函数的奇偶性与周期性教师版

函的偶与期A.基础梳理．奇、偶函数的概一般地如对于函数f(x的定义域内任意一个x都f(－x＝()那函数f(x)叫做偶函数．一般地如对于函数f(x的定义域内任意一个x都f(－x＝f那函数fx)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y对称．．奇、偶函数的性奇数关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．．周期性周期函数函y＝(存一个非零常数T当x取义域内的任何值时，都有f(＋)＝(x)那么就称函数y＝(x)周期函数，称这个函数的周期．最小正周期如在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数就叫做f()的最小正周期．B.方法与要点一条规奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性若奇函数fx)＝0处定义，则f(0)设f)，()的定义域分别是D，，么在它们的公共定义域上：1奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋＝偶，×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方判断函数的奇偶性，一般有三种方法(1)义法；图法(3)性质法．三条结若对于R上的任意的x都f－x＝f)f(－x)f＋x，则＝f()的图象关于直线x＝a对．若对于R上任意都有f(2－x)＝f)，且f－x)＝f(x其＜b，则：＝f(x)是以b)为周期的周期函数．

222x1若(＋a＝－fx或fx＋)＝或(x＋a＝－，么函数(x)周期函数，其中一个ff周期为＝2；若f＋a)＝(＋)(≠)，那么函数f)是周期函数，其中一个期为＝aC.双基自测全国)设fx)是周期为2的函数0≤x≤1时x)＝2x－xf111－－C.D.4

－＝．5解析f)ff．fx)＝－的象关于()．x

答案AA．轴称

B直线＝－x对称

C．标原点对称

D．直线y＝对解析fx)(∞∞f－xf)答案

1()x

fx)广东)设函数f(x和()分别是R的偶函数和奇函数列论恒成立的()．Ax)＋()|偶函数

B(x－g()|是奇函数

()|＋g(是偶函数

D()|－gx)奇函数解析(x)|(x)|ABBDA.答案A．福建对于函fx)sin＋＋c(其中，a∈R，c∈Z)，选取a，的组值计算f(1)和f－1)，所得出的正确结果一定不能(．A．4和B．3和1．2和4D1和解析sinbcasin1c(1)f(2cDD.答案D．浙江若函数(x＝－x＋a为函数，则实数＝________.解析法一fx)f()xR|xR0xRa法二f(1)f1||aa0.答案0D.考点解析

22222233332222231222222223333222223122考点一判断函数的奇偶性【例】下列数：①(x)

－＋

x－；②f＝－x③f(x＝ln(＋x＋1)；④()＝

－3

x

；⑤f)－＝其中奇函数的个数是()．＋A．2B．4D．5[审题视点]利函数奇偶性的定义判断．解析(x)x

{1,1}(x(x)x1(x)xR(x(x)x)(xxf)(x)xxxx≥0fxR(xxln

xxxfx)(x)x(x)R(xf)2(x)xx<1f()ln(x(xlnln(x)答案D

f()判断函数的奇偶性的一般方法是求函数的定义域(2)证(－)＝f(x)(－x)＝f)成立；或者通过举反例证明上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断．【训练】判断列函数的奇偶性：－f(x)；＋－

(2)f)x－x－a＋

222222222＋212－1－＋＋1222222222＋212－1－＋＋1＋1＝x解

，(1)解不等式组≠，得－≤x，0<x≤2因此函数f()的定义域是[－∪，则f()＝

－x

f－)＝

－4x＝－＝－f)－x所以f()是奇函数．f(x)定义域是－∞＋∞)．当a，fx)x－x＋，f－)＝x－－＋＝x－x＋＝x)．因此f()是偶函数；当a，f)＝＋，f－)＝a－|2a＋，f－)≠()，且f－)f(a)．因此f()既不是偶函数也不是函数．考点二函数奇偶性的应用【例】已知fx)x

＋－1

(≠0)．判断fx)的奇偶性；(2)证明：(x＞[审题视点(1)用定义判断或用特值法否定；由奇偶性知须求对称区间上的函数值大于解

法一f)的定义域是－∞，∪，＋∞)11＋1∵(x)x＝.－－x＋＋∴(－x＝＝＝(x)－2－故f()是偶函数．法二fx)的定义域是－∞0)∪(0，＋∞，∵＝，(－＝，∴fx)是奇函数．∵(x)f(－x＝x

11＋＋xx＋＝x

－1－

＝x－11)＝，

x2222x2222∴(－x＝()，∴(x)偶函数．证明当x＞0时21,2－＞，所以f()＝

1＋－1

＞当x＜0，－＞0，所以f－x＞0又fx是偶函数，∴(－x＝()，所以f(x＞综上，均有f)＞根据函数的奇偶性讨论函数的单调区间是常用的方法函数在对称区间上的单调性相同数对称区间上的单调性相反具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【训练2已知奇函数fx的定义域为[－，在区间[－内减，求满足f－)＋(1－

2

)＜的实数的值范围．解∵(x的定义域为[－2,2]≤，∴有≤，解得－1≤≤3.①又f()为奇函数，且在[上减，∴在[－2,2]上递减，∴(1－)＜f－m)＝(m－1)－m－，即－＜＜1.综合①②可知，－1m＜1.考点三函数的奇偶性与周期性【例►已知函数fx)是(－∞＋∞)上的奇函数且f(x的图象关于x＝对当x∈时，()＝2－1，求证：f(x是周期函数；当∈时，求fx的解析式；计算f＋f＋f(2)f(2013)值．[审题视点]只需证明fx＋T)＝()，即可说明f()为周期函数；由f)在[上解析式及f()图象关于x＝1对求得f(x)在[上解析式；由周期性求和的值．证明函数fx)为奇函数，则f(－x＝－f，函数fx)图象关于x＝1对，则f(2＋x)＝(－x＝－()所f＋)f[(2＋)＋＝f(2＋x)＝()所以f()是以为期的周期函数．解当∈时－x∈[0,1]

又f()的图象关于x＝对称，则fx)＝f－x)＝2

2

1∈．解

∵(0)＝，(1)，＝0f(3)f(－＝－f＝－又f()是以周期的周期函数．∴＋f＋f＋f＝(2＋＝f(0)f(1)判断函数的周期只需证明fx＋T＝(xT≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，数的周期性常与函数的其他