湖南省邵阳市2022年初中毕业学业考试模拟卷数学（三）（含答案与解析）

邵阳市2022年初中毕业学业考试模拟卷（三）

数学

（本学科试卷考试时量为120分钟，满分为120分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位

号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和

座位号。将条形码粘贴在答题卡”条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改

液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的）

1.2022年2月22日我国南方地区迎来了立春后十年难得一见大雪，某地区2月份最高温为19℃,最低

气温为一3℃,那么该地区这个月的最低气温比最高气温低（）

3.新冠病毒是一种mRNA病毒，具有易繁殖、繁殖快且容易突变的特点.世卫组织宣布冠状病毒最大直

径约为0.00000012m,“0.00000012”用科学记数法可表示为（）

A.1.2x10-7B.O.12X1O-6C.12x10-8D.1.2X10-6

4.如图，在AABC中，AB=AC,。是8C中点，DE1AC,垂足为E,N84C=80°,则NADE的

度数为（）

C.60°D.80°

5.下列运算正确的是（）

A.X2+X2X4B.3)2=盯4

221

C.D.-(x-y)=-x+2xy-y

x+6>4x-3

6.若不等式组<的解集是x<3,则皿的取值范围是)

x<m

A.m>3B.m>3C.m<3D.m<3

7.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是12cm,若NAC6=60°,则劣弧AB的长

C.32万cmD.192%cm

8.甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示,从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳

12345678910次序12345678910次序

9.如图，拦水坝的横断面为梯形ABC。，其中AO〃BC,迎水坡A8的坡角NABC=45°,背水坡C£)

的坡比为1:石，斜坡AB长8m,则背水坡C。的长为()

A.6夜mB.8gmC.4cmD.875m

10.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点尸是线段AB上一点(AP>

BP),若满足——=—,则称点尸是AB的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人

APAB

在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进

入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是()

A.(20-x)2=20xB.x2=20(20-x)

C.x(20-x)=202D.以上都不对

二、填空题(本大题有8个小题，每小题3分，共24分)

11.若代数式JTT7有意义，则实数x的取值范围是,

12.如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180。得到ACDA,添加一个条件—,使四边形

ABCD为矩形.

13.在实数范围内进行因式分解：3X2-6=

14.如图，已知平行四边形ABCD,以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AD于点E,F,再分

别以点E,F为圆心，大于‘EF的长为半径画弧，两弧在/DAB的内部相交于点G,画射线AG交DC于

2

H.若NB=140。，则NDHA=

15.2021年秋季以来，课后服务实现了义务教育学校全覆盖，某县为了解100000个中小学生家庭是否有校

内课后服务需求，随机调查了400个中小学生家庭，结果发现有360个中小学生家庭有校内课后服务需

求，请你估算该县约有个中小学生家庭有校内课后服务需求.

k

16.如图，在平面直角坐标系中，AAOB的面积为4,A8垂直x轴于点5,04与双曲线y=1（x<0）相

交于点C且OC:C"=1:2,则Z的值为—

17.如图，为。。的直径，C,。为。。上的两点，若NABO=54°,则/C的度数为

18.如图，抛物线丁=0?+法+。的对称轴是x=l,与x轴的一个交点为（一3,0）,则不等式

ax2+bx+c>0的解集为•

三、解答题（本大题共8个小题，第19〜25小题每小题8分，第26小题10分，共66分）

19,计算：一『+（万一2022）°—2cos30。一1百一

20.先化简，再求值：［x-\-->l-j--,其中8=6一2.

（x+1；x+1

21.如图，A8是。O的直径，点C是。。上异于A、B的点，连接AC、BC,点。在54的延长线上，且

N£)C4=NA8C，点E在£>C的延长线上，且BE_LDC.

(1)求证：0c是。。的切线；

(-)A2

(2)若一=-,BE=10,求OA的长.

0D3

22.某中学对九年级学生开展了“我最喜欢邵阳景区”的抽样调查(每人只能选一项)：4—蔗山风景区：

B—云山国家森林公园；C—南山牧场；。一白水洞风景区；E—黄桑地质公园，根据收集的数据绘制了如

图所示的两幅不完整的统计图，其中8对应的圆心角为90°,请根据图中信息解答下列问题：

“我最喜欢的景区”条形统计图

“我最喜欢的景区”扇形统计图

f人数

0LJ——-------------—~—~~►

ABCDE景区

(1)求抽取的九年级学生共有多少人？

(2)补全条形统计图，并计算扇形统计图中加=；

(3)学校准备在最喜欢4景区的5名九年级学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生

和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率.

23.为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾732吨，刚好被12个4型和10个B型预处

置点位进行初筛、压缩等处理，已知一个A型点位比一个8型点位每天多处理6吨生活垃圾.

(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；

(2)自《生活垃圾管理条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理7吨生活垃圾，同

时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少20吨，若该区域计划增设4型、8型

点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？

24.在数学活动课上，九年级某班数学兴趣小C组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测

量数据如下：

①在大树前的平地上选择一点4,测得由点A看大树顶端C的仰角为35°;

②在点4和大树之间选择一点B,(A、B、。在同一直线上)，测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为

45°;

③量出A、B两点间的距离为5米.

请你根据以上数据求出大树CQ的高度.(结果保留一位小数，参考数据：sin35°«0.57,

cos35°«0.82,tan35°®0.70)

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-无2+bx+c与无轴分别交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于

点C(0,3).

(1)求抛物线解析式及对称轴；

(2)如图，点。与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若,求点P的坐标；

(3)点例是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱

形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

26.旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题.

图①图②图③

（1）尝试解决：如图①，在等腰RrZVlBC中，ZBAC=9Q°,A8=AC,点M是BC上的一

点.BM=1cm,CM=3cm,将△A8M绕点A旋转后得到△ACN,连接MM贝!]4W=cm.

（2）类比探究：如图②，在“筝形"四边形ABC。中，AB=AD^a,CB=CD.AB_LBC于点B,

49，。£）于点。，点2、Q分别是AB、A。上点、,且NPCB+NQC。=ZPCQ,求△APQ的周长，

（结果用。表示）

（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABC。，AD=CD,ZADC=60°,NABC=75°,

4B=2&，BC=2,求四边形ABC。的面积.

参考答案

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的）

1.2022年2月22日我国南方地区迎来了立春后十年难得一见的大雪，某地区2月份最高温为19℃,最低

气温为一3℃,那么该地区这个月的最低气温比最高气温低（）

A.16℃B.-16℃C.22℃D.-22℃

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意用19减-3即可求解.

【详解】解：19-（-3）=22.

该地区这个月的最低气温比最高气温低22℃.

故选C.

【点睛】本题考查了有理数减法的应用，理解题意是解题的关键.

2.一个几何体如图所示，它的左视图是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据左视图的定义即可求解.

【详解】由图可知左视图

故选B.

【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义.

3.新冠病毒是一种mRNA病毒，具有易繁殖、繁殖快且容易突变的特点.世卫组织宣布冠状病毒最大直

径约为0.00000012m,“0.00000012”用科学记数法可表示为（）

A.1.2x10-7B.0.12X10-6C.12x10-8D.1.2x10“

【答案】A

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示方法，10的指数-〃中的〃等于小数点移动位数.

【详解】解：科学记数法表示为：«xl0n（l<i/<10）,

A0.00000012=1.2xlO-7.

故选：A.

【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

4.如图，在AABC中，AB=AC,D是BC中点,DE1AC,垂足为E,ZBAC=80°,则NADE的

度数为（）

5/X

A.40°B.50°C.60°D.80°

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到A3平分NBAC,得出/D4C=40。，再根据直角三角

形两锐角互余得出答案.

【详解】解：。为BC的中点，

/BAD=NCAD,

NBAC=80。，

二ZDAC=40°,

'：DELAC,

ZADE=9O°-ZDAC=90°-40°=50°,

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质，难度不大.

5.下列运算正确的是（）

A.x2+x2=x4B.（孙2『=孙4

C.,6*2=>3D.-（x-y）2=-x2+2xy-y2

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项、积的乘方、塞的乘方、同底数基的除法以及完全平方公式解决此题.

【详解】解：A.由合并同类项的法则，得£+/=2%2,故A不符合题意.

B.由积的乘方以及基的乘方，得（肛2）2=fy4,故B不符合题意.

C.由同底数靠的除法，得y6+y2=y4,故C不符合题意.

D.由完全平方公式，得-（》-丫）2=-/一/+2刈，故D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、塞的乘方、同底数累的除法以及完全平方公式，熟练掌握

合并同类项、积的乘方、幕的乘方、同底数幕的除法以及完全平方公式是解决本题的关键.

x+6>4x-3

6.若不等式组《的解集是x<3,则机的取值范围是（）

x<m

A.m>3B.m>3C.m<3D.m<3

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集.

【详解】解：解不等式x+6>4x—3,得：x<3,

•­•x</»且不等式组的解集为x<3，

m>3,

故选：B.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

7.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是12cm,若NACB=60°,则劣弧AB的长

是（）

A.8%cmB.16zrcmC.32万cm1).192万cm

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得：AC、AB与圆0相切，可得/OAC=/OBC=90。，从而得到/AOB=120°,再由弧

长公式计算，即可求解.

【详解】解：根据题意得：AC、48与圆。相切，

AZOAC=ZOBC=90a,

VZACB=60°,

：.ZAOB=120°,

120TTX12

劣弧A8的长是=8»cm.

180

故选：A

【点睛】考查了弧长公式和切线的性质，熟记弧长公式和切线的性质是解题的关键，属于基础题.

8.甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示,从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳

定的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】利用平均数和方差的意义进行判断.

【详解】解：由折线统计图得：乙，丙的成绩在92附近波动，甲、丁的成绩在91附近波动,

，乙，丙的平均成绩高于甲、丁，

由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度，

这四人中乙的平均成绩好又发挥稳定，

故选：B.

【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方

差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，与平均值的离散程度越差，稳定性也越小；反

之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.也考查了折线统计图.

9.如图，拦水坝的横断面为梯形A8CD,其中AT>〃BC，迎水坡AB的坡角N/WC=45°，背水坡CD

的坡比为斜坡A8长8m,则背水坡C£>的长为（）

C.4A/6mD.8后m

【答案】D

【解析】

【分析】过点A、O分别作AELBC,DF1BC,垂足分别为E、F，可得四边形AEED是矩形，根

据正弦的定义求出AE,进而求出。E，根据坡度的概念求出NC,再根据30。角所对的直角边等于斜边

的一半即可求解.

【详解】解：过点AEL3C,垂足为E，过点。作垂足为尸，

VAEA.BC,DF±BC,AD〃BC,

ZDAE=ZAEB=90°,ZAEF=NDFE=NDFC=90°,

.••四边形AEED是矩形，

：.DF=AE，

在中，

ZA£B=90°,A8=8米，=45°,

A8sinNA5E=8x交

/.AE==40，

2

OF=4夜，

在RfVObC中，ZDFC=90°,

DF_1_V3

tanZCrc=^=T

...ZC=30°,

CD=2DF=2x4夜=872，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，正确得出NC的度数是解题关键.

10.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点尸是线段AB上一点(AP>

BP),若满足竺="，则称点尸是AB的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人

APAB

在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进

入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是()

APB

A(20-X)2=20XB.X2=20(20-X)

C.Jt(20-x)=202D.以上都不对

【答案】A

【解析】

BPAP

【分析】点P是4B的黄金分割点，且P8V%,PB=x,则以=20-x,则一=—,即可求解.

APAB

【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，

aPB<PA,PB=x,则%=2O-X,

.BPAP

••一，

APAB

：.(20-x)2=20X,

故选：A.

【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关

键.

二、填空题(本大题有8个小题，每小题3分，共24分)

11.若代数式J7T7有意义，则实数X的取值范围是____.

【答案】企-1

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件可得：%+1>0,即可求得.

【详解】解：•••代数式Jx+1有意义

,".x>-1.

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

12.如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180。得到4CDA,添加一个条件,使四边形

ABCD为矩形.

B

【答案】ZB=90°

【解析】

【分析】根据旋转的性质得AB=CD,ZBAC=ZDCA,则AB〃CD,得到四边形ABCD为平行四边形，根

据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为NB=90。.

【详解】:△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180。得到ACDA,

.♦.AB=CD,NBAC=NDCA,

；.AB〃CD,

/.四边形ABCD为平行四边形，

当NB=90。时，平行四边形ABCD为矩形，

添加的条件为NB=90。.

故答案为NB=90。.

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中

心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了矩形的判定.

13.在实数范围内进行因式分解：3d_6=.

【答案】3(x+V2)(x-V2)

【解析】

【分析】先提取公因式3,再运用平方差公式分解即可.

【详解】解：3/-6=3,-2)=3(》+扬3-伪,

故答案为：3(x+V2)(x-V2)

【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的一般步骤为：(I)提公因式；(2)套公式.在实数

范围内进行因式分解的式子的结果一般要求分解到出现无理数为止.熟练运用公式，熟记因式分解的步骤

是解题的关键.

14.如图，已知平行四边形ABCD,以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AD于点E,F,再分

别以点E,F为圆心，大于;EF的长为半径画弧，两弧在NDAB的内部相交于点G,画射线AG交DC于

H.若NB=140。，则NDHA=.

【答案】20。

【解析】

【分析】先利用平行四边形的性质得到AB〃CD,AD〃BC,则利用平行线的性质可计算出/BAD=40。，

再由作法得AH平分/BAD,所以NBAD=L/BAD=20。，然后根据平行线的性质得到NDHA的度数.

2

【详解】解：•.•四边形ABCD为平行四边形，

；.AB〃CD,AD〃BC,

.../BAD=180°-140°=40°,

由作法得AH平分/BAD,

；./BAH=/DAH,

/BAD=—ZBAD=20°,

2

：AB〃CD,

.,.ZDHA=ZBAH=20°,

故答案为20。.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于

已知角；作已知线段的垂直平分线：作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了平行四

边形的性质.

15.2021年秋季以来，课后服务实现了义务教育学校全覆盖，某县为了解100000个中小学生家庭是否有校

内课后服务需求，随机调查了400个中小学生家庭，结果发现有360个中小学生家庭有校内课后服务需

求，请你估算该县约有个中小学生家庭有校内课后服务需求.

【答案】90000

【解析】

360

【分析】用100000X——即可求解.

400

【详解】解：•••随机调查了400个中小学生家庭，结果发现有360个中小学生家庭有校内课后服务需求，

•••该县约有100000X出=90000个中小学生家庭有校内课后服务需求，

400

故答案为：90000

【点睛】本题考查了样本估计总体，掌握样本估计总体是解题的关键.

k

16.如图，在平面直角坐标系中，的面积为4,A8垂直x轴于点8,OA与双曲线y=—（尤＜0）相

X

交于点C且00:04=1:2,则左的值为

【答案】-2

【解析】

【分析】设根据OC：04=1：2,可得如］,利用~4QB的面积为4,列出方程解方

mJVm）

程即可求解..

详解】解：Q4与双曲线丫=人相交于点C,设C（m,乙］,

xVfnJ

'''OCOA=1:2>

如图，过点C作CO〃AB

•••CD//AB,

❷OCDOAB,

•OC__OD_-CD__1

"OA~OB~AB~1'

BO=2DO,AB=2CD,

（2肛与），则B（2〃?,0）,

.1.A

^AOB的面积为4,

ji2k

：.-xOBxAB=-x(-2m}x——=-2k

22、)m

:.4=-2k解得％=-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查求反比例函数表达式，对于反比例函数问题，抓住反比例函数图象上的点的坐标是解决

问题的关键.

17.如图，AB为。。的直径，C,。为。。上的两点，若NAB£）=54。，则/C的度数为.

D

【答案】36。##36度

【解析】

【分析】连接AO,由直径所对的圆周角是直角得/AO8=90。，即可求得ND4B的度数，由同圆中相等的

弧所对的圆周角相等即可得/C的度数.

【详解】如图，连接AD

；48是直径，

ZADB=90°.

：.ZDAB=90°-ZABZ>90°-54°=36°.

.*.NC=ND48=36。.

故答案为：36°.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角、同圆中相等的弧所对的圆周角相等，掌握这两个知识点是

解题的关键.

18.如图，抛物线y=+法+。的对称轴是x=l,与x轴的一个交点为（一3,0）,则不等式

ax2+bx+c>0的解集为.

［答案］-3<x<5

【解析】

【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标（5,0）,由y=ar2+版+c>0得函数

值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式办2+法+0>0的解

集.

【详解】解：根据图示知，抛物线丫=以2+版+。图象的对称轴是x=l,与X轴的一个交点坐标为（-3,

0）,

根据抛物线的对称性知，抛物线），=奴2+笈+。图象与X轴的两个交点关于直线X=1对称，即

抛物线y=af+6x+c图象与x轴的另一个交点与（-3,0）关于直线x=l对称，

另一个交点的坐标为（5,0）,

,/不等式ax2+hx+c>0,即y=ax2+hx+c>0,

，抛物线y=〃x2+fcv+c的图形在x轴上方，

不等式ax2+bx+c>0的解集是-3Vx<5.

故答案为-3<x<5.

【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关健是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出

当y>0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法.

三、解答题（本大题共8个小题，第19〜25小题每小题8分，第26小题10分，共66分）

19,计算：一产+（万一2022）°—2cos30。一|6—21.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据有理数的平方，零指数基，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解.

【详解】解：原式=-l+l-2x4（2一句

=-1+1-73-2+73

=-2

【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键.

20.先化简，再求值：fx-1...---->其中X=6-2.

Ix+1）x+1

r—

【答案】----：-3-2V3

x

【解析】

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简

结果，将x的值代入计算即可求出值.

（）（尤）

【详解】解：原式='-一X—与1一+12——3-]「x一+1-

Ix+1x+1）x（x-2）

（x+2）（x-2）x+\

x+1x（X-2）

x+2

x

当》=百一2时，

原式=史2+2=_3_25

V3—2

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21.如图，AB是。。的直径，点C是。。上异于A、8的点，连接AC、BC,点。在8A的延长线上，且

N£)C4=NAB。，点E在。C的延长线上，且BELDC.

(1)求证：DC是。。的切线；

nA2

(2)若一=一，BE=10,求力A的长.

0D3

【答案】(1)见解析(2)3

【解析】

【分析】(1)连接0C,先根据等腰三角形的性质可得N1=N2,再根据圆周角定理可得

ZAC8=N1+N3=9O°,从而可得NOCD=90。，然后根据圆的切线的判定定理即可得证；

(2)设。4=OB=OC=2x,则OD=3x,AD=x,BD^5x,再根据相似三角形的判定证出

△DCO〜&DEB,然后根据相似三角形的性质求出x的值，由此即可得出答案.

【小问1详解】

证明：如图，连接0C,

QOC=OB,

:.Z\=Z2,

QAB是的直径,

ZACB=N1+N3=9O°,

.-.Z2+Z3=90o,

•.•ZACD=N2,

.­.ZACD+Z3=90°,即NO8=9(T,

:.DCLOC,

又是o。半径，

.•.oc是o。的切线.

【小问2详解】

豺..0A2

解：.---=—，

0D3

•,・设6M=O3=(9C=2x,则OD=3x,

/.AD=OD—OA—3x—2x-x,BD=OB+OD=5x,

'：COLDC,BELDC，

：.BE//CO,

:•ADCO〜ADEB,

ODOC3尤2x

：.—=—,即an一=—,

BDBE5x10

解得x=3,

DA=3.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆

的切线的判定定理和相似三角形的判定定理是解题关键.

22.某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的邵阳景区”的抽样调查(每人只能选一项)：A—蔗山风景区：

B—云山国家森林公园；C—南山牧场；。一白水洞风景区；E—黄桑地质公园，根据收集的数据绘制了如

图所示的两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为90。，请根据图中信息解答下列问题：

“我最喜欢的景区”条形统计图

'我最喜欢的景区”扇形统计图

•人数

60-1―

50--------------

40----------------------------------------

30-

20---------------------------1~~

10-

o———-----------—~~—""►

ABCDE景区

(1)求抽取的九年级学生共有多少人？

(2)补全条形统计图，并计算扇形统计图中加二.

（3）学校准备在最喜欢A景区的5名九年级学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生

和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率.

【答案】（1）200,统计图见解析

、3

（2）10（3）—

10

【解析】

【分析】（1）先根据B对应的圆心角为90°,B的人数是50,得出此次抽取的总人数，求出C对应的人

数，补全条形统计图即可；

（2）根据。的人数是20人求出所占的百分比，求出机的值：

（3）画出树状图，求出所有的情况和两名学生都是女生的情况，再根据概率公式计算即可.

【小问1详解】

对应的圆心角为90°,B的人数是50,

此次抽取的九年级学生共50+卫90=200（人），

360

C对应的人数是：200-60-50-20-40=30（人），

补全条形统计图如图所示：

。所占的百分比为20・200X100%=10%,

...机=10,

故答案为：20；

【小问3详解】

画树状图如图所示:

男2女1女2女3男1女1女2女3男1男2女2女3男1男2女1女3男1男2女1女2

•.•共有20种情况，选出的两名学生都是女生的情况有6种,

3

，选出的两名学生都是男生的概率是6+20=—.

10

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图；读懂统计图中的信息，画

出树状图是解题的关键.

23.为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾732吨，刚好被12个A型和10个B型预处

置点位进行初筛、压缩等处理，已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理6吨生活垃圾.

(1)求每个8型点位每天处理生活垃圾的吨数；

(2)自《生活垃圾管理条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理7吨生活垃圾，同

时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少20吨，若该区域计划增设4型、8型

点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？

【答案】(1)每个8型点位每天处理生活垃圾为30吨数

(2)至少需要增设4个4型点位才能当日处理完所有生活垃圾

【解析】

【分析】(1)设每个8型点位每天处理生活垃圾的吨数为x,则A型为x+6,由每天需要处理生活垃圾

732吨列出方程求解即可；

(2)设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾.则3型为5-y,根据两种需要处理的生

活垃圾和不低于712吨列不等式求解即可.

【小问1详解】

解：设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x,则A型为x+6,

由题意得：10x+12(x+6)=732,

解得：产30,

答：每个8型点位每天处理生活垃圾为30吨数；

【小问2详解】

设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾.则B型为5-)，.

由题意得(12+j)(30+6-7)+(10+5-y)(30-7)>732-20

解得：y-~j',

6

为整数

，至少需要增设4个A型点位，

答：至少需要增设4个4型点位才能当日处理完所有生活垃圾.

【点睛】本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，

读懂题列出关系式是解题关键.

24.在数学活动课上，九年级某班数学兴趣小C组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测

量数据如下：

①在大树前的平地上选择一点A,测得由点4看大树顶端C的仰角为35。；

②在点A和大树之间选择一点8,（A、B、。在同一直线上），测得由点8看大树顶端C的仰角恰好为

45°;

③量出A、B两点间的距离为5米.

请你根据以上数据求出大树CO的高度.（结果保留一位小数，参考数据：sin35°«0.57,

cos35°®0.82,tan35°®0.70）

【答案】11.7

【解析】

【分析】设CZ）=x米，由已知可得£>B=CZ）=x,AD=x+5,在RsACZ）中，利用NA的正切求出x的值即可.

【详解】设C£>=尤米，

ZDBC=45°,

DB=CD=x,AD=x+5,

44CD

在Rt^ACQ中，tanZA=——，tan35°®0.7

AD

解得：x®11.7,

所以大树的高为1L7米.

【点睛】本题考查了俯角、仰角的定义，借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直

角三角形是解题的关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=一/+版+。与x轴分别交于点A（—1,0）和点8,与y轴交于

点C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）如图，点。与点C关于对称轴对称，点尸在对称轴上，若NBPD=90°,求点P的坐标;

(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M.N为顶点的四边形为菱

形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=-N+2x+3,对称轴为直线：x=\

(2)P(1,1)或(1,2)

(3)存在，JV(1,-4)

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求解即可.

(2)如图1中，连接8。，设8。的中点T,连接PT,设P(l,w).求出PT的长，构建方程求出〃?即

可.

(3)根据题意以及菱形的性质，分A5为对角线和边两种情形讨论，即可求解.

【小问1详解】

解：把4(-1,0),点C(0,3)的坐标代入y=-N+bx+c,得，

c=3

-l-/?+c=0

2

.•.抛物线的解析式为＞=-N+Zr+3,对称轴为直线x=---=1.

-2

【小问2详解】

解：如图1中，连接BD,设80的中点T,连接PT,设尸(1,m).

图1

•点。与点C关于对称轴对称，C(0,3),

：.D(2,3),

•:B(3,0),

53______2____2

•'•T(-,-),BD=A/(3-2)+3=V10,

VZBPD=90°,DT=TB,

：.PT=-BD=^-,

22

(I——)2+(«J——)H)2,

222

解得m=l或2,

：.P（1,1）或（1,2）.

【小问3详解】

解：存在，理由如下，

•.•抛物线的解析式为尸-X2+2X+3=-（^-02+4＞顶点坐标为UM）

对称轴为x=l

①当AB为对角线时，MN1AB,设MN交于点E，如图，

则M（l,4）,

•••四边形A7VBM是菱形,

:.ME=EN,

，N（I）

②当A3为边时，如图，

•••四边形ABAW是菱形，

/.AB=MN,AB//MN,

设N(l,〃)，M(m,n),(n<4),

M(m,n)在抛物线y=-x2+2x+3上，则n=-trr+2m+3

解得mx—1+J4-=,%=1一,4一〃

M(1+A/4—n,