函数零点与元次方程根的分布

函零与元次程的布函数的零：对于数

yx)

，把使

f(x)0的数x叫做函数yf(x)

的零点。零点存在定理：如果函数

yfx)区[a,]

上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a))0

，那么函数

yx)在区间(a,b

内有零点即存在

cab使得(c)0这c也就方程

f(x0

的根。函数与方思想若若

=fx)与x轴有交点xf(x)=000=f(x)与=g(x)有点(，)f()=gx)解0一元二次程根的分布

。一、一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程

ax

（0）的两个实根为

x

，，且x1

x

。【定理1】

x

0，x(两个正根)

cx

，推论

x

0，x0

20f(0)c0b

或

ac0af(0)b【定理2】

x

0，0

00x0

，推论0，02【定理3】x0x2

0f(0)c0bca

acf(0)0【定理4】eq\o\ac(○,1)

x

x0c0

且

b；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)x0，c0且a

。/

二．一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程0）的两实根为k分布（即x，相对于k的位置）有以下干定理。2

x

，x，x

x

k为常数。则一元二次方程根【定理1】

k

x

ack)a【定理2】

x

x

k0

。bk2a【定理3】

x

x(k)

。推论10x02推论2(。【定理4】且仅（或xf()f(k)222【定理5】

k212

f()1(k)02f(p)01()2

f()0()0f(p)(p)0/

f()0f(k)f()0f(k)

【定理6】

k

xx2

40或0(k)0f(k)bkkk22三、例题【1

若一元二次方程

kx

的两根都是负数，k的取值范围。【2

在何范围内取值，一元二次方程

kx

2

有一个正根和一个负根？【3

（1已知方程

x

2

x

的两实根都大于m的取值范围。（2若一元二次方程（3若一元二次方程

mxmx

22

mm

的两个实根都大于-1求m取值范围。的两实根都小于2m的取值范围。【4

（1）已知方程

x

2mxm

有一根大于2另一根比2小，求的取值范围。（2已知方程

x

2

xm

有一实根在和1之间，的取值范围。例1

k

125

或k>3例0<

<3）例3、112

4

）2

6

）3

或m6

）例4、1（

2

）2（

12

）函零与元次程的布/

一、选择1、已知

f)=(－a)(

)－a<

)，并且方程

fx

两根(<，则实ab，的大小关系是()A<a<b<

Ba<

a<b<

D<<<

2、方程

f(x)

=

2=0(a的两个根都大于的充要条件是()eq\o\ac(△,A.)≥且

f

(1)>0B.

f

(1)>0且－

bceq\o\ac(△,0)≥且－>2，△≥且aaa

f

(1)>0，－

ba

。3函数

f()x

在

[0,

内（）（A没有零点（有且仅有一个零点（C）且仅有两个零点（有无穷多个零点4已知

f(x)是R

上最小正周期为2的期函数，且当

,f()x3函数(x

的图象在区间[0,6]上轴的交点的个数为（）（A6（B）（8（D95设abc，二次函数

f

的图象可能是（）6函数

f(x2x

xx,x12

时(x)f()实数的取值范围）A.

a

12

B.

a

12

C.

a

12

D.

a

127设二次函数

f(x)

2

(x)

的值域为

[0,

c

的最大值为（）A

B

C

D

8函数

f()x

的零点所在的区间是（）(A)（-2,-1）(B)（-1,0(C)（0,1(D)（）9．若函数

yx)

在区间

不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A若

f(a)(b

，不存在实数

cab使得f()0

；B．若

f(a)f(b

，存在且只存在一个实数

cab得f(c0

；．若

f(a)f(b

，有可能存在实数

cab使得f()0

；D．若

f(a)(b0

，有可能不存在实数

cab使得f()0

；10．如果二次函数

y

2

mx

有两个不同的零点，则

的取值范围是（）A．

B．

．

D．

/

11直线

y函数y

2

x

的图象的交点个数为（）A4个

B．3个

2

D．个12．若方程

在区间,ba,b,且

上有一根，则值为（）A

B．

．

D．

二、填空13、已知函数

f()

,

x

，若关x的方程

f()

有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.

(xx14．函数

f(

的零点个数为。．函数

f(x)

1对一切实数x都满足f(f()2

，并且方程

f(x)0

有三个实根，则这三个实根的和为。16．若函数

fxx

2

的零点个数，______。三解答题17、已知关于x的次方程xmx+1=0.方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区(1，求m范围.方程两根均在区间(0内，求的范围.18、若方程

x

2

k

的两实根均在区间1内，取值范围。19、若方程

x

2

kk

的两根中，一根在0和1之间，另一在1和2之，求k的取值范围。20、若方程

x

mx

有两个不相同的实根，m的取值范围。21、若关于的方x

2

)a

有唯一的实根，求实a的取值范围。参考答案：一、选择/

ADBADCCCCDAC二、填空13

（0,1）14、215、16、4三解答题17、(1)

1

1m2218

12

）12）192320、21、提示：原方等价f(x)=x+12x+6令

……即a2x②11若抛物线y=fx)与x轴切，有△=144－a+3)=0a=。211=代入式②有=－满足式①，∴。2

若抛物线=

fx与x相交意到其对称轴为x=6交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是163解得。f(0)1631∴当时原方程有唯一解。6

－

－6

O

另法：原方程等价于x+20x=8x－6a－3(<20或>0)……③问题转化为：求实数取值范围，使直线

x－6a3

与抛物线

=2