河南省安阳市2021-2022学年高考仿真卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.若双曲线「-二=1的离心率为百，则双曲线的焦距为()

a4

A.2限B.275C.6D.8

2.若z=l+(l—a)i(aeR),|z|=&,则。=()

A.0或2B.0C.1或2D.1

3,若2">2">1,则()

A.—>-B.7en'n>\

mn

C.In("L〃)>0D.logLm>logLn

22

4.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造

业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是()

A.12个月的PMI值不低于50%的频率为g

B.12个月的PMI值的平均值低于50%

C.12个月的PMI值的众数为49.4%

D.12个月的PMI值的中位数为50.3%

5.已知函数g(x)=/(2x)+/为奇函数，且/(2)=3,则/(一2)=()

A.2B.5C.1D.3

6.已知点A（2,0）、B（0,-2）.若点尸在函数y=爪的图象上，则使得△P4B的面积为2的点。的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

27r

7.抛物线炉=2尸S>0）的焦点为准线为/,A，B是抛物线上的两个动点，且满足=设线段AB

\MN\

的中点M在/上的投影为N,则匕d的最大值是（）

AB

A.—B.—C.—D.y/3

432

8.执行如图所示的程序框图若输入〃=L,则输出的〃的值为（）

2

35

A.-B.2C.-D.3

22

八

—X~9H—1XX<0

9.已知函数2',若函数g（x）=/（x）-丘有三个零点，则实数Z的取值范围是（）

ln（x+l）,x>0

A.-4B.,1C.（0,1）D.+

10.已知函数/（%）=当，g（%）=%"'.若存在%£（0,+oo）,%2£正使得了（菁）=85）=后（后<°）成立，则

/、2

巴建的最大值为（）

kX1>

A./B.e

11.已知函数/（x）（xeR）满足/⑴=1,且/则不等式/（Ig2x）<lg2x的解集为（）

。。’?)1,10)D.(10,400)

B.|'QC.

12.设。，〃，c分别是AABC中NA,DS,NC所对边的边长，则直线5山4・%一〃）「<:=0与版+5抽8・丁+$抽。=。

的位置关系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.对于任意的正数。力，不等式（2"+。2注44〃+4必+3/恒成立，则A的最大值为.

ex/.

--，尢<2

14.已知函数/（x）=<；.8，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程.产⑺―34〃刈+2/=0恰

-----,x>2

、5x

有5个相异的实根，则实数。的取值范围为.

15.若函数〃x）=sin3x+o）（3>0,0W°<21）满足：①是偶函数；②的图象关于点仁,。］对称.则

同时满足①②的3,（P的一组值可以分别是.

16.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.某校在周末学生业余兴趣活动中开

展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的

不同安排种数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=|x-l|+|x+l|-2.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式/（X）../—。—2在R上恒成立，求实数。的取值范围.

18.（12分）为提供市民的健身素质，某市把AB,C,O四个篮球馆全部转为免费民用

（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从ARC,。四场馆的使用场数中依次

抽取巧,4,4,4共25场，在4,%，4，％中随机取两数，求这两数和g的分布列和数学期望;

t场数

（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x,其相应维修费用为）'元，根据统计，得到如下表的数据:

X10152025303540

y10000117611301013980147711544016020

y

Z=0.1/343+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求二与x的回归直线方程；

②缶叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时，的值

_77-^（X;-X）（Z,.-Z）

参考数据和公式：z=4.5，X（x,.-x）2=700，Z（x,-x）（Zi-z）=70,/=205=上T-----=-----，a=^-bx

/=1，=lZa-I

/=1

19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px（/?＞（））的焦点厂在直线x+y—1=0上，平行

于x轴的两条直线4，4分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于O,E两点.

（2）若尸在线段A3上，尸是OE的中点，证明：AP//EF.

20.（12分）已知〃>0,5>0,a+b=2.

(I)求'+/一的最小值；

aZ7+1

(II)证明：—H-->---.

baab

21.(12分)已知椭圆。的短轴的两个端点分别为A(0』)、8(0,-1),焦距为26.

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知直线丁=加与椭圆C有两个不同的交点”、N,设。为直线AN上一点，且直线30、8历的斜率的积

为一一.证明：点。在X轴上.

4

22.(10分)已知函数/(外=证”一。(；/+8)xe(0,+oo).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)曲线/⑺在点(2,〃2))处的切线斜率为3卜2一1).

(I)求。；

(«)若(x—Z)r(x)N—(x+l)2,求整数々的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

依题意可得加=4,再根据离心率求出力,即可求出c,从而得解;

【详解】

22

解：•.•双曲线二—二=1的离心率为由,

a24

一，4

所以e~=1H—&=3,a2=2.••c=灰，双曲线的焦距为2#.

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.

2.A

【解析】

利用复数的模的运算列方程，解方程求得“的值.

【详解】

由于z=l+(l-a)i(aeR),|z|=J^,所以=解得。=0或。=2.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.

3.B

【解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.

【详解】

若2山>2">1=2°,：.m>n>0,故8正确；

而当机=!_,"=’时，检验可得，A、C、。都不正确，

24

故选：B.

【点睛】

此题考查根据指数幕的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幕或对数的大小关系，需要熟练掌握指数

函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.

4.D

【解析】

根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.

【详解】

41

对A,从图中数据变化看，PM/值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PA〃值不低于50%的频率为一=-，

123

故4正确；

对B,由图可以看出，PM/值的平均值低于50%,故3正确；

对C,12个月的PM/值的众数为49.4%,故C正确，；

对O,12个月的值的中位数为49.6%,故。错误

故选：D.

【点睛】

本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.

5.B

【解析】

由函数g(x)=/(2x)+x2为奇函数厕有g(-1)+g⑴=0n/(-2)+1+/(2)+1=0,代入已知即可求得.

【详解】

g(-l)+g6=0-2)+l+/(2)+l=0W(-2)=-5.

故选:8.

【点睛】

本题考查奇偶性在抽象函数中的应用，考查学生分析问题的能力，难度较易.

6.C

【解析】

设出点P的坐标，以AB为底结合△产/钻的面积计算出点P到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于

”的方程，求出方程的解，即可得出结论.

【详解】

设点P的坐标为⑷，直线A3的方程为5一1=1,即尤—y—2=0,

设点P到直线AB的距离为。，则正xd=2,解得d=g，

另一方面，由点到直线的距离公式得4=匕口1»=夜，

72

整理得4-6=0或。-右-4=0，,/6Z>0,解得4=0或"=1或4.

2

综上，满足条件的点P共有三个.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

7.B

【解析】

试题分析：设A8在直线/上的投影分别是4,%则|4目=|44，忸日=忸4|,又M是A3中点，所以

..1....\MN\1|仪|+忸闻|AF|+|5F|

M=-(|M|+|^|),则曷=5.箕产在由中

|AB|2=|AF『+\BFf-2|AF||BF|cos一=|Aff+\BFf+\AF\\BF\=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|>(|AF|+|BF|)2

2

lAFl+lBFl,3(,网,,+|叫12『，所(\AF\+以\BF\)即4咻|AF|+尸|BF|2wG丁所以\MN\品#珠，故选民

考点：抛物线的性质.

【名师点晴】

在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线(或与准线

平行的直线)的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦A3的中点用到准线的距离首先等于

A3两点到准线距离之和的一半，然后转化为A,8两点到焦点E的距离，从而与弦长|AB|之间可通过余弦定理建立

关系.

8.C

【解析】

由程序语言依次计算，直到a<。时输出即可

【详解】

程序的运行过程为

J_35

n12

222

531

a—•21—

222

m2

bIn-0ln2In-

222

当"=2时，l>ln2；〃=*时，—<In—,此时输出"=°.

2222

故选：C

【点睛】

本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题

9.B

【解析】

根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知x=0为g(x)=/(x)一"的一个零

点；对于当x<0时，由代入解析式解方程可求得零点，结合x<0即可求得攵的范围；对于当》>()时，结合导函数,

结合导数的几何意义即可判断A的范围.综合后可得A的范围.

【详解】

根据题意，画出函数图像如下图所示:

函数g(x)=/(x)-a的零点，即f(x)=Ax.

由图像可知，/(0)=0,

所以x=0是f(x)-履=0的一个零点，

当尤<0时，f(x)=-x2+^x,若/(x)一6=0,

则一/—依=0,即8=,—左，所以,一无<0,解得

2222

当x>0时,/(x)=ln(x+l),

则/(%)=」7,且」740,1)

x+1x+1''

若/(X)-丘=0在x>0时有一个零点，贝|J丘(0,1),

综上可得上G

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中

档题.

10.C

【解析】

由题意可知，g(x)=/S),由/(%)=g(%)=左伏<0)可得出0<X|<1,々<0,利用导数可得出函数y=/(x)

在区间(0,1)上单调递增，函数y=g(x)在区间(F,0)上单调递增，进而可得出玉=/2,由此可得出

k2k

-=-j；=8(x2)=k,可得出&e=ke,构造函数人化)=抬孔利用导数求出函数y=/i(Z)在左G(F,0)

西「(x"

上的最大值即可得解.

【详解】

••・小)=竽g(1)=a竽=%)

由于/(%)=电上=k<°,则lnX|<0=>0<玉<1,同理可知，々<0，

函数y=/(x)的定义域为(0,+“)，r(x)=上F〉0对Vxe(0,l)恒成立，所以，函数y=/(x)在区间(0,1)上

单调递增，同理可知，函数y=g(x)在区间(F,0)上单调递增，

，/(xJ=g(9)=/d),贝!]芭=涉，.,.上=与=8(々)=",贝!I土ek=k2ek,

司e-Ix"

构造函数其中k<0,贝!]"化)=卜2+24)/=%(左+2)才.

当左<—2时，〃'仅)>0,此时函数>=/<%)单调递增；当—2<女<0时，〃化)<0,此时函数y=/?(攵)单调递减.

4

所以，M9max="(—2)=7.

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.

【解析】

构造函数g(x)=/(x)-x,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.

【详解】

设g(x)=/(x)—x,则函数的导数g'(x)=/'0)—l,Q/'(x)<l,.•.g'(x)<0,即函数g(x)为减函

数,；/⑴=1,g(l)=/(I)—1=1-1=0,则不等式g(x)<()等价为g(x)<g⑴，

则不等式的解集为x>1,即f(x)<x的解为x>1,Q/(lg2x)<lg2x,由\g2x>1得Igx>1或Igx<-1,解得％>10

或0<xv卡,

故不等式的解集为（o,奈

U(10,4-00).故选:瓦

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力，是难题.

12.C

【解析】

试题分析：由已知直线sin4x-ay-c=0的斜率为吧/,直线Zzx+sin"y+sinC=0的斜率为—――,又由正

asinB

考点：直线与直线的位置关系

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.272

【解析】

222

根据人均为正数，等价于《43/7:+4〃力+=4/7二3+4/7—lah恒成立,令人=xa,x>0,转化为

a~+2aba~+2ab

"W3+恒成立,利用基本不等式求解最值.

2x+l

【详解】

由题。力均为正数，不等式（2"+/注44从+4必+3/恒成立，等价于

.,3。2+Aab+4。2\4/?2-2ab+

k<-------------=3+-......恒成立，

a+2。力a+2ab

4r2-2x

令人=M,X>0则人43+^~—=2x+l+^^2>

2x+l2x+l

2x+l+--->2A/2

2x+l

当且仅当2x+l=二一即x=立二1时取得等号，

2x+l2

故攵的最大值为2G.

故答案为：2母

【点睛】

此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本

不等式求解.

【解析】

作出/(x)图象，求出方程的根，分类讨论/(幻的正负，数形结合即可.

【详解】

当用,2时，令八x)=5-l=O,解得x=l,

e

所以当不，1时，r(x)>0,则/W单调递增，当凝山2时，所无)<0,则/(幻单调递减,

当x>2时，/(》)=胃4r二-8==4一28■单调递减，且4-)

JX5JX5

(1)当。=0时，方程整理得尸(x)=o,只有2个根，不满足条件；

(2)若。〉0,则当.f(x)<0时，方程整理得严(x)+3叭》)+2“2="万+勿叮(幻+0=0,

贝!J/(x)=-2a<0,f(x)=-a<0,此时各有1解，

故当/(X)>0时，方程整理得f(x)-3叭x)+2a°=[/(x)-2a][fM-«]=0,

/(幻=24有1解同时/(%)=。有2解，即需2a=1,。=:，因为/(2)=考=2>:,故此时满足题意;

2e2e2

或/(x)=2a有2解同时/(x)=a有1解，则需“=0,由(1)可知不成立；

或/(x)=2a有3解同时/(尤)=。有0解，根据图象不存在此种情况,

2a>I

24

或/(x)=2a有o解同时/(x)=a有3解，贝！I24,解得士,,。<，

le5

故aep,1)

e5

⑶若“<0,显然当〃x)>0时，/(幻=2〃和/0)=。均无解，

当/(x)<0时，/。)=-2〃和/(幻=-4无解，不符合题意.

综上：。的范围是亡，-)u{-}

e52

故答案为：[2,—)<J{—}

e52

【点睛】

本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平和分析推理能力，属于中档题.

371

15.一，-

22

【解析】

根据/(x)是偶函数和/(x)的图象关于点对称，即可求出满足条件的力和O

【详解】

由“X)是偶函数及04。<2兀，可取0=/,

贝！I/(x)=sin(ft；x+S-coscox,

由/(x)的图象关于点对称，得0x1=E+],kwZ,

....33

即。=3kH—keZ,可取(o——・

292

371

故①，。的一组值可以分别是不，一.

22

故答案为：彳，—.

【点睛】

本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.

16.24

【解析】

分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射"和“御''捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列,

同时它们内部也全排列.

【详解】

第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有42=2种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全

排有用A；=12种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数

为&=24.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用

插入法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

33

17.(1){x|x?彳或尤2：}；(2)-\<a<2.

【解析】

x<-lf-l<x<lfx>l

(1)利用绝对值的几何意义，将不等式转化为不等式cc，或c,或cc，求解.

-2x-2>l[0>1[2x-2>l

(2)根据/。)2/一。.2在R上恒成立，由绝对值三角不等式求得了(x)的最小值即可.

【详解】

(1)原不等式等价于

x<-\[%>1

'或《或〈，

-2x-2>l[0>1⑵-221

33

解得：X”或

22

33

.•.不等式的解集为｛x[x?]或xN；｝.

(2)因为/(x)之。-2在R上恒成立，

而/(x)=k-l|+|x+l|-2>|(x-l)-(x+l)|-2=0,

所以矿一a—240,解得一1Va«2,

所以实数。的取值范围是—1W2.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18.(1)见解析，12.5(2)①S=0.1x+2②20

【解析】

(1)运用分层抽样，结合总场次为100,可求得％,。2，。3，。4的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;

7_7__

⑵①由公式可计算Za一无)2，Z(x,-x)(4-Z)的值，进而可求Z与X的回归直线方程；

1=11=1

②求出g(x),再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时X的值.

【详解】

251

解：(1)抽样比为-^■=：,所以。|,。,,仆,。4分别是，6,7,8>5

1004

所以两数之和所有可能取值是：10,12,13,15

p«=10)=1>“(4=12)=；,“(4=13)=；,p(L=15)=\

所以分布列为

e

610121315

£££

P1336

期望为E(J)=10xL+12x』+13x1+15xL=12.5

6336

(2)因为2(玉一x)2=700,》(x,.-x)(Zj-z)=70,

i=li=]

7__

Z(斗—x)(z,.—z)

701

所以-----=——=——=—,〃=4.5-0.1x25=2,

—x)270010

i=\

z=0.1x+2；

②z=0.1e痂+2=0・卜+2,

,40,

1+----Inx

设g(x)43431nx

y,g'(x)=4343x______

x+40x+40(x+40)2

所以当xe[0,20],g'(x)>0,g(x)递增，当xe[20,e),g'(x)<0,g(x)递减

所以约惠值最大值时的x值为20

【点睛】

本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.

19.(1)：/=4%；(2)见解析

【解析】

(D根据抛物线的焦点在直线x+y-1=0上，可求得〃的值，从而求得抛物线的方程;

(2)法一：设直线4，的方程分别为y=a和>且a#0，b关0,a'b,可得A,B,D,E的坐标，进而

可得直线AB的方程，根据尸在直线A8上，可得曲=T,再分别求得原户，kEF,即可得证；法二：设A(%,y),

3(马,必)，则P-1，当&，根据直线的斜率不为0,设出直线的方程为x-l=my,联立直线AB和抛

物线C的方程，结合韦达定理，分别求出心p,kEF,化简火”一⑥一即可得证.

【详解】

(1)抛物线C的焦点尸坐标为(々,0),且该点在直线x+y-1=0上，

所以=解得〃=2,故所求抛物线C的方程为y2=以

/2\

(2)法一：由点尸在线段AB上，可设直线4,/,的方程分别为丁=。和>=〃且历之)，疝〃，则A二a

(4)

,

B—,b,D(—1,,七(一1涉).

i4,

二直线A8的方程为，一“=万/—一不J,即4x-(a+b)y+"=0.

4一4

又点尸(1,0)在线段上，...城=-4.

TP是OE的中点，，

a+h4

a-----Q+—C4

・L_2_____g__±_

••KAP-b2_,.

G21_Cl2+,4A__Cl，kK，FFa一=如

——+1-----一三一三a

42

由于AP,石户不重合，所以AP//EF

A

法二：设A(%,y),B(x,,y2),则1J

当直线AB的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB的方程为=

x-1=mv

联立直线AB和抛物线C的方程｛2,「，得丁-4切-4=0

又M，%为该方程两根，所以％+%=痴，%%=-4,"+>一,峪=三1・

X]+12&+1)

M一4M

k一k2(阳+1)x+上为“+)j_y+rT_0,kEF=kAP

AP历一2&+i)-(西+1)—G+1)一国+i)—

由于AP，EF不重合，所以AP//EF

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

4

20.(I)最小值为一；(II)见解析

3

【解析】

(1)根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；

(2)利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.

【详解】

a+b-2

当且仅当《,,,即。=3一，人=1一时,

a—h+\22

114

所以一+「二的最小值为彳.

ab+]3

Jo

(II)要证明：—+—>—，

haah

只需证：—I----------N0,

haah

即证明：a'+b'~2>o,

ab

由a>0,b>0,

也即证明：a2+b2>2.

因为等

所以当且仅当a=。时，有>b

即/+/N2,当。=〃=1时等号成立.

所以廿3二.

baab

【点睛】

本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.

2

21.(1)—+y2=l；(2)见解析.

4.

【解析】

（1）由已知条件得出匕、。的值，进而可得出”的值，由此可求得椭圆。的方程;

（2）设点/（%,根），可得N（-%,〃/）,且x产