函数定义域值域求法(全十一种)

222222高中函数义域和值域求法总结一常型即给出函数的解析式的定义域求，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式〔或组即得原函数的定义域。例

求函数

x|x

的定义域。解：要使函数有意义，如此必须足2x0①|x②由①解得xx。由②解得x5或x

④③和④求交集得

且x

或x>5。故所求函数的定义域为{x{x|

。例

求函数x

的定义域。x

解：要使函数有意义，如此必须足x

①②由①解得2k

③由②解得

④由③和④求公共局部，得x故函数的定义域为(评注：③和④怎样求公共局部？会吗？二抽函型抽象函数是指没有给出解析式的数，不能常规方法求解，一般表示为一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析，一般有两种情况。（1）f(x)

的定义域，求f[g(x)]

的定义域。（2）其解法是：f(x)

的定义域是［a，b］求f[g(x)]

的定义域是解g(x)

，即为所求的定义域。例

f(x)

的定义域为［，2求f(x

的定义域。解：令x2

，得x

，即0x

，因此x

，从而33

，故函数的定义域是{|33}

。〔2〕f[g(x)]

的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：f[g(x)]

的定义域［a定域的方法是由axb

，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域例

f(2x

的定义域为［1，2求f(x)的义域。解：因为12x

。即函数f(x)的定义域是{|3

。三逆型即所给函数的定义域求解析式中数的取值X围。特别是对于定义域为R，求参数的X围问题通常是转化为恒成立问题解决。例

函数y

mx

的定义域为R某某数m的取值X围。分析：函数的定义域为R，明确mx

，使一切x∈R都成立，由x

项/

22的系数是m，所以应分m=0或

word进展讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当时mx

2

6mx

是二次不等式其对一切实数x都成的充要条件是

m

8)综上可知0

。评注：不少学生容易忽略的况，希望通过此例解决问题。例

函数f(x)

kx4kx

的定义域是R，某某数的取值围

2无实数解：要使函数有意义，如此必须4kx4kx

≠0恒成立，因为f(x)

的定义域为R，即①当k≠0时，16k0

恒成立，解得0

；②当k=0时，方程左=恒立。综上k的取值X围是0k

。四实问型这里函数的定义域除满足解析式，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例7将长为a的丝折成矩形，求矩形面积y关于一边的数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为x，如此另一长为

于是可得矩形面积。11yx(aax22

12

。由问题的实际意义，知函数的定域应满足0(a2x)02xx

a2

。故所求函数的解析式为

1aax定义域为〔0，22例用为的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架图如矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。/

2222因为，所以CDL2x故y2

，所以AD

LCDL2

，)xLx2根据实际问题的意义知0

0

0x

L故函数的解析式为y

2

)xLx

L，定义域〔0，五参型对于含参数的函数，求定义域时必须对分母分类讨论。例

f(x)

的定义域为［0，1求函数(xa)f(x

的定义域。解：因为f(x)

的定义域为0，1即x

。故函数(x)

的定义域为如下不等式组的解集：x

，即

a即两个区间［－a，1－a］与［，1+a的交集，比拟两个区间左、右端点，知〔1〕当

12

时，F〕的定义域为{x|xa}

；〔2〕当

12

时，F〕的定义域为{x|aa}

；〔3〕当a

或2

时，上述两区间的交集为空集，时〔x不能构成函数。六隐型有些问题从外表上看并不求定义，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中例如函数的单调间是其定义域的子集因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10

求函数ylog(

2x

的单调区间。解：由x

2

0

，即

2

2x

，解得x

。即函数y的定义域为〔－1，3函数y(

2x

是由函数logt，2

2

复合而成的。t

，对称轴x=1，由二次函数的单性，可知t在区间(函数；区间是函数，而ylogt在其定义域上单调增；2((数log(间是增数，在区间[上减函数。种1.直法/

在区

2y2，而2y2，而一拟其域观得。1.求数

y

1x

域。∵x∴

x

函值：(2.求数yx

域。∵

x0,3x数域[2.配法法二根的一。3.求数yx2x

域。将配：2∵x次的x=1，ymin，当数域：[43.判法xx4.求数x2域。原化x的程(y(y1)x

，ymax当y

时，xR

2

4(y1)(y：

12

32y=1，

x

32

数域为

1,2

5.求数yxx(2x)

。两方：1)xy2

〔1〕∵

xR/

,x1xxx,x1xxx∴4(y

2

8y2y时数由x(2

得由

x的21)x2

数R，能其上能保

X围yX围，能此的为采下定函域。∵xyxx)

。y

min

y

方〕：

222

4

2

[0,2]当1

，数域[0,12]注别法来断的域，函数定数，合，扩。4.反法直数值域难可通求定义函值。6.求数

3xx

。由数：

x

其数：

y

6y5x

其义：

求的：55.函法直数值域难可利已有界主定的。7.求数

ee

xx

域。e由数：

/

22y22y∵

x

y

：求的为8.求数

y

cosxsinx

。由数：ysinxcosx3y化：x(xsinx(x即

3y∵

xR∴x(x即

y

：

2数域为

24

6.函法9.求数

x1(2x3

的。令x,yx12此yy数以y在[2增数12x=2，min

3

2

18x=10，y5logmax

3

9求的：1函数y

xx

域。原可：

y

x令yxyx12

然y,1

为上函数以yy，y在1,2

为上数/

22min∵22min∵x=1时，y值，数大值21

2然y7.换法

故数为(0,2]通的元把个变简题型征式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之在数发作。1函数yx

的。令x

，(t此

x

2

∵

1y(t)2又

t

二函质知当t时，当t0，y数域为1,1函数

1(x

2

的。因(x

2

即2令x∴

cos

cos

2

sinsin()5044

2)202)4求的[

]1函数

42。原可：

2x11x

令x

2x如有

sin

cos/

，当时，min，此2当42，当时，min，此2当421ysin2sin421ky当4281ky284时an意。,4求的为1函数yx1)(cosx

，

x2

值。：x1)(cosxsinxsinxx令inxcosx

1xx(t2

2

y

11(t22

2由tsinxx

sin(x4)且

,122：

2当

t

，

y

3t2

22

，

32y42,2求的为

。1函数xx

域。由

5令cosy55sin()4∵444当

，10max当

，min求的：[4

]/

2222222222222222222222228.数法其函解析具显某几两点直率运数往加单目，悦。1函数y

(x2)

2

(x8)

2

的。原可：yxx可成B(

的之。图，PAB时，yx|xABP在长|求的：1函数x

2

x

2

的。原可：(x2)(x2)

2可x点(x,0)

点A(3,2),B(

距和，由图知点P为线与x轴的交点，

min

AB|2)(243

，求的[43,1函数

x6xx

的。将变：

(x2)(x2)可定距定点(离。

点P(x,0)

：yAP|BP可PxABx轴的点点，如此构成ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有||BP'||AB|(32)26/

：26PABx轴点，有AP|BP||AB|所可为：]

由例，18知两之使、Bx轴两之，要使A点x轴同。17

x的；18两坐为，2(2,9.不法

，x轴。根等式

abc

R

函的，型解要积式积求值，有要。1函数

y(sinx

1)(cosxsinxcosx

)

域。原变：yxx)

1sinx

x

x

xtan

xcot

xxcotx仅当cotx当

x

4

时k

号立函值：[5,2函数sinxsin：yxsinxxx

域。/

yt以yt以y

4

xcos

2

x8sin

2

xsin

2

2

x)8[(sin

2

xsin

2

xsin

2

x)/

3

仅当sin2x2，当

2

x

23

时成。由

y

2

6427

：

383函值：10.法：为

axy(c

定域xy变，知X可另变X。2函数

y

的。∵域为

1xx或x2由

y

得

x

2y故

x

1112y2或2y3yy得2数域为11.运

3,2x2函数x域。令t2(t0)

此x2y当t，

t11t12t

当t即

等，/

0,223