模型试验理论和技术

第三章

模型试验理论与技术§3.1概述原型试验：在实际建筑物、构筑物或机械设备上进行的试验；优点：试验成果直接、真实、可靠；缺点：有些试验不能做或成本太高。如大型建筑物、构筑物及贵重设备的破坏性试验，极限性能试验、优化方案的比较试验等。模型试验:将发生在原型中的力学过程，在物理相似的条件下，在经缩小或放大的模型上进行的试验。需解决的问题：（1）正确的选择模型的尺寸、材料性质参数及边界条件、初试条件；（2）对模型试验得到的参数、结果通过一定的关系换算到原型中去。某大型复杂钢结构厂房体系的振动台试验。以在建的某大型火电厂为原型，通过振动台试验和弹性、弹塑性强震计算，对这类结构的薄弱层，空间整体工作性能，支撑作用等进行了系统研究。简介：对平面尺寸288.4m×274.4m的大型马鞍型结构进行了1/35结构缩尺试验。共使用杆件5631根，采用分配梁系统进行加载。试验验证了这种结构的空间整体效应对承受开闭式屋盖的预制预应力结构进行了1:20缩尺模型试验，探索了这类结构体系的受力特征和破坏模式成都来福士实业有限公司拟建的“成都来福士广场”工程场地位于成都市一环路与人民南路交界处，规划建筑总面积约27万m2，由5栋不等高塔、裙房、以及4层地下室组成。该项目建筑外形较为复杂，通过抗震缝使得地上部分塔楼与中心围合区域、塔楼相互之间两两分开，避免成为大底盘多塔楼结构。各分塔及裙房结构在地下连为一体。各塔楼中，以塔楼3和塔楼4的结构形式最为复杂。塔楼3（简称T3）结构总高118.1m，地上主体结构共34层，标准层层高3.1m，平面呈不很规则的斜四边形，北侧逐步收进，东南侧先斜向悬挑再收进，南北两立面空间体型复杂。峡江水利枢纽工程模型试验项目峡江水利枢纽工程模型试验项目§3.2

相似理论一、相似的概念⒈

几何相似两系统几何相似：对应边成比例，对应角相等。几何尺寸的比例称为几何相似常数。如两三角形相似：对应角相等，对应边成比例

l

l

l

123

相似常数(相似系数)

l

l

l123

l

l

1

相似定数1

l

l222、物理相似两系统物理相似：指在几何相似的系统中，进行着同一性质的物理变化过程，且两系统中各同名的物理量存在固定的比例常数相似常数。同名物理量指表征同一物理属性的物理量；同名的物理量存在固定的比例常数：指两系统中所有向量（矢量）在对应点和对应时刻，方向相同，大小成比例。所有标量在对应点和对应时刻，大小成比例。如果两系统中，进行的物理过程的数学物理方程结构形式相同，但其过程的物理本质不同称两系统为“拟似”。如地基固结和热扩散。二、

现象相似的条件现象相似的性质：彼此相似的现象具有的性质现象相似的条件：满足什么条件现象才能相似1、

相似的前提条件(必要条件)单值条件相似(几何条件、物理条件、初始条件及边界条件相似)是现象相似的必要条件。①两系统中发生同类物理现象用同一方程描述。例如：流体在管道中流动；流体流过平板。②

几何条件相似所有具体现象都发生在几何形状的空间内。③

物理条件相似指两系统所有对应的物理量成比例有相似常数存在。

对应的物理量包括：时间、空间、速度，如

时间相似常数

C12

12

l

ll

C几l

何相似常数12

ll

l12

ww

w

w()12速度相似常数

速度方向相同

w

wlw12同理，压力、密度、温度、浓度等的相似，也有相应的相似常数存在。④

初始条件和边界条件相似2、

相似的充分条件现举例两质点运动的相似来说明，任何质点的运动，其瞬时速度均可用下式表示：d

ldd

ld对质点A

w

w

(1)dd

l

(2)w对质点B

w

C

wCl

C

l由于两质点运动相似，则有wlC

d

l

代入(2)得Cw

w(3)lC

dClCwCCl要使(1)、(3)等价，必然有(4)Cw

1CCwC相似指标。相似指标为相似常数的特定组合。Cl如果两个现象的单值条件相似(有相似常数存在)，而且相关的相似常数的特定组合等于1(相似指标等于1)，这两个物理现象相似（充分条件）。将w、、l

相似关系代入(4)得：

w

ww

lll相似准数(无因次)相似准数：相似物理现象中相关物理量的无因次组合，反映了某一方面的物理本质。相似的充分条件：两系统中所有的相似准数均相等。简单现象：一个相似准数；复杂现象；可有多个相似准数。三

、相似定理原型模型相似关系相似第一定理：

对于彼此相似的现象，其相似指标为

1，或者其相似准数为一常量。相似第二定理：表示一现象各物理量之间的关系方程式，都可以转换成无量纲方程，无量纲方程的各项即是相似判据（）。定理在物理方程相同的情况下，如两个现象的单值条件相似，则这两个现象一定相似。相似第三定理：单值条件相似包括：（1）、几何相似（2）、时间相似（3）、物理参数的相似（4）、初始条件的相似（5）、边界条件的相似•

单值条件包括：几何条件、初始条件、边界条件以及对所研究的现象有重大影响的物理条件等。•

对于常温静态弹性应力分析问题，主要考虑的是几何条件、载荷条件、约束条件和泊松比条件。•

而对运动学和动力学的问题，则还要考虑初始条件和时间条件等。在复杂的模型实验中，要求单值条件完全相似是有困难的，但应尽量保持相似。1、相似第一定理：对于彼此相似的现象，其相似指标为

1，或者其相似准数为常量。F

ma例1：对于两个动力学系统，均满足牛顿第二定律

F

m

a

F

m

a(1)(2)对两系统分别有

F

C

F

m

C

m

a

C

a令：(3)(4)Fma

C

F

C

m

C

a将(3)代入(2)得FmaC

C

C因为两系统相似,(1)、(4)两式等价Fm

aCFCmCaCi

1称为相似指标再将(3)代入相似指标得

FFF或

常数

称为相似准数

m

a

m

ama例1、单由度系统的受迫振动问题相似理论如图所示的单自由度系统，其质量块f(t)m在外力f(t)作用下的运动方程为：myd

2

y

dydt2

dtm

k

y

f

(t)(1)ck其中:η为粘性阻尼系数;k为弹簧系数;f(t)d2yf(t)

为激振力;y:振动位移.mdt2k

ydydt2d

y

dyppk

y

f

(t)

mppp

ppdtp2(2)(3)dtp对原型：对模型：d

2

ymdtm2dymdtmmm

k

y

f

(t)mm

mm取下列比例常数：Bm

m

pyypp;

B

y

;

B

f

;

B

;mmmmkkfftt(4)(5)Bk

;Bt

pppmmm代入原型方程（2）并整理得：B

BB

ByB

B

dtBk

Byd2ydymk

y

f

(t)m

y

mmm2mB

fm

mmBt2B

fdtmtfm需要注意处！要使得该方程与模型方程等价，则必有：B

B

B

B

B

B

1m

yyk

yBt2B

B

B

BftffB

B

B

B

B

B相似指标有三个：m

yyk

y;;.B

B

B

B

B2t

ft

ffmy

;yt

fk

y

;

.相似准数也有三个：123t

2

ff例2、地基压缩固结试验的相似理论问题Terzaghi单向固结理论•

土是均质、各向同性且饱和的;•

土粒和孔隙水是不可压缩的，土的压缩完全由孔隙体积的减小引起;•

土的压缩和固结仅在竖直方向发生;•

孔隙水的外排符合达西定律，土的固结快慢决定于它的渗透速度;•

在整个固结过程中，土的渗透系数、压缩系数视为常数;•

地面上作用着连续均布荷载并且是一次施加的;室内固结试验与压缩曲线•

用环刀切取扁园柱体，一般高2厘米，直径应为高度2．5倍，面积为30cm2或50

cm2,试样连同环刀一起装入护环内，上下有透水石以便试样在压力作用下排水。•

在进水石顶部放一加压上盖，所加压力通过加压支架作用在上盖，同时安装一只百分表用来量测试样的压缩。•

由于试样不可能产生侧向变形而只有竖向压缩。于是，我们把这种条件下的压缩试验称为单向压缩试验或侧限压缩试验。室内固结试验与压缩曲线Terzaghi单向固结理论单向固结微分方程

2k

E

ku

uCv

v

sv

C

mw

vv

t

z2w固结系数边界条件:

u

|

0;(上边界完全透水)z0uz边界条件:

|

0;

(底边界完全隔水)zH初始条件:

u

|

q;(外荷载一次性施加)t0

u

u2对原型

Cvpp

p(1)(2)z

t2p表示原型pp

u

u2Cm

m对模型m表示模型vm

z

t2mmupcvpzptp取比例常数:

;

bb;

;

bb(3)(4)ucztumcvmzmtmv代入原型方程(1)得:

b

b

2u

b

uc

u

Cmumv

vm22mbz

b

t

ztm要使方程(4)与方程(2)等效,必有:b

bb

bbc

t1c

uuvv22bb

bztzctz2相似指标

v相似准数Terzaghi单向固结理论用分离变量法求解微分方程得时间因数最大排水距离，在单面排水条件下为土层厚度，双面排水条件为土层厚度的一半※边界条件相似性问题边界条件:

u

|

0;(上边界完全透水)p

z

0pupzp对原型对模型边界条件:|

0;

(底边界完全隔水)z

Hpp边界条件:

u

|

0;(上边界完全透水)m

z

0mumzm边界条件:|

0;

(底边界完全隔水)z

Hmmuz:

bu将比例常数代入原型边界条件

p;

bz

p;uzHmmp;并注意条件:

bzHm容易验证:原型边界条件与模型边界条件完全等效;即满足边界条件相似※初始条件相似性问题初始条件:

u

|

q

;(外荷载一次性施加)(外荷载一次性施加)对原型:对模型:p

t

0pp初始条件:

u

|

q

;m

t

0mmuptp将比例常数代入原型初始条件:

b;btuumtmqm并令:bq

;

可得下列方程:qpbqu|

qmm

t

0bum通过与模型初始条件对比可知,

要满足初始条件相似,必有:b

1qbu※问题讨论如果室内试验所采用的土样与工程现场土质相同(原状土样),则固结系数的比例常数为1,

设工程实际待固结软土层厚度为20米,

室内固结试验土样厚度一般为2cm,

则模型几何尺寸比例常数为1000,

则时间比例常数根据下式(相似指标)计算得到:b

b2zbc

t

1b

1000000vt2bbcvz即室内试验进行一分钟时土样的固结程度相当于工程现场土层在694天时的固结程度.通过与固结度计算结果的对比•

固结度就是指在某一附加应力下，经某一时间t后，土层发生固结或孔隙水应力消散的程度。对于某一深度z处土层经过时间t后，该点的固结度用下式表示：u

u

uU

0

1zuu00土层平均固结度为:•

对于附加应力为均匀分布的情况Hu0dz

pH0由此可见,相同时间因子时,土层固结程度是相同的.2zbb

1000000tbcv研究和应用:

固结软土中单桩负摩擦离心机模型试验研究•

1

工程概况浙江国华宁海发电厂位于浙江省宁波市宁海县强蛟镇西北的团结塘海堤东侧的滩涂上,拟建电厂建设规模为4×600MW燃煤机组。•

工程地质资料显示,主厂区地表下有5m至15m厚的淤泥层,其下有粉质粘土层、粉质粘土混砾砂层和凝灰岩层等。设计采用桩基础,根据电厂总平面布置方案,厂址场地由开山及滩涂回填而成,滩涂最大回填厚度达8m以上。在软土地基上大面积回填引起固结沉降,其对桩基的负摩阻力的影响必须通过试验进行研究。本次试验分为现场桩基负摩阻力试验和负摩阻力离心机模型试验两部分。试验数量均为2组4根试桩弹性力学的基本方程z

yx

fx

0xzxxyyzzy

平衡方程

zxxyyzy

0xzyxfxyzy

xyxzyz

fz

0xzzyuvywz

,

,

几何方程物理方程xxyzv

uw

vu

w

,

,

xyyzzxx

yy

zz

x

2G(e

);

2G(e

y

);x1

2xy1

2z

2G(e

z

)1

2

G

,

G

;

G

;xyxyyzyzzxzx如果体力仅考虑重力,

且z轴为竖直向上方向为正,并把物理方程写成矩阵形式:

zyx

0xzx

x

yyzzy几何方程形式不变

平衡方程物理方程

xyyzy0zxxzyxxyz

zxyxzyzz

xy

2

212

12

1222

0

0

0

xx

2

22

212

12

120

0

0

yy

GD

z22

220

0

0z

G

1

2

1

2

1

2

0

0

0

1

0

00

0

0

0

10xyxy

yzyz

0

0

0

0

01

xzzxPxyPxPzx

0平衡方程x

y

zPPPPxyPyPyz0

(1)原型x

y

zPPPPyzPxzPz

x

y

zPPPPmxymxmzx

0x

y

zmmmmxymymyz0

(2)模型x

y

zmmmmyzmxzmz

x

y

zmmmm取下列相似常数:

PPPyzPxmxPzmzP应力比例常数:

y

xzxy(3)mymxymyzmxzPyPxyPyzPPzP应变比例常数:

xz(4)(5)(6)(7)xmxmymzmxymyzmxzx

y

z几何比例常数:L

;;PPPx

y

zmmmu

v

w位移比例常数:u

PPPu

v

wmmm

gg

PP重力比例常数:;(材料密度相同)mgm将(3)、(5)代入原型-平衡方程(1)得:无约束！

mxymxmzx

0x

y

z

Lmmm

mxymym

yz

0(8)

x

y

z

mmmLmyz

mxzmz

x

y

zgmmmmL有约束！1要使其与模型的平衡方程(2)等效,必有:

L

g将(4)\(6)代入原型-几何方程得:u

uL

xmu

vL

ymu

wmL

zm

m

x,

m

y,

m

zmmv

u

m

xy

mmux

y

mmLv

w

myz

mmuz

y

mmLw

u

m

xz

mmux

z

mmLu

1要使其与模型的几何方程等效,必有:

L类似地,

将(3)\(4)\(6)代入原型-物理方程得:

m

D

m[D]

m1要使其与模型-物理方程等效,必有:

[D]在离心模型试验中,为了保证两者的变形与破坏过程能保持相似。原型与模型为等应力状态,材料的本构方程必须相同.因此:

1

11[D]uL

111

u1L

g用于模型设计

L

gL用于结果换算土工离心模型试验中主要物理量的相似关系见表1再根据Terzaghi单向固结问题，需满足:b

bc

t

1v2zbk

E

k

EC

v

s

v

sv

gww3

离心模型试验31

试验技术条件本试验在香港科技大学土木工程离心实验室进行,该机有效半径4m,最大加速度150g,最大容重400gt,具有可在实验中操作的机器人和双向震动台(Ng,etal2002a)。量测模型桩的应变采用了半导体应变片,其灵敏度比普通应变片高70倍;位移传感器采用PR750,测量范围±50mm;孔隙水压力传感器采用Druck’sPDCR81,测试范围0～700kPa。32

模型试验试验桩1(摩擦桩)的模型桩长540mm,直径20mm,在50g作用下,模拟长27m,直径1m的原型桩。试验桩2(端承桩)的模型桩长540mm,直径17mm,模型桩与模型箱底部接触。在70g作用下,模拟长38m,直径12m的原型桩。33

模型制作试验用土由粘土、砂土和全风化花岗岩构成。按宁海电厂现场土层分布情况,将粘土和全风化花岗岩通过水筛、搅拌、排除气泡等工序分层铺设在模型箱中。对粘土经过四次加载使其预固结,最大预固结压力为60kPa。为了模拟宁海电厂现场的情况,试验中将模型桩埋入制作好的土层中,摩擦桩桩端距底部60mm,端承桩桩端则到达模型箱底部,最后在粘土层上铺设砂土作为排水层。34

固结试验过程将制备好的模型装入离心机平台上,试验1(摩擦桩)模型保持50g运行约13.

8小时,试验2(端承桩)模型保持70g的运转速度运行约7.1小时;根据相似理论,相当于原型固结约4年(48个月)时间。4

试验结果分析41

沉降变形结果与分析试验桩1(摩擦桩)实测结果转化为原型,土壤和桩的沉降变形结果见图1。从图中可知,固结开始阶段,粘土沉降变形速率很快,随着固结度增加,沉降变形速率减小,大约固结40个月以后,土壤沉降变形趋于平缓。此时,实测土壤固结沉降5

.4mm,相当于原型固结沉降量270mm;实测模型桩的沉降量约为0

.63mm,相当于原型桩的沉降量32mm。软粘土t90对应时间为16月左右。试验桩2(端承桩)：实测结果转化为原型土壤和桩的沉降变形结果见图2。从图中可以看出,固结开始时段,粘土沉降变形速率很快,随着固结度增加,沉降变形速率减小,

大约固结16个月以后,土壤沉降变形趋于平缓。此时,实测土壤固结沉降3.6mm,相当于原型固结沉降250mm;实测模型桩的沉降量约为0.

015mm,相当于原型尺度下桩的沉降量1

.05mm左右。由于是端承桩,桩的沉降变形非常小。软粘土t90对应时间为16个月。4

2

孔隙水压力结果与分析试验桩1中孔隙水压力、测压管水头随时间变化的过程如图3、图4所示。在增加超载后,各土层均产生了超孔隙水压力。待实验准备完毕并开机加速到指定固结加速度时,各孔隙水压力传感器的读数作为初始孔隙水压力。其中PPT1和PPT2埋设于地表以下3.

5m深处,初始孔隙水压力均为59kPa左右,实验结束时,相当于固结4年后,孔隙水压力均下降到29kPa左右。PPT3和PPT4埋设在地表以下11m和16m处,初始孔隙水压力分别为113

3kPa和1662kPa,实验结束时,孔隙水压力分别下降到106

0kPa和1531kPa。初时,软粘土层中的超孔隙水压力比较高,测压管水头高出基准面2.5m多,全风化花岗岩层中稍小,测压管水头高出基准面不到1m。随着固结过程进行,超孔隙水压力逐渐消散,各土层中的测压管水头趋于相等,表明孔隙水压力趋于静水压力分布。试验桩2中孔隙水压力和测压管水头随时间变化规律同试验桩1。43

桩身下拉荷载结果与分析实验桩1（摩擦桩）：桩身下拉荷载随固结时间的变化过程和不同固结时间下拉荷载沿桩身的分布如图5所示。由图可见,软粘土固结时,在桩身产生负摩阻力,下拉荷载最大达到420kN。桩的上部较小,在桩的中部增大,并出现峰值,端部较小。

固结1年以后,下拉荷载最大值出现在埋深12m处,

8m及22m处负摩阻力相对较小,小于50kN。

固结2年以后,下拉荷载最大值仍出现在埋深12m处,但中上部和桩端附近下拉荷载显著增大。

固结3年以后,下拉荷载最大值出现在桩中上部,埋深8m处。

固结4年以后,土层固结度达到了比较高的水平,土层沉降变形趋于平缓,下拉荷载最大值出现在桩中上部,埋深8m处,由此深度向下,下拉荷载逐渐递减。试验桩2桩身下拉荷载随固结时间的变化过程和不同固结时间下拉荷载沿桩身的分布如图6所示。由图中可知:固结达到4年时,桩身产生的下拉荷载最大达到673kN,由于是端承桩,下拉荷载沿桩身从上到下逐渐增大,最大下拉荷载位于桩端部。由于端承桩桩身与土壤沉降差比摩擦桩要大,因此由负摩阻力产生的下拉荷载也比较大。公式(4)为有效应力分析经验公式,公式(5)为总应力分析经验公式。根据实测的桩下拉荷载结果得到宁海电厂摩擦桩和端承桩的桩侧摩阻力系数β和α的估算值如表2、表3所示。结论与建议(1)软粘土上增加超载以后,土层中产生超孔隙水压力。全风化花岗岩层渗透性高,超孔隙水压力消散快,而粘土层的渗透性小,超孔隙水压力消散得慢。大约固结4年以后,超孔隙水压力基本消散。(2)在端承桩试验中,软粘土层固结度达到90%的时间为1.3年(16个月)左右,固结4年以后,地表软粘土沉降量约250mm,桩顶沉降非常小,约1mm。在摩擦桩中,软粘土层固结度达到90%的时间为1.3年,固结4年以后,地表软粘土沉降量约260mm。在固结基本完成以后,土层和桩的沉降变形也趋于稳定。(3)在端承桩试验中,上覆1m砂土荷载固结4年以后,下拉荷载最大值达到673kN。下拉荷载沿桩身向下逐渐增大,最大值出现在桩端附近,沿桩身向上逐渐减小。在摩擦桩试验中,下拉荷载最大值达到420kN,最大值出现在桩的中部,桩的上部与端部较小。(4)在端承桩试验中,软粘土层侧摩阻力系数β估算值为0.

1～0

.25,α值为0.9～1.0。而摩擦桩试验中,软粘土层侧摩阻力系数β估算值为0

.15～0.25,α值为0.9～1.0。例4、粘性流体流动的相似理论问题N-S方程:

(纳维-斯托克斯方程)A体系

w

x

w

y

ww

x

z

w

ww

zxxxxy(1)(2)

1

P2w2w2w

g

xxxx

xyz

x222B体系

w

x

w

ww

x

z1

P

w

ww

zxxx

yxy

2w2w2w

g

xx2x2x2

xyz

x(A)~(B)相似，有相似常数存在。ywxwwwy

C

速度相似常数xzzww

w

w

w

C

时间相似常数

x

y

z

l

x

y

z

l

C几何相似常数l

C

C粘度相似常数密度相似常数(3)P

CP压力相似常数P

g

g

g

g

Cg

加速度相似常数xx将比例常数代入原型方程,即:(3)代入(2)

2

w

ww

C

w

Cw

w

x

w

x

wwxxCCx

xy

yzz

(4)l

222C

CwwwC

1

P

C

g

wxxxP

xyzCCl

xg

x2Cl222C

C2C

C

C(5)

CgwwwP比较(1)、(4)，必有由(a)=(b)得：C

C

C2lCCll(a)

(b)

(c)

(d)

(e)C

Cw

1Ho

相似准数:不稳定流动1wCll由(b)=(c)得：CwCwl雷诺准数:

惯性力/粘性力

1RelC强制流动状态(水平管道)CPCCP

w欧拉准数

:

压力/惯性力强制流动由(b)=(d)得：1

Eu2w2情况下。CgClgl弗鲁德准数

:

重力/惯性力(垂直流

动)。由(b)=(e)得：

1FrC2w2w基本准数：Ho、Eu、Re、Fr派生准数：由基本准数组合而得。gl

t3Gr

格拉斯霍夫准数：2自然流动状态

浮升力/粘性力

Ga

FrRe

t2阿基米德准数：

Ar

G0伽利略准数：G返

回2、相似第二定理、量纲分析法：

定理表示一现象各物理量之间的关系方程式，都可以转换成无量纲方程，无量纲方程的各项即是相似判据

(相似准数)。（1）、量纲基本概念量纲：度量物理量的类型。例：长度

l，

单位

m，cm，mm

；时间

t，

单位

h，min，sec；质量

m，单位

kg，g，mg；量纲采用麦克斯韦尔符号来表示，通常以[L]、[T]、[M]来表示长度、时间、质量。量纲只涉及物理量的种类，不涉及度量单位。自然界中，某个物理系统内，各物理量以一定的规律联系着，如定义、物理定律、数理方程都表示了这种联系。其中有些物理量是不能由其他物理量导出的，称为基本物理量。其他的物理量称为导出物理量。对力学问题：长度

[L]时间

[T]

为基本量纲质量

[M]力

[F]

、速度[V]、加速度[MT-2]等为导出量纲，可表达成基本量纲的组合形式。力:

[MLT-2

]:

[LT-1]功:

[ML

T

]2

-2能量压强:

[ML

T

]2

-2力矩弹模:

[ML

T

]2

-2速度应变加速度:

[LT-2

]-1

-2:

[ML

T

]-1

-2:

[ML

T

]0

0

0

泊松比:[M

L

T

]0

0

0:[M

L

T

]称为无量纲量（2）量纲性质1）当物理量的度量单位改变时，无量纲物理量的数值不会变化，而有量纲物理量的数值会随之改变。[

X

]

[M

L

T

]当基本物理量长度

[L]、时间

[T]、质量

[M]的度量单位，分别变为1/m、1/l、1/t时，导出量在新单位体系下的数值将

m

l

t变为原数值的倍2）量纲均匀性（和谐性）物理方程是反映客观规律，表明了物理现象中各相关物理量的联系形式。所有关系式（方程式、不等式等）中的各项均应具有相同的量纲，才能进行加、减和采用等号、不等号等关系符号相连接。这种性质称为量纲均匀性。1例：外力做功与动能增量的关系

2f

s

mv2

2Nmmkgs

FL

2ML2T-2M

V3）量纲齐次性当物理方程或关系式（方程式、不等式等）中的各物理量度量单位同时改变时，原方程或关系式的结构形式不变，这种性质称为量纲齐次性。量纲性质应用实例1：质量m在半径r处以速度V作匀速圆周运动，求：离心力的公式

m

Mx

y

z设：离心力

F

m

r

V

r

L

F

M

LT

2

V

L

T

1

My

zLzzxT

M

L

T2M

L

LTxy1x

1,y

z

z

21,x

1,y

1,z

解出：22V1

2F

mr

V

mr量纲性质应用实例2：试用量纲分析法分析溢流堰过流时单宽流量q

的表达式。Hq已知q

与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g

有关。解：1.

分析影响因素，列出函数方程根据已知条件可知，溢流堰过流时单宽流量q

与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g

有关，用函数关系式表示为q

f

(H,,

g)2.

将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即

q

kH

ga

b

c3.

写出量纲表达式a

b

cdimq

dim(H

g

)4.

选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为2

1a3

b2

c[L

T

]

[L]

[ML

]

[LT

]5.

由量纲和谐性（均匀性）原理求各量纲指数a=3/2b=0c=1/2L：2=a-3b+cT：-1=-2cM：0=b6.

代入指数乘积式，得

3/2

0

1/23/23/2q

kH

g

k

gH即3/2q

k

gH

m

2gH1其中，k

为无量纲系数，即流量系数m，由实验1来确定。（3）相似第二定理（布金汉π定理）的描述设描述所研究物理现象的各个物理量及其关系式如下：f

(x,

x

,,

x

)

012n式中x

x

x

x

具有不同的量纲,其中k个物理量为基本物理量,其余为导出量123nk个基本物理量的量纲表达式为：[x1

]

[xx

xk]1001

2[x2

]

[xx

xk]0101

2[xk

]

[xx

xk]0011

2其余n-k

个导出物理量的量纲表达式为：

1

2k[x

]

[x

x

x

]111k1

1

2k[x

]

[x

x

x

]222k212k[x

]

[x

x

x

]nknknkn现将k个基本物理量的度量单位各缩小到原单位的1/m

、

1/m

、12······、

1/m

倍，则在新度量单位下，各物理量的数值分别变为：k(x

)

m

(x

)新度量单位下各物理量的数值11

1原度量单位下各物理量的数值(x

)

m

(x

)222(x

)

m

(x

)kkk12k(x

)

m

m

m

(x

)111k1k112k(x

)

m

m

m

(x

)222k2k212k(x

)

m

m

m

(x

)nknknknnf

(x,

x

,,

x

)

0根据量纲齐次性,

将该关系式代入原方程12n因为根据量纲的齐次性，原方程的结构形式不变，则f

(mx

,m

x

,m

x

,m

m

m

(x

),,m

m

m

(x

))

012k12k111nknknk1

12

2k

kk1n特别地,取m1

1(x1)1m2

mk

(x2

)1(xk

)

1

2k则,原方程变为:[x

]

[x

x

x

]111k1f

(1,

1,1,

,

)

0[x

]

[x

x

x

]

k1nk222k212式中,x1

k

1[

]

[x

x

x

x]1knknknk

kx

x

xn211112xn

nk12kx

x

xnknknk去掉常数项,

f

(1,

1,1,

,

)

0可转化为:1nkF(

,

,

)

012nk该式表明：表示一物理现象的各物理量之间的关系方程式，可以转换成无量纲参数方程，无量纲方程的各项即是相似判据（相似准数）。

定理（4）相似第二定理的应用步骤1.确定影响因素。根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量。f

(x,

x

,,

x

)

012n2、从n个物理量中选取所包含的k个基本物理量，对力学系统，一般取m=3。选取的基本物理量应相互独立。3.

确定导出物理量与基本物理量的量纲表达式：[x

]

[x

x

x

]

1

2k111k1[x

]

[x

x

x

]

k222k212[x

]

[x

x

x

]12knknknkn4、定出各相似准数π项x1

k

1

kx

x

x11112xn

nk12kx

x

xnknknk5.

写出描述现象的关系式。F(

,

,

)

01

2nk（4）量纲分析方法提出的根据及问题提出根据（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用

完整的物理方法来表示。（

2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。量纲分析法用途:推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。因为凡是严格正确反映客观规律的物理方程，其方程各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性(均匀性)原理。但是在很多经验公式中，量纲是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的。量纲和谐性原理是已经被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对物理现象本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式所替代。量纲分析法应用例1、单由度系统的受迫振动问题如图所示的单自由度系统，其质量块f(t)m在外力f(t)作用下的运动方程为：myd

y

d

y2m

k

y

f

(t

)d

td

t(1)2ck其中:η为粘性阻尼系数;k为弹性刚度;f(t)

为激振力;y:振动位移.f

(t)d2ydt2(

,

,

,

,

,

)

0F

y

m

t

k

f

mk

ydydt从6个物理量中选取相互独立的3个基本物理量，m、y、t其量纲分别为：质量

[M]、位移

[L]、时间