河南省南阳市2022年高考数学倒计时模拟卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCO,将平行四边形ABCD沿对角线3。折起，使平面

48。，平面8。。，则直线AC与8□所成角余弦值为(

卜2B.逅C.且

3333

x-y+4>0,

2.若x,y满足约束条件(尤-240,且z="+>的最大值为2。+6,则“的取值范围是()

x+y-2>0,

A.[-l,+oo)B.(-oo,-l]C.(-1,+<»)D.

3.已知函数/(尤)=皿8-1)-(尤-2)产”4为自然对数底数)，若关于x的不等式/(x)>0有且只有一个正整数解,

则实数m的最大值为()

4.在(1—X)5+(l—X)6+(l—x)7+(l—x)8的展开式中，含/的项的系数是()

C.-74D.-121

5.点P为棱长是2的正方体ABC。—A4GA的内切球。球面上的动点，点加为AG的中点，若满足

则动点P的轨迹的长度为()

2#7r4石万8加兀

A.----on.----1-C.-----D.-----

5555

6.若复数z满足(l-i)z=T+2i,则西|=()

3JTo1

A旦B.-C.—D.-

2222

7.关于函数/(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论：()

①/(x)是偶函数；②/(x)在区间上是单调递增函数；

③在R上的最大值为2；④在区间［-2肛2句上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.①③C.①④D.②④

8.等差数列｛q｝的前〃项和为S,，若q=3,S$=35,则数列｛q｝的公差为()

A.-2B.2C.4D.7

9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都

可以表示为两个素数的和，例如：4=2+2，6=3+3,8=3+5,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的

数，其和等于16的概率为()

1212

A.—B.—C.—D.—

21211515

10.则a,。,c的大小关系是()

22

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

11.若复数二满足z=(2+i)(lT)(i是虚数单位)，则|z|=()

A.—B.VlOC.且D.V5

22

12.已知:"l-g+t一;+/一…，如图是求万的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入

------B.i--------

2n-li+2

C.i=5D.,3

2n+li+2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数x,丁满足x—4y—3WO,则目标函数z=x+2y—1的最小值为

2x+y-6<0

14.如图所示的流程图中，输出〃的值为.

15.已知双曲线=1（。〉0力>0）的两条渐近线方程为y=±@x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方

程为.

16.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，三棱柱-中，侧面54G。为菱形，ACIABrAB^BC.

（1）求证：BG，平面A&C；

(2)若AB_LB,C,ZCBB,=60°,求二面角与一A4,-G的余弦值.

18.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点。，焦点在x轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的

距离与它到右准线的距离之比为』.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(T,0),连接PM交椭圆。于另一点E.求证：直线NE过

定点B,并求出点3的坐标；

(3)在(2)的条件下，过点3的直线交椭圆C于S,T两点，求漏.讨的取值范围.

19.(12分)已知三棱锥P-A8C中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=l,PB=PC=姻，设点E为Q4中点，

点。为AC中点，点尸为尸5上一点，且PF=2FB.

(1)证明：BD//平面CEF；

(2)若Q4LAC,求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

20.(12分)已知函数,f(x)=n,g(x)=xsinx+cosx.

(1)判断函数g(x)在区间(0,2〃)上的零点的个数；

(2)记函数/(%)在区间(0,2乃)上的两个极值点分别为*、x2,求证：/(^)+/(%2)<0.

21.(12分)已知向量o=(2sinx,一百),B=(cosx,2cos\-1),f(x)=ab.

(1)求的最小正周期；

(2)若AABC的内角A,B,C的对边分别为a,4c,且a=6力=1,/(A)=G,求AABC的面积.

22>

22.(10分)已知6，工分别是椭圆。：3+事=1(。>人>0)的左、右焦点，直线y=彳与。交于A5两点,

NAF/=9(),且53襁=方

(1)求C的方程；

(2)已知点P是C上的任意一点，不经过原点。的直线/与C交于M,N两点，直线PM,PN,MN,OP的斜率都存

在，且k]VN+%op=0，求kpM•kpN的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用建系，假设长度，表示向量衣与丽，利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

由平面平面BCD,AB±BD

平面AB£)c平面3C£>=BD,AB\平面AB£>

所以AS,平面8CO,又。Cu平面BCD

所以AB_LOC,又DBLDC

所以作z轴〃A3，建立空间直角坐标系B-xyz

如图

设AB=1,所以BD=1,DC=1,BC=6

则A（O,U）,3（O,1,O）,C（1,O,O）,D（O,O,O）

所以衣=（1,—1,一1）,而（0,—1,0）

~or\\AC•BD1V3

所以3的则=同同二丁丁

故选：C

【点睛】

本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利

用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.

2.A

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可.

【详解】

作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为z=ax+y的最大值为2a+6,所以z=依+），在点A（2,6）处取得最大值,

则一aW1,即a2-1.

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

3.A

【解析】

若不等式/（力＞0有且只有一个正整数解，则y=的图象在y=g（x）图象的上方只有一个正整数值，利用导

数求出g（x）的最小值，分别画出y=g（x）与y=m（x-l）的图象，结合图象可得.

【详解】

解：/(x)=m(x-1)一(x—2)ex-e>0,

/M(X-1)>(x-2)eA+e,

设y=g(x)=(x-2)e"+e，

g'(x)=(x-l)e”,

当x>l时，g'(x)>0,函数g(尤)单调递增，

当X<1时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，

.•.g(x)2g⑴=0,

当x—时，y(x)—+oo,当Xf_oo,/(x)->e,

函数y=〃2(x-l)恒过点(1,0),

分别画出y=g(x)与y=%(x-D的图象，如图所示，

若不等式/(x)>()有且只有一个正整数解，则y=m(x-l)的图象在y=g(x)图象的上方只有一个正整数值,

...m(3-1)4(3-2)/+e且机(2-1)>(2-2)e*+e,即2»24g(3)=/+e,且机>e

故实数，〃的最大值为

2

故选：A

【点睛】

本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学

运算能力.

4.D

【解析】

根据(1—X)5+(17)6+(l-X)7+(l-X)8,利用通项公式得到含d的项为：您+，：+《+0(—)3,进而得到

其系数，

【详解】

因为在(1—X)'+(1—X)64-(1—X)7+(1—X)8f

所以含V的项为：0+窗+禽+或)(—4，

所以含丁的项的系数是的系数是-(《+c；+优+屐)，

=-(10+20+35+56)=-121,

故选：D

【点睛】

本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，

【解析】

设4B的中点为“，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出8以，平面QCH,这样可以

确定动点尸的轨迹，最后求出动点。的轨迹的长度.

【详解】

设的中点为“，连接因此有,而。C_LMB,而DC,CHu平面CO”，DCC\CH=C,

因此有平面。C”，所以动点P的轨迹平面。C”与正方体ABC。—的内切球。的交线.正方体

ABCD-A.B^D,的棱长为2,所以内切球。的半径为R=l,建立如下图所示的以。为坐标原点的空间直角坐标系:

因此有0(1,1,1),C(0,2,0),"(2,2,1),设平面。C”的法向量为肩=(x,y,z),所以有

ml.DC\m-DC-012y=0

一.=＞＜二°八=＞设=(1,0,-2),因此。到平面。C”的距离为:

mLDH[m-DH=0[2x+2y+z=0

\m-OD\J5/■=，/?、/=拽,因此动点2的轨迹的长度为2万r=述

〃所以截面圆的半径为:

\m555

故选：C

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和

数学运算能力.

6.C

【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解.

【详解】

/、-l+2z(-1+2/)(1+«)31

v71-/(l-z)(l+z)22

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

7.C

【解析】

根据函数/(x)的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.

【详解】

“X)的定义域为R.

由于〃一x)=/(x),所以为偶函数，故①正确.

由于《一£|=五哈+cos会"j(—£|=si吟+cos^^|^,所以小)在

区间(-§0)上不是单调递增函数，所以②错误.

当xNO时，/(X)=sinx+|cosx|=sinx±cosx=V^sin

且存在x=X,使/—=sin—+cos—=yf2.

414；44

所以当x20时，/(x)<V2;

由于〃x)为偶函数，所以xeR时

所以/(x)的最大值为狡，所以③错误.

依题意，,f(0)=sin|0|+|cos0|=l,当0<xW2不时，

式、37r

sinx+cosx,0<x<——<x<2/r

〃x)=兀22,

sinx-cosx,—<x<——

22

77T5TC

所以令sinx+cosx=0,解得》=彳，令sinx-cosx=0,解得x=[].所以在区间(0,2可，/(%)有两个零点.

由于/(》)为偶函数，所以/(x)在区间[一2肛0)有两个零点.故“X)在区间[-2名2可上有4个零点.所以④正确.

综上所述，正确的结论序号为①④.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

8.B

【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得生，再由等差数列通项公式求得公差.

【详解】

在等差数列｛《,｝的前«项和为S”,则S5=退尹=5%=35=%=7

贝!)/=q+2d=3+2d=7nd=2

故选：B

【点睛】

本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.

9.B

【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事

件的概率公式可求.

【详解】

解：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个，从中随机选取两个不同的数共有=21,

其和等于16的结果(3,13),(5,11)共2种等可能的结果，

2

故概率P=F.

21

故选：B.

【点睛】

古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础

题.

10.B

【解析】

利用函数y=与函数丁"心8；”互为反函数，可得0<a<b<\,再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.

【详解】

依题意，函数y=与函数V=l°g；x关于直线)'=x对称，则<log,0.2,

/[\O.2xlog।0.2z]xlog]0.20°z1\0.2/1\0.2

即0<av》vl,又c=2=(—j2=0.2°2=—<—j=a>

所以,c<a<b.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.

11.B

【解析】

利用复数乘法运算化简Z,由此求得回.

【详解】

依题意z=2+i-2i-产=3-1,所以目=^32+(-1)2=M.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.

12.C

【解析】

由于l-g+g-g+g-…中正项与负项交替出现，根据S=S+i可排除选项A、B；执行第一次循环：S=O+1=1,

①若图中空白框中填入，・=££,贝!Ji=-L②若图中空白框中填入，=4,则/•=_2，此时”>20不成立，〃=2

执行第二次循环：由①②均可得5=1-1③若图中空白框中填入i=亨，贝！Ii=：,④若图中空白框中填入i=上2

32n+l5i+2

31113

则i=],此时〃>20不成立，〃=3；执行第三次循环：由③可得$=符合题意，由④可得S=l-：+],

不符合题意，所以图中空白框中应填入，.=",故选C.

2n+l

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.

【详解】

y〈X,

作出实数x,y满足x-4y-3<0,对应的平面区域如图阴影所示;

2x+y-6<0,

,_1z1

由Z=x+2y-l,得,=---xH---F—,

222

平移直线7=-'》+三+,，由图象可知当直线+；经过点A时,

222222

1z1

直线y=--x+—+—的纵截距最小，此时z最小.

222

y=x

由，11=。'得％7,

此时z的最小值为z-

故答案为-1.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题

14.4

【解析】

根据流程图依次运行直到sw-i,结束循环，输出〃，得出结果.

【详解】

由题：

S=l,/?=1,S=l+log2-0,n—2,

22

S=0+log2^—j-=log2-,n=3,

232

S=log-+log-4=log,：=—1,〃=4,S<-1结束循环，

2332+14

输出n=4.

故答案为：4

【点睛】

此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.

15%23y2

10.------------------1

44

【解析】

由已知£=*,即&-病，取双曲线顶点3,0）及渐近线丁=会大,则顶点到该渐近线总_3伊・0的距离为

J3aa.2r23v2

——=-,由题可知a-2,所以5=展，则所求双曲线方程为二-二-=i.

J两+322百44

4

16.-

7

【解析】

基本事件总数〃=C；=126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数，〃=C；GC：+C；C；G+C；C：C：=72,由此

能求出其中三种颜色的球都有的概率.

【详解】

解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，

基本事件总数“=C；=126,

其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白

球和2个黄球，

所以包含的基本事件个数m=C：C；C；+C\CjC\+C；C；C；=72,

724

,其中三种颜色的球都有的概率是P=—m

n1267

4

故答案为：

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)-

7

【解析】

(D根据菱形性质可知BG,与。，结合AC1A用可得04=。。=。4，进而可证明A5Q4M&5OC,即

BCi1OA,即可由线面垂直的判定定理证明BC,1平面AB.C；

(2)结合(1)可证明。4。民。与两两互相垂直.即以。为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，|丽|为单位长度,

建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面4AA和平面的法向量，即可求得二面角-A4,-G的

余弦值.

【详解】

(1)证明：设8GngC=。，连接。4,如下图所示：

•.•侧面为菱形,

ABC,1B.C,且。为BC及BG的中点，

又AC_LAg,则AC44为直角三角形，

0A—0C=0Bi,

又AB=BC,

：.ABOA^ABOC,(SSS)

:.OA±OB,即BCJOA,

而OA,B£为平面AB}C内的两条相交直线，

/.BC,，平面ABg.

⑵AB1BC，8cl±B1C,ABcBC】=B

.•・4C_L平面ABO,

QAOu平面ABO,

：.B^CLAO,即QAJ,O61,

从而04,。6,。用两两互相垂直.

以。为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，|而|为单位长度，建立如图的空间直角坐标系。一孙z

•：NCBB]=60。，

•••为等边三角形,

•••AB=BC,

A（0,0,

.••福Jo,乌-

，丽=瓯=祈=/=o,-

3T,-

V（y-z）=o

it•AB1—0

设平面4AAi的法向量为〃=(x,y,z),则｛BP-

n•AA{=0一+冬=o

**•可取n=(1,5/3,VJ)，

设平面GM的法向量为而，则］"空=,°.

m-=0

同理可取m=(1,5/3,-V3)

---n-m1_1

vcos<n,m>=,-,

叶网椁X司一亍

由图示可知二面角为锐二面角，

...二面角B.-M-Ci的余弦值为

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线,

属于中档题.

18.(1)—+^-=1；(2)证明详见解析，5(-1,0)；(3)-4,--.

43''L4」

【解析】

(1)根据题意列出关于h,c的等式求解即可.

(2)先根据对称性，直线NE过的定点8一定在x轴上，再设直线PM的方程为v=^(x+4)，联立直线与椭圆的方程，进

而求得NE的方程，并代入弘=-用+4),y2=k(x2+4)化简分析即可.

(3)先分析过点B的直线ST斜率不存在时OS-OT的值，再分析存在时,设直线ST的方程为y=m(x+1)，联立直线与椭

圆的方程，得出韦达定理再代入面•讨=当天+%”求解出关于k的解析式，再求解范围即可.

【详解】

解：（1）设椭圆C的标准方程二+5=1（。＞方＞0）,焦距为2c,

ab“

由题意得,。=2,

a-c_c_1

由了一£一5,可得c=L

---a

c

则-f2=3,

22

所以椭圆。的标准方程为土+二=1;

43

（2）证明：根据对称性，直线NE过的定点B一定在x轴上,

由题意可知直线PM的斜率存在，

设直线PM的方程为y=k（x+4）,

y=k（x+4）

联立＜/y2，消去），得至1」（4公+3）%2+32公x+64公-12=0,

.T+T=

设点M（X，X）,E（x2,y2）,

则

32k264A2-12

所以玉+x=

24F73,X1%2=^F73_,

所以NE的方程为，一%=红4（%-々）,

—

令y=o,得x=%=%（"一"）,

%+y

将弘=%（玉+4）,y2=k（x2+4）代入上式并整理,

2X1X2+4（%+X2）

%+“2+8

（12弘2-24）-128/

整理得x=国一'

所以，直线NE与X轴相交于定点5（-1,0）.

(3)当过点8的直线ST的斜率不存在时，直线ST的方程为x=—ls(—一1,一

―­--5

此时OS・OT=——,

4

当过点B的直线ST斜率存在时，

设直线ST的方程为y=m(x+l)，且S(x3,%),T(4,为)在椭圆C上，

y=m(x+l)

联立方程组/2,

——+—=1

消去整理得（4/+3）x2+8m2x+4m2-l2=0,

则^（8/n2）2-4（4m2+3）（4m2-12）=144（w2+l）＞0.

所以iL登…4〃J2

4m2+3

9m2

所以yy=〃/（x+l）（x+1）=m2（xx+x+x+1）=

343434344〃r+3

-

K?ZYT5/zz+12533

所以OSOT=+%”=-2=2°\，

4m+344（4〃?~+3）

由/”2N0,得OS-OTe_4,一H

综上可得，砺.前的取值范围是-4,-.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题，需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的

方程，根据韦达定理以及所求的解析式，结合参数的范围进行求解.属于难题.

19.(1)证明见解析；(2)巫

6

【解析】

(1)连接。。交CE于G点，连接FG,通过证8D//FG,并说明AGu平面CE/L来证明B。//平面CEF

(2)采用建系法以4?、AC.AP所在直线分别为x、＞、二轴建立空间直角坐标系A-孙z,分别表示出对应的

点在C,P,E坐标，设平面P8C的一个法向量为k=(x,y,z),结合直线对应的酝和法向量万，利用向量夹角的余

弦公式进行求解即可

【详解】

(1)证明：如图,

连接交CE于G点，连接FG,•••点E为的中点，点。为AC的中点，

.•点G为AR4C的重心，则PG=2GD,\PF=2FB,:.FG//BD,

又•.•F’Gu平面CSV,平面CEF,；.BD//平面CEF；

⑵•.•AB=AC,PB=PC,PA=PA,:.APAB=APAC,

\-PA±AC,.\PA±AB,可得R4=2,又

则以AB、AC.AP所在直线分别为x、＞、二轴建立空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,00),5(1,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),E(0,0,l)

BC=(-1,1,0),BP=(-1,0,2),CE=(0,-l,l).

nBC=-x+y=0

设平面P8C的一个法向量为万=(x,y,z),由＜,

n-BP=-x+2z=Q

取z=l,得，”(2,2,1).设直线C£与平面P8C所成角为

则sine=\cos<n,CE>|=学』=£.：.直线CE与平面PBC所成角的正弦值为—.

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值

公式sine=|cos</i,C£?>|使用广泛，需要识记

20.(1)2;(2)见解析.

【解析】

(1)利用导数分析函数y=/(x)在区间(0,2〃)上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；

⑵设函数y=/(x)的极大值点和极小值点分别为X1、x2，由⑴知占€怎，4｝工2€(1,2乃)，且满足

XiSinx,.+cosXj=0(i=l,2),—=-tan,于是得出/(%)+/(毛)=_$亩玉一sin/,由，■〉」-得

XiX\X2

TT

-tanx,>-tanx2,利用正切函数的单调性推导出,<玉<%-乃<"，再利用正弦函数的单调性可得出结论.

【详解】

(1)g(x)=xsinx+cosx,「•g'(x)=xcosx,

9.90<X<2TT,当工£(0,3时，cosx>0,xcosx>0,g'(x)>0,则函数y=g(x)在(。,口上单调递增；

当时，cosx<0,xcosx<0,g'(x)<0,则函数y=g(x)在［丁丁J上单调递减；

当xw(当,2»)时，cosx>0,xcosx>0,g'(x)>0,则函数y=g(x)在(率2乃)上单调递增.

Qg(o)=l>。，g图=5>0，g(")=T<°，g仔卜一手g(21)=1>。.

所以，函数)『(对在„与卜与不存在零点，在区间已“和42万)上各存在一个零点.

综上所述，函数y=g(x)在区间(0,24)上的零点的个数为2；

COS%xsinx+cosx_g(x)

(2)v/(x)，，尸(x)

由⑴得，g(x)=%sinx+cosx在区间仁，乃J与1拳2乃)上存在零点，

所以，函数y=/(x)在区间g兀)与已，2%)上各存在一个极值点为、%2,且用£仁,乃)，w£仔，2万

且满足g(%)=0即玉sin%+cosxi=0(z=1,2),一二一tanxi,

，4)+/(%)=胃+管=-sinXj-sinx2,

又，：工\＜兀＜；＜工兀,

3＜2＜2•'­—＞—BP-tanx{＞-tanx2,tan%vtan/=tan(%2-TT),

,,王e停)}马€仁，2万)，：.々一万€已")

由y=tanx在上单调递增，得胃＜%＜工2一万＜兀，

再由y=sinx在上单调递减，得sinx,＞sin(j^—万)=-sin七

sinxl+sinx2＞0,即/(^)+/(x2)＜0.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力,

属于难题.

21.(1)万；(2)立或立

22

【解析】

TT

(1)利用平面向量数量积的坐标运算可得，(x)=2sin(2x-w),利用正弦函数的周期性即可求解；(2)由(1)可求

O

sin(2A-工)=立，结合范围-工效2A-乙—,可求A的值，由余弦定理可求c的值，进而根据三角形的面积公

32333

式即可求解.

【详解】

(1)/(X)=Q・B=2sinxcosx-V3(2cos2x-1)

=sin2X_6COS2x=2sin(2x--)

•••最小正周期T=M=7.

2

(2)由(1)知/(x)=2sin(2x—%],二/(A)=2sin12A—%)=G

..(兀、下)乃VOA%々5〃

..sin2A---|=——，又----<2A---<—

(312333

.•.2A—工=工或2A—工=女.解得A=工或4=工

333332

7T

当4=二时，由余弦定