与空间形成的抽象，得到数学研究对象的素养。

主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的

关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。

意义：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数

学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使数学成为

高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。

在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验。学生能

更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把

握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中

主动运用数学抽象的思维方式解决问题。

举例：函数单调性概念的教学中，结合实例，经历从具体的直观描述到形式

的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解，体会用符号表达数学定

义的必要性。

4.逻辑推理的含义、内容及意义

逻辑推理是指从一般事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要

包括两类，一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从

一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。

意义：逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性

的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。

在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握

推理的基本形式，表述论证的过程;能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；

形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。

举例：在求解距离问题时，利用构建空间直角坐标系，空间向量的距离公式

求解实际问题；给出一系列数据，根据数据的观察，分析比较，进行归纳猜想出

通项公式的过程。

5.数学建模的含义、内容及意义

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与

方法构建模型解决问题的过程。主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、

提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实

际问题。

意义：数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数

学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生

能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学

知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，

增强创新意识。

举例：在相遇问题中，根据问题做出相遇问题的模型，运用自己所学的数学

知识求解模型，最终解决问题。

6.数学运算的含义、内容及意义

数学运算是指在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。

主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计

运算程序，求得运算结果等。

意义：数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到

数学结果的重要手段。数学运算是计算机解决问题的基础。

在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能

有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化

思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

举例：二项式定理的学习中，根据多项式相乘的运算法则，探索二项式的构

造证明，体会运算法则的作用的同时，感知运算不仅是一种严格的逻辑推理，通

过一般性的运算发现和提出命题，掌握推理的基本形式和规则，探索和表述论证

的过程，不仅提高推理能力，也发展了数学运算素养。

7.数据分析的含义、内容及意义

数据分析是指针对研究对象获取数据运用数学方法对数据进行整理、分析和

推断，形成关于研究对象知识的素养，数据分析过程主要包括：收据数据，整理

数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。

意义：数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生

活和科学研究的各个方面。

在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基

于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索

事物本质、关联和规律的活动经验。

举例：统计全年气温变化情况，做好每周的气温记录，利用统计图表进行数

据的分析，从而得到气温的变化趋势。

8.直观想象的含义、内容及意义

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形

式特别是图形，理解和解决数学问题的素养，主要包括：借助空间形式认识事物

的位置关系、形状变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数

的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

意义：直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,

是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。

在直观想象核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展几何直观和空间想

象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟

事物的本质，培养创新思维。

举例：整理正方体里面线段的关系及利用正方体解决立体几何问题。

9.数学的四基内容

(1)四基内容是指数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

(2)基础知识一般是指数学课程中所涉及的基本概念、基本性质、基本法则、

基本公式等。例如，正数与负数的概念、直角三角形三边之间的关系、有理数运

算的法则、完全平方公式等。

基本技能内容包括基本的运算、测量、绘图等技能。在基本技能的教学中，

不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。

例如，对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何进行计算，而且要知道相应的算

理；对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的

理由。

数学基本思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想。

数学思想蕴涵在数学知识形成发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层

次上的抽象与概括。例如抽象、分类、归纳演绎、模型等。学生在积极参与教学

活动的过程中，通过独立思考合作交流，逐步感悟数学思想。例如，分类是一种

重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、图形的

分类、代数式的分类、函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨

论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。

数学基本活动经验的积累要和过程性目标建立联系。数学活动经验的积累是

提高学生数学素养的重要标志，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。

例如，在统计教学中，设计有效的统计活动，使学生经历完整的统计过程，包括

收集数据、整理数据、展示数据、从数据中提取信息,并利用这些信息说明问题。

学生在这样的过程中，不断积累统计活动经验，加深理解统计思想与方法。

10.高中数学课程结构及设计依据

高中数学课程分为必修课程和选修课程。高中数学课程内容突出函数、几何

与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修课

程和选修课程。

设计依据是：

(1)依据高中数学课程理念，实现"人人都能获得良好的数学教育，不同

的人在数学上得到不同的发展"，促进学生数学学科核心素养的形成和发展；

(2)依据高中课程方案，借鉴国际经验，体现课程改革成果，调整课程结

构，改进学业质量评价；

(3)依据高中数学课程性质，体现课程的基础性、选择性和发展性，为全

体学生提供共同基础，为满足学生的不同兴趣和发展提供丰富多样的课程；

(4)依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，

重视数学实践和数学文化。

11.数学教学的评价原则

(1)重视学生数学学科核心素养的达成；

(2)重视评价的整体性与阶段性；

(3)重视过程评价；

(4)关注学生的学习态度。

12.数学课程内容选择的依据

高中数学课程体现社会发展的需求、数学学科的特征和学生的认知规律，发

展学生数学学科核心素养。

优化课程结构，为学生发展提供共同基础和多样化选择：突出数学主线，突

显数学的内在逻辑和思想方法；精选课程内容，处理好数学学科核心素养与知识

技能之间的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决

实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透。

13.课堂留白的意义

(1)课堂留白符合新课程改革的要求。新课程理念积极倡导自主、合作、探究

的学习方式，强调把学生看作学习和发展的主体，课堂"留白"策略要恰如其分

地契合新课程理念,在课堂上树立学生的主体地位,让教师充当课堂教学的配角,

引导学生对所学新知进行解读、分析、消化、拓展，让学生被动接受变为主动探

索。

(2)课堂"留白”策略适应学生的心理发展。心理学研究表明，课堂上长时间

的"满堂灌"不利于学生接受和理解所学知识，适时留出有限的空白时间，反而

能舒缓学生的紧张心理，集中学生的注意力，提高思维的质量。

(3)课堂"留白”策略有利于增强课堂效果。在课堂教学中注重"留白"能极

大地发挥学生主观能动性,激发学生积极探索，自主学习数学的兴趣,将以"教"

为主变为以"学"为主。应该说在课堂中巧设"留白"，能让师生之间适时地沟

通、互动，实现了将课堂中的"教"与"学"融为一体，毫无疑问地提高课堂效

果。因此在教学上要讲究课堂"留白"，教师必须要给学生留出独立思考的空间，

以便激发学生的求知欲，启迪学生的思维。

14.义务教育数学课程标准中有关行为动词的含义

(1)了解：从具体实例中知道或者举例说明对象的特征；根据对象的特征，从

具体情景中辨认或者举例说明对象(知道，初步认识)；

(2)理解：描述对象的特征和由来，阐述对此对象与相关对象之间的区别和联

系；

(3)掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境；

(4)运用：综合使用已掌握的对象，选择或者创造适当的方法解决问题;

(5)经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识；

(6)体验：参与特定的数学活动，主动认识或者验证对象的特征，获得一些经

验；

(7)探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或者提出问题，寻求

解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关的对象的区别和联系，获得一定的

理性认识。

£教学知识

1.数学的抽象性以及数学教学中处理抽象与具体之间关系的手段

(1)抽象性数学抛开客观对象的具体特征，只抽象出空间形式和数量关系进行

研究，这就是数学抽象性。

(2)数学教学中处理抽象与具体之间关系的手段：

①直观教学：通过实物直观、模型直观、图形直观、言语直观，形成学生鲜

明的表象，为他们掌握基础理论提供必要的感性材料。例如：在讲授"三角函数

值只与角度有关，而与三角形的大小无关"时，可以利用两个相似但大小不同的

三角板，使学生通过模型直观更深刻地体会所学知识，将抽象的概念更直观地纳

入自身的认知结构中。

②数形结合:可以使较为抽象的数量关系通过直观的几何图形将其性质反映

出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化。

③注重观察：对于抽象的关系，还可以让学生对一些具体的关系进行观察、

比较、分析、归纳，逐步提高他们的抽象思维能力。

④重视教学手段改革：运用幻灯、投影仪、电视、计算机等先进教学设备,

加速教学手段现代化。例如，通过几何画板展示二次函数的画图过程以帮助学生

更好地理解函数图像的形成过程。

2.数学教学中严谨性与量力性相结合的原则的贯彻

(1)明确要求，谨慎处理；

(2)要从开始抓起，持之以恒；

(3)要求学生周密思考、言必有据。

数学的严谨性与量力性要很好地结合，在教学中要注意教学的“分寸"，即

注意教材的深广度，从严谨着眼，从量力着手；另外，要注意阶段性，使前者为

后者做准备，后者为前者谋发展，前后呼应。通过对学生严谨性的培养使学生养

成良好的思考习惯。

3.数学教学过程中理论性与实践性相结合的原则的要求

(1)正确处理理论知识与实际经验之间的关系，重视理论知识，并注重在联系

实践中进行教学；

(2)注重讲练结合，做到精讲多练，精讲巧练；

(3)培养学生运用知识的能力，教师要勇于放手，鼓励学生去尝试和探索，运

用所学知识解决实际问题，同时在解决问题的过程中获取新的知识，补充书本知

识的不足，从而使各种能力得到锻炼发展；

(4)联系实际应当多方面入手，首先，应当尽可能广泛地让学生接触社会生活

的各个方面；其次，应当尽可能结合本地区的特点；再次，应当注重学生发展的

实际;

(5)帮助学生总结收获，教师要加以引导，提供机会并提出要求，让学生及时

交流体验，表达感受；

(6)补充必要的实际知识;

(7)理论联系实际可以有多种多样的方式，无论用哪一种方式，教师都必须有

明确的教育目的。

4.常考的数学方法：讲授法

讲授法的优点：能保证教师传授知识的系统性、主动性与连贯性，易于控制

课堂教学，充分利用时间。

讲授法的缺点：学生处于被动状态，不利于培养学生自学习惯和独立思考能

力，容易变成注入式、满堂灌。

举例：高中数学《平面与平面平行的判定》，教师通过实物的演示并讲解出

平面与平面平行的判定的内容，并给出定理：已知一个平面内的两条相交直线分

别平行于另外一个平面，那么这两个平面就互相平行。

5.常考的数学方法：谈话法

谈话法的优点：它在设计中就把师生的双边活动固定化了。

谈话法的缺点：由于学生对提出的问题是立即回答，缺少思想准备和一定的

组织准备，会耽误一定的时间。

举例：高中数学《指数函数及其图像》通过学习指数函数的表示形式，PPT

上出示的两个指数函数，学生通过描点法画出他们的函数图像，画完图像后，请

学生仔细观察两个图像有什么相同点和不同点？

6.数学中常见的学习方式

(1)自主学习：自主学习关注的是学习者的主体性与能动性，是学生自主而不

受他人支配的学习方式。

(2)探究学习：探究学习也称为发现学习，学习过程除了被动接受知识外，还

存在大量的发现与探究等认识活动。

(3)合作学习：合作学习是指学生以小组为单位进行学习的方式。合作学习的

展开往往是在自学基础上进行小组合作学习和小组内讨论。

7.单元教学设计的基本流程

(1)课程标准与教材分析：分析课程标准的要求以及本单元教材内容在整个学

期的学习内容中的地位与作用。

(2)学情分析:分析学生已有的认知水平和能力状况以及学习需要和学习行为。

(3)三维教学目标分析：知识与技能目标，过程与方法目标，情感态度与价值

观目标。

(4)教学重点与难点分析：根据对教材学情和目标的分析，确定本单元教学重

难点，各节之间的关系与作用，划分课时。

(5)分课时教学设计：课时教学设计应包括学习目标，重难点，教学方法，教

学过程，板书设计，课后评价，教学反思。

(6)单元测试设计：注意题目难度梯度，有区分度。

(7)教学评价设计与教学反思：对学生学习效果与教学设计有效性进行评价，

针对问题反思并提出改进措施。

8.推理

推理一般包括合情推理与演绎推理：

(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、

比较、联想再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。

包括类比推理和归纳推理。

合情推理在解决数学问题上的作用不能作为数学证明的工具,但它具有创造

性思维，对数学结论的发现十分有用。

(2)演绎推理：从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称

为演绎推理，“三段论”是演绎推理的一般模式。

演绎推理在解决数学问题上的作用：可以作为数学证明的工具，虽然缺少创

造性，但它严密的论证有助于形成科学的理论化和系统化。

(3)合情推理与演绎推理的关系：两者有区别，合情推理是由部分到整体、个

别到一般或从特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理。同时两者紧

密联系、互相依赖、互为补充，演绎推理的一般性原理必须借助合情推理从具体

的经验中概括出来，可以说没有合情推理就没有演绎推理；合情推理也离不开演

绎推理，合情推理得到的结论正确与否必须借助演绎推理去论证。

9.利用反证法证明一个命题的一般步骤

(1)(反设)假设命题的结论不成立；

(2)(推理)根据假设进行推理，直到导出矛盾为止；

(3)(归谬)断言假设不成立；

(4)(结论)肯定原命题的结论成立。

10.数学文化对学生数学学习的作用

(1)有利于激发学生的学习兴趣。数学文化给学生带来的不仅仅是数学命题、

数学方法、数学问题和数学语言等，还包括数学思想、数学意识、数学精神等。

在教学中可以适当的对学生进行数学文化的教育，如通过数学家的故事，数学问

题的发现等内容的介绍来激发学生的学习兴趣。

(2)有利于培养学生的创新意识和探索精神。新一轮数学改革的理念中，强调

培养学生的创新意识和探索精神。培养学生的数学思维能力，也是当代数学教育

改革的核心问题之一。在数学文化中数学历史事件、历史过程、历史故事都能够

激发起学生的创新意识，培养学生的探索精神。

(3)有利于发展学生的数学应用意识。数学文化的意义不仅在于知识本身和它

的内涵，还在于它的应用价值。数学源于生活，其理论的核心部分都是在人类社

会的生产、生活实践之中发展起来的。因此，教学中我们应当有意识地结合学生

已有的知识结构，加强数学与实际生活的联系。增强数学的应用性，将数学知识

生活化，让学生体验至擞学文化的价值就在于生活的各个领域中都要用到数学。

11.教师主导作用的体现

(1)教师的"组织”作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学

内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方

案；第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、

努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。

(2)教师与学生的"合作"主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积

极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和

成果。

(3)教师的"引导"作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富

有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当

的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能积累经验、感悟思想；能关注学生的

差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动,

提高教学活动的针对性和有效性。

12.学生的数学思维的培养

(1)培养学生学习兴趣。教师要精心设计，使每节课形象、生动，并有意创造

动人情境，设置诱人悬念，激发学生思考的火花和求知的欲望，还要经常指导学

生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。

(2)教学过程中进行变式教学。比如在概念教学中，使学生用等值语言叙述概

念；数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形等，都有利于培养思维的灵

活性。数学教学中，一方面要使学生掌握数学概念、原理的本质，另一方面也要

提高学生的运算速度。因此，教学中，应增强数学教学的变化性，为学生提供思

维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建

立起自己的思路，真正做到“举一反三”。

(3)培养创造性思维品质。首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思

考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，引导学生积极思考和

自我鉴别，使学生多思善问。

(4)教会学生思维的方法。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由

此及彼的认识能力。数学概念、定理是推理论证和运算的基础。在例题课中要把

解题思路的发现过程作为重要的教学环节；在数学练习中，要认真审题，细致观

察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力，并在解题过程中尽量要学会

用数学语言、数学符号进行表达。此外，逆向应用公式和逆向思考的训练，提高

逆向思维能力；通过解题错、漏的剖析，提高辨识思维能力；通过一题多解的训

练，提高发散思维能力等。

径教学技能

1.评析教学目标的原则

(1)是否体现数学课程基本理念的精神；

(2)是否实现三维目标的整合又有所侧重；

(3)是否具体明确，可操作，可考核。

2.评析课堂导入

(1)评析课堂导入的方法。先指明所采用的导入方法，如：情境导入、复习导

入、直接导入在评析所用方法与教学内容是否适合；

(2)评析课堂导入的效果。评析课堂导入是否起到激发兴趣、引发思考、提示

学习要点或集中学生注意力等效果；

(3)评析课堂导入的成本。如果低成本高产出，当然最佳；达不到则求其次，

成本与产出相当；坚决摒弃高成本低产出。评析课堂导入的成本，可以从所花的

时间和精力以及采用的手段等方面分析。

3.评析教学行为

(1)从宏观方面说，是否以人为本，培养学生自主学习、独立思考、合作探究

的精神，促进学生健康和谐发展；

(2)从中观方面说，是否反映数学课程性质、课程基本理念，把握数学课程的

基本特点，培养学生分析问题并解决问题的能力，提升数学素养；

(3)从微观方面说，数学方法是否恰当；教学程序是否循序渐进；练习设计是

否有效；教学效率、教学氛围如何。

4.评析教学问题

(1)围绕教学目标，突出重难点；

(2)针对实际，难度适度；

(3)顺序得当，发展思维能力；

(4)结构恰当，层次分明。

5.新课程背景下的课堂教学常用的教学策略

(1)多元互动策略

多元互动策略是从多个角度、采取多种形式、利用多种资源进行个性需求的

多种整合互动，形成多元智能的个性化教学策略，目的是培养学生自主合作探究

的能力、综合建构的能力，进而促进每一个学生的全面和谐发展。

(2)