中考数学压轴题之相似(中考题型整理,突破提升)

中考数学压轴题之相似(中考题型整理突破提升)含答案一、相1．如图，在平面直角坐标系中，直线﹣x+

与x轴、轴别交于点、，与直线y=

相交于点C．点从出发在x轴以每秒5个单位长度的速度向B匀运，点Q从C出在OC上每秒4个单位长度的速度，向O匀运动，运动时间为秒（＜＜2）．（）接写出坐及OC、长；（）接PQ，eq\o\ac(△,)与OBC相似，求的；（）接CP、，BQ直接写出点P坐标．【答案】（）：对于直线y=﹣x+A（0，）令，x=10，B（，）

，令，到y=

，由

，解得，C（，）．，BC==10

（）：当

时eq\o\ac(△,)OCB，

，t=

．②当t=1，

时eq\o\ac(△,)，，综上所述，的为

或1s时eq\o\ac(△,)OPQeq\o\ac(△,)相（）：如图PHOC于H．OC=8，，OC2+BC2=OB

，，当时．BCO=90°，，

，，，，PCH=tanCBQ，

，

t=或（舍弃），t=s时PC．【解析】【分析】（）据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B点的坐标，解联立直线AB,与线的析式组成的方程组，求出点坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出的；（）根据速度乘以时间表示出

OP=5t，，OQ=8-4t，当时△OCB，据比例式列出方程，求解得出t的；当OPOC时△，据比例式列出方程，求解得出的，综上所述即可得出的值；（3）如作PH于．根据勾股定理的逆定理判断出，而得出当PCH=时PCBQ．据同位角相等二直线平行得出PHBC，据行线分线段成比例定理得出OPOB=PH根比例式得出PH=3t，OH=4t，据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由PCH=tan，出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。2．在矩形ABCD中，＝，E是AD边一点，30°BE，连接BD.动点M从点出发沿射线ED运，过点作MNBD交线BE于点N.（）图1，点M在线段ED上时，求证：＝

EM；（）长，、、为顶点的三角形面积为，求y关的函数系式；（）点M运动到线段ED的中点时，连接NC，点作MF于，交对角线于（图2）求线段MG的.【答案】（）明：：

°,°

°

,

,过点作

°,于点,则

.

在

中，（）：在

中，，a.点在段在中，

上时，过点作

于点,由（）知,b.当在线段

延长线上时，过点作

于点

在

中，

,在

中，

,

,（）：连接

,交

于点

.

为

的中点,.

,

,

,

,

.

,

,,

,

,又

,

,

，即

,

【解析】【分析】（）点作EHMN于点,由知条件易得，解直角三角形EMH易得和EM的系，由等腰三角的三线合一可得MN=2MH即求解；（）eq\o\ac(△,Rt)ABE中由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE，题意动点从E出沿射线ED运动可知点可线段ED上也可在线段外所以可分两种情况求解①当点M在段上时，过点N作NIAD于解；

I结（）中的结论MN=

EM即求②当M在段ED延长线上时，过点N作NI'于I'，解RtΔNI′M和

可求得NI'和NE，则DM=NE−DE，以以、、为顶点的三角形面积MD.NI可解；（）接交BD于

，由（）中的计算可得MNCD、MC的，解直角三角形CDM可得DMC的度数，于是由三角形内角和定理可求得

，根据平行线的性质可得DMN'是角三角形，根据直角三角形的性质可得′=；的可求，由已知条件易得ΔNMCΔMN根据所得的比例式即可求.,3．如图，已知是的径，点C在O上过点的直线与AB的延长线交于点，AC=PC，COB=2PCB.（）证：PC是的线；（）证BC=AB；（）M是AB的点，CM交AB于N，若AB=4求MNMC的.【答案】（）明：，A=，又COB=2A，，A=ACO=PCB，又ABO的直径，OCB=90°，，即CP是的径是O的切线（）明AC=PC，，A=ACO=PCB=P

又COB=A+ACO，CBO=PCB，CBO，BC=OC，（）：连接，，点M是AB的点弧弧，ACM=BCM，ACM=，BCM=ABM，∠，MBN△，又ABO的直径，弧AM=弧BMAM=BM，

，BMMC，，

，MNMC=BM=8．【解析】【析】根据等边对等角得出A=∠ACO运用外角的性质和已知条件得出A=PCB，再根据直径所的圆周角是直角得PCB+，而求解.（）据等边等角得A=P，再根据第一问中的结论求即可，（连接MA，MB根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出ACM=ABM，BCM=ABM，证eq\o\ac(△,)MBNMCB，出比例式进而求解即可.4．如图，已知二次函数y=ax2+x+c的象与轴于点（，），与轴交于点、C，C坐标为（，，连接ABAC（）直接写二次函数y=ax2+x+c的达；

eq\o\ac(△,)ABNeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABNeq\o\ac(△,)（）eq\o\ac(△,)的形状，并明理由；（）点在轴上运动，当以点、、为点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（）点在线段上动（不与点、重合），过点作AC，交于M，eq\o\ac(△,)AMN面最大时，求此时点的标．【答案】（）：A（，）c=4，把点C坐标8，）代入解析式，得：－，二函数表达式为；（）：令，解得，，，点的标为（，），由已知可得，在eq\o\ac(△,)中，AB----=BO2=2+42，eq\o\ac(△,)AOC中AC-

=AO2=4+8=80，BC=OB+OC=2+8=10在中AB----角形；

+2=BC

，是角三（）：由勾股定理先求出，AC=

，在x轴半轴，当AC=AN时，NO=CO=8，此（，）；在x轴半轴，当AC=NC时NC=AC=

，CO=8，-8，此N（

，）③在x轴正半轴，当AN=CN时设CN=x则AN=x，，在eq\o\ac(△,)AON中，＋

=

，解得：，ON=3，此时（，）④在x轴半轴，当AC=NC时AC=NC=

，ON=

＋，此N（＋，）综上所述：满足条件的N点标是，）8-

，）（，0）、（

，）（）：设点的标为（，）则，点x轴点DOA，BMD△，

，MNAC，∴

，

，，BC=10，BN=n+2，

（n+2），

eq\o\ac(△,)

===－

+5，－，n=3时S有大值eq\o\ac(△,)AMN面积最大时，点坐标为（，）【解析】【分析】（）待定系数法可求二次函数的解析式；

=S=S=（）为抛物交x轴B、两点，令，关于x的一元二次方程可得点B的坐标，然后计算AB、、的长，用勾股定理的逆定理即可判断；（）（）可知AC的长，由题意可知有4种况：①在轴负半轴，当AC=AN时②在x轴负半轴，当AC=NC时；在x轴正半轴，当AN=CN时；在x轴半轴，当AC=NC；结合已知条件易求解；（）点N的坐标为（n，），则BN=n+2，过M点作x轴点，平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得BMD△，是有比例式，根平行线分线段成比例定理可得，所以入比例式可将MD用含n的数式表示出，根据三角形的构成可得

,将已知线段代eq\o\ac(△,)ABN⋅⋅−BN，、MD代入可得关于的二次函数，配顶点式根据二次函数的性质即可求解。5．平面上，eq\o\ac(△,)ABC与直径为CE的半圆如1摆，，，BC=n，圆O交BC边于点D，半圆绕按逆时针方向旋转，点随圆O旋且ECD始终等于，旋转角记为α（α≤180°）（）α=0°时，连接，则CDE=________°，CD=________；（）判断：转过程中

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（），n=8，旋转的角度α恰为ACB的小时，求线段BD的长；（）n=

，当半圆旋至eq\o\ac(△,)ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．【答案】（）；

（）：如图中，ACB=DCE，．．（）：如图中，

，△BCD，当α=ACB时在eq\o\ac(△,)ABC中AC=10，，AB=

=6．eq\o\ac(△,)中，﹣CE=3，ACEBCD，，

=

=，BD=

=3．故答案为：

，由（）可知（）：，中，

，CE=3，CD=2，，如图

当时半圆与AC相切．eq\o\ac(△,)中，

==2

．②如6中，当时半圆与BC相，作AB于．CBM=BCE=90°四边形是矩形，（）知=，BD=或．故答案为：

．

，，AE==

，由【解析】【解答】（①如1中，当α=0时，连接DE，则CDE=90°．CDE=B=90°DEAB，

=．BC=n，CD=

．故答案为，n．【分析】（）接，当α=0时，由直径所对的圆周角时直角可得CDE=90°，断，而可得比例式进而求解。（）转过程B：AE的大小有无变化，可以看，A所的三角形相似，从而可eq\o\ac(△,)△，进而得出结论。（）据勾股理求得和，可求出BD。（）题意分种情况：当时半圆与AC相。当ACB时，半圆与相

切。．如图，抛物线

与

轴交于，两B在A的左侧），与y轴于点C，顶点为，对称轴与轴于点E，接，．（）顶点D的坐标（用含的式子表示）；（）AD，求该抛物线的函数表达；（）（）条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，与称轴交于点M若AMEeq\o\ac(△,)相似，求点P的标【答案】（）：

，顶D的坐为4,-4ｍ（）：点（，）点，6，∵抛物线的对称轴为x4点（，0，则OE＝，＝，又DE＝ｍ由股定理得：又OD，

，

则

，，，解得：，＞，抛线的函数表达式（）：如图过点作PHx轴点，

eq\o\ac(△,)APH△AME在eq\o\ac(△,)中，eq\o\ac(△,)APH△AME△时

，设P的标，

，

，即，解得：＝，＝（舍去），点P的坐标为②APHAME△OAD时∵

，

；

，即，解得：＝，＝（舍去），点P的坐标为或综上所述，点的坐标为

.

；【解析】【分析】（）抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点的标；（）求抛物的解析式，只须求出m的即可。因为抛物线与轴交于点、，所以令，关于x的元二次方程，可得点A、的标，则、、均用含m的代数式表示；因AD，以在直角三角形OAD中由勾股定理可得

,将OA、、代可得关于m的程，解方程即可得的，则抛物线的解析式可求解；（）AMEeq\o\ac(△,)中对应点除直角顶点DE固定外，其余两点都不固定，所以分两种情况：①eq\o\ac(△,)AME时过点P作x轴于点H，eq\o\ac(△,)APH△AME△可得相应的比例式求解；②eq\o\ac(△,)AME时过点P作x轴于点H，eq\o\ac(△,)APH△AME△可得相应的比例式求解。7．（）探索发】如图，一张直角三角形纸片，

，小明想从中剪出一个以

为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、剪时，所得

的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值________.（）拓展应】如图2在

中，，边上的高，矩形PQMN的顶点、分在边AB上，顶点Q、在边BC上求出矩形PQMN面的最大值用含、的数式表示；（）灵应用】图，一块“缺矩形，

，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形矩形的面积【答案】（）

为所剪出矩形的内角，接写出该（）：

，

，，可得

，设

，由

，当

时，

最大值为

.（）：如图过DE上点P作

于点，延长GP交AE延线于点，点P作

于点，则四边形和边形BGPH均为矩形，设，则

，，，

，，

，，由

知，即

，得

，，则矩形BGPH的面积，

PQMNPQMN当

时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.【解析】【解答】（）：

、为

中位线，，，又，四边形FEDB是形，则故答案为：；

，

，，【分析】（）由中位线知EF=、ED=、

可得；（）由APN△ABC知，可得PN=a-

，设PQ=x，由S

•PN=，据此可得；（）结合图形过DE上点P作BC于点，延长交AE延线于点I，点P作PH，PG=x，PI=28-x，由EIPEKD知，据此求得EI=

，可得答案

，再根据矩形的面S=8．如图1，物线

平移后过点A8,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，原抛物线相交于点D．（）平移后物线的解析式并直接写出阴影部分的面积

；（）图，直线AB与轴交于点，点M为段OA上动点，

为直角，边MN与相交于点，设

，试探求：①为何值时

为等腰三角形；

NNNNNNNNNNNNNN②为何值时线段的长度最小，最小长度是多少．【答案】（）：设平移后抛物线的解析式

，将点A（，）代入得

=

，所以顶点B（）所以阴=OC•CB=12（）：设直解式为y=mx+n，将A8，）B（3分别代入得，解得：

，所以直线AB的解析式为①当MN＝时点的横坐标为由三角形NQM和角形MOP相可知去）.

，作NQ垂于x轴于点Q，，纵坐标为，,得，得（当AN时＝，＝

,由角形ANQ和角形APO相可知，

，由三角形NQM和角形相可知解得：＝（去）；当MN＝MA时，故；

故

得：，是钝角，显然不成立②由MN所直线方程为得点的横坐标为=由判别eq\o\ac(△,式)2﹣4（36又因为0＜＜，

，与直线的解析式y=﹣联，，即t﹣﹣x，），≥6或x≤14，

NNNN121212NNNN121212所以的小值为，时t=3，当t=3时的标为（，"），此时PN取最小值为【解析】【析】（）移前后两个二次函数的的值相等，平移后的图像经过点原点，因此设函数解析式为：，将的标代入就可求出b的，再求出顶点B的坐标，利用割补法可得出阴影部分的面=以，为边的矩形的面积。（）用待定数法先求出直线AB的函数解析式，作垂于x轴点，再分情况讨论：当MN时，就表示出点的标，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于的方程，求出t的值；当AM＝时eq\o\ac(△,)ANQeq\o\ac(△,)相似eq\o\ac(△,)NQMeq\o\ac(△,)MOP相，得出对应边成比例，分别求出t的值，然后根据当MN＝时，MNA=MAN<45°故AMN是角，可得出符合题意的的值②将线MN和线AB联立方程组，可得出点的坐标，结合根的别式可求出x≥6或x﹣，后由0＜x＜，可求得果。9在平面直角坐标系中，抛物线

经过点，、，，中、是方程

的两根，且

，过点的线与抛物线只有一个公共点（）、两点的坐标；（）直线的析式；（）图，

是线段

上的动点，若过点

作

轴的平行线

与直线

相交于点，与抛物线相交于点，点作

的平行线

与直线

相交于点，求

的长.【答案】（）：、是方程-2x-8=0的根，且＜x，x，=4A（，2），（，）（）：设直线l的析式为y=kx+b（k≠0），A（，2）在直线上，2=-2k+b，b=2k+2

直的析式为y=kx+2k+2，抛线y=x

②，联立化简得x2-2kx-4k-4=0，直与物线只有一个公共点，（2k）

（）2（+4k+4）（）=0，，b=2k+2=-2，直的析式为；②平于y轴的直线和抛物线y=x2只有一个交点，直过A，）直l：（）：由（）知A（-22）（，，直AC的解析式为，设点（，）C4.8，BC=|m-4|=

（）过作y轴的平行线BE与线l相交于点E，抛物线相交于点D，（，），E（，）m

，（），DCEF，△，

，

，BF=6.【解析】【分析】（）一元二次方程即可得出点，坐；2）设直线l的析式，再联立抛物线解析式，eq\o\ac(△,)=0，求出的，即可得出直线l的解析式；3）设出点B的标，进而求出

BC，再表示出点

，E的坐标，进而得出

BD，，判断出△BEF得比例式建立方程即可求出BF.10．图，在矩形中，4BC＝，点P是边AB上的一动点，连结

（）eq\o\ac(△,)DAP沿折，点落矩形的对角线上点A处，试求AP的；（）运到某一时刻，过点P作线PE交BC于E，eq\o\ac(△,)DAPeq\o\ac(△,)PBE分沿DP与PE折，点A与点B分别落在点A，′处若P，，′三点恰好在一直线上，且′B＝，求此时AP的长；（）点P运到边AB的点处时，过点P作直线交BC于点，eq\o\ac(△,)DAPeq\o\ac(△,)分别沿DP与PG折，点与点B重于点处连，请求出CF的.【答案】（）:当A落在对角线BD上时，设＝＝，在eq\o\ac(△,)ADB中AB＝，＝，BD＝AB＝＝，BA＝，

＝，在eq\o\ac(△,)BPA中，4）＝2＝.②当落在对角线AC上，

，解x＝，由翻折性质可知，eq\o\ac(△,)，

＝，＝＝＝.

AP的长为或（）解①图中设APx则PB＝﹣，根据折叠的性质可知＝＝，＝＝﹣，′B＝，4﹣﹣＝，＝，1；②如4中，设AP，则＝﹣，根据折叠的性质可知＝＝，＝＝﹣，′B＝，﹣（﹣），x＝，＝；综上所述，的为1或3（）解:如5中作由H.由翻折的性质可知；AD＝＝＝，、、共线，

设＝＝，在eq\o\ac(△,)中，）＝2+（﹣）解得＝，＝＝，CG＝﹣BG＝，

，FH，

＝＝，

＝＝，FH，＝，CH＝﹣＝，在eq\o\ac(△,)CFH中＝＝【解析】【分析】（）两种情形①点落对角线BD上，设AP=PA构建方程即可解决问题；当落在对角线AC上时，利用相似三角形的性质构建方程可解决问题；2）两种情形分别求解即可解决问题；3）如图5中，作由想办法求出FH、即可解决问题11．图，在eq\o\ac(△,)中，，，从A出发沿AC向C点以1厘/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点2厘米秒速匀速移动．点P、Q分别从点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．（）t=________时，AB（）为值时eq\o\ac(△,)的面积等于5cm？（）、运过程中，在某一时刻，若eq\o\ac(△,)PQC翻折，得eq\o\ac(△,)，如图，与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．能垂直，理由如下：延长QE交于点，eq\o\ac(△,)翻，得eq\o\ac(△,)QCP，，若PE则AB，CQD△，

，，QD=2.5tDE=0.5tA=EDP，DEP=90°，DPE，

，解得：综上可知：当t=

，时，AB【答案】（）（）：点P从A出发沿向C点厘米秒的速度匀速移动；点Q从出发沿CB向点2厘秒的速度匀速移动，PC=AC-AP=6-t，eq\o\ac(△,S)CP•CQ=t-6t+5=0

＝，

1212解得=1，=5（不合题意，舍）当t=1秒eq\o\ac(△,)的面积等于5cm

2（）：【解析】【解答】解：点从出沿AC向C点以厘米秒速度匀速移动；点Q从出沿CB向B点以2厘秒速度匀速移，PC=AC-AP=6-t，当PQAB时，ABC，PC：，(6-t)：：t=2.4当t=2.4时，AB【分析】（）根据题意可得，，据平行可得利用相似三角形对应边成比例可得PC：：，6-t)6=2t：，出值即可；（）由eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)CPCQ=