新人教版九年级下册数学 28.1 锐角三角函数（第一课时） 教案（导学案）

28．1锐角三角函数第一课时一、教学目标1．理解正弦的意义，并能运用sinA表示直角三角形中两边的比，能根据正弦的概念正确进行计算．2．经历探究直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力；通过学生自我发现培养学生的自我反思能力；通过提出困惑提升学生发现问题的能力．二、教学重难点重点：理解认识正弦(sinA)概念，能用正弦的概念进行简单的计算．难点：正弦概念的理解及应用．教学过程（教学案）一、问题引入【问题】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？eq\a\vs4\al(教材图28.1－1)你能将这个实际问题归结为数学问题吗？从学生熟悉的背景入手，引导学生发现数学问题．同时探求解决问题的途径和方法．二、互动新授师生共同分析得出这个问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB(如教材图28.1－1)．【思考】在上面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？学生练习，教师小结：在上面求AB(所需水管的长度)的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于eq\f(1,2).【思考】如教材图28.1－2，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比eq\f(BC,AB)，由此你能得出什么结论？如教材图28.1－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因为∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形．由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，AB＝eq\r(2)BC.因此eq\f(BC,AB)＝eq\f(BC,\r(2)BC)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于eq\f(\r(2),2).是一个固定值．当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？【探究】任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′(教材图28.1－3)，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么eq\f(BC,AB)与eq\f(B′C′,A′B′)有什么关系？你能解释一下吗？教材图28.1－3学生交流谈论，尝试探究。教师小结：如教材图28.1－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c).例如，当∠A＝30°时，我们有sinA＝sin30°＝eq\f(1,2)；当∠A＝45°时，我们有sinA＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).注意：∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化．三、精讲例题【例1】如教材图28.1－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．eq\a\vs4\al(（1）)eq\a\vs4\al(（2）)eq\a\vs4\al(教材图28.1－5)学生练习后，交流、讨论．教师讲评：【解】如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋32)＝5.因此，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(4,5).如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(132－52)＝12.因此sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13)，sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13).四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？28．28．1锐角三角函数第一课时正弦的概念及表示法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c).六、教学反思学生对于任意确定的锐角，它的对边与斜边的比是固定值这一事实比较难理解，因此，在教学过程中，教师要注重引导学生通过比较、分析，从而得出结论．正弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都非常重要，教学中应十分重视．同时正弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．导学方案一、学法点津本节课让学生初步了解正弦概念，能正确地用sinA表示直角三角形中两边的比．让学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比是固定值这一事实，这是掌握本节内容的有效方法．锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具．同时，解直角三角形还为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土．学习中要通过“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等来扩大探究交流的空间，发展思维能力，从而解决问题．二、学点归纳总结1.知识要点总结在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c).2.规律方法总结（1）当锐角A固定时，∠A的对边与斜边的比是一个固定值．（2）正弦是一个比值，是没有单位的数值．（3）sinA是整体符号，不能写成sin·A.（4）当用三个字母表示角的正弦时，角的符号“∠”不能省略，如：sin∠ABC.（5）sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.第一课时作业设计一、选择题1．在Rt△ABC中，各边长度都缩小为原来的eq\f(1,3)，那么锐角A的正弦值()．A．都扩大到原来的3倍B．都缩小到原来的eq\f(1,3)C．没有变化D．不能确定2．下列说法中正确的是()．A．sinα表示角α与符号sin的乘积B．若∠A为锐角，则sinA是任意正数C．已知锐角α为固定值，则α的正弦值也是一个固定值D．在直角三角形中，不管三角形的大小如何，比值eq\f(45°角的对边,斜边)永远是eq\r(2)，是不变的3．如右图所示，在正方形网格中，∠AOB如右图放置，则sin∠AOB＝()．A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2)D．2第3题图第4题图第6题图二、填空题4．如右图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则sinA＝eq\f(（）,AC)＝eq\f(BC,（）)，sin∠DCB＝eq\f(（）,（）).5．在△ABC中，已知a∶b∶c＝3∶4∶5，则sinA＝__________．三、解答题6．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，△ABC的周长是16，AD＝4.求∠B的正弦值．eq\a\vs4\al()【参考答案】1．C2.C3.B4.CDABBDBC5.