中考考试数学中地最值问题解法

标准实用中数几最问解在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有两点间线段最短的公含用三角形的三边关系）求最值）用垂线段最短的质求最值）应用轴对称的性质求最值）用二次函数最值；（）用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。应两间段短公（应三形三关）最典例：例1.如，∠°矩形ABCD的点、分别在边OM，上当B在ON上运时A随之在边OM上运形的状持不变中BC=1动过程中D到的最大距离】A．

B．

C．

1455

5D．

52例在锐三角形ABC中的最小值是▲。

ABC=45°平分ABC、别是BD上动点CM+MN例3.如图圆柱底面半径为

2cm高为

，点AB分别是圆柱两底面圆上的点，且B同一母线上，用一棉线从A顺圆柱侧面绕3圈，求棉线最短为▲

。文案大全

标准实用练题如，长方体的底面边长分别为cm和4cm，为5.若一只蚂蚁从点开始经过4个面行一圈到达Q点，蚂蚁爬行的最短路径长为【】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm图圆柱的底面周长为6cmAC是面圆的直径BC=6cm点P是线BC上一点且PC=只蚂蚁从A点出沿着圆柱体的表面爬行到点最短距离是【】

23

BC一A、

(4

6

)

㎝B、5cmC、35D、7cm图所示，在边长为2的三角形中、FG分别ABAC、BC的中点，点为段EF上个动点，连接、，△BPG的长的最小值是_▲．二应垂段短性求值典例：例1.（山东芜4分在△中AB＝AC＝，＝．若点P在AC上移动，则BP的最值是▲．文案大全

标准实用例如图菱形ABCD中AB=2，A=120°，点PK分为线段BCCDBD上的意点，则PK+QK的最小值为【】A．B．3

C．2．3＋例已知形，AD∥，⊥，＝，AB＝2，BC＝，问题1：如图1，为AB边的点，以PC为边平行四边形PCQD，请问对角线PQDC的长否相等，为什么？问题2：如图2，若P为边上点，以PDPC为边平行四边形PCQD，问对角线PQ的长否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边任意一，延长PD到E，使DEPD再以PE，为作平行四边形，请探究对角线PQ的是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为DC边上意一点，延长PA，使AE＝nPA(n为数，、为边平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．例如，点A的标（-1，B直线x运动，当线段最短时，点B的标【】文案大全

标准实用A.（0，）（

1，22

22）（，）（22

22，）22例如图在ABC中，∠°，，是AB的点，点E、分别AC、BC边运动（点E不与点A、重合保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位的改变而发生变化；④点C到线EF的最距离为其中正确结论的个数是【】

．A．个B．个C．个．4个例如图长方形纸片ABCD中，AB=8cm，，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步图线AD上意取一点EEBEC剪一个三角形纸片EBC(余下部分不再使)；第二步：如图②，沿三角形EBC中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上意取一点M，段BC上任意取一点N，沿MN将形纸片GBCH剪两部分；第三步：如图③，将MN左纸绕按顺时针方向旋转180°，使线段GB与重合将MN右侧纸片绕H点逆时针方向旋转180°，使线段HC与重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相的四边文案大全

标准实用形纸片注剪拼图过程均缝且不重)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为▲cm最大值为▲cm．例如，中°ABC=45AB=2，是段BC上的个动点，以AD为径画⊙分交AB，于E，，接，则线段EF长度最小值为▲．例如所示在形ABCD中AB=4BAD=120°eq\o\ac(△,，)AEF为三角形点EF分在形的边BCCD上滑动，且E、不B．．重合（）明不论E、F在．上何滑动，总有BE=CF（）点E、F在BC．上动时，分别探讨四边形AECF和的积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．文案大全

标准实用例在锐△中，AB=4，BC=5∠ACB=45，将△ABC绕按逆针方向旋转，得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC．（）图1，当点C在段CA的延长线上时，求CCA度数；（）图2，连接AA，．△的积为4，求△CBC面积；（）图3，点E为线AB中，点P是段AC上的点，eq\o\ac(△,在)ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的应点是点P，线段EP长的最大值与最小值．例如图，在中，点DE分别边BC、上，接AD、，且1=∠B=C．（）题设条件，请写出三个正确结论不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；论二：；论三：．（）∠°BC=2，当点D在BC上动时（点D与BC重合①求CE的最值；②若△是等腰三角形，求此BD的．（注意：在第（）的求解过程中，若有运用1）中得出的结论，须加以证明）练题如平分MONPAON于点Q是射线OM上一个动点若PA=2则的最小值】A、1B、2C、3D4文案大全

标准实用如图等腰梯形ABCD，∥，AD=AB=CD=2，∠°，BC的中．（）证：△是边三角；（）△MDC绕点M旋，当MD即MD）与AB交于一点，MC（即MC′）同时与AD交于一，点E，F和点A构成AEF．探△AEF的长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长最小值．图，O的半为2，点O到线l的离为，点P是直线上的个动点，PQ切⊙O于Q，则PQ的小为【】A．错！找引源．错误未找引源3D．图，在四边形ABCD中，∠°，AD=4，连接BD，⊥CD，ADB=∠．若P是BC边上动点，则DP长的最小值为▲．图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠°，，AC：BC=43，点P从A出沿AB方向向点B运，速度为1cm/s，时点Q从B出沿B→C→A方向向点运动速度为2cm/s，当一个运动点到达点时，另一个运动点也随之停止运动．（）AC、的长（）点P的动时间为x（PBQ面积为（PBQ存在时，求y与函数关系式，并写出自变量x的取范围；（）点Q在CA上动，使PQAB时，点B、、为定的角形与是相似，请说理由；文案大全

标准实用（）x=5秒时在直线PQ上否存在一点M使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长若不存在，请说明理由．三应轴称性求值典例：例如，圆柱形玻璃杯高为12cm底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁好在杯外壁，离杯上沿4cm蜂蜜相对的点A处则蚂蚁到达蜜的最短距离为▲cm．例2.如图，四边形ABCD中BAD120，∠D＝90°，在、上别找一点、，AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的数为【】A．130°B．°C．110D100例点A、Ｂ均在由面为1相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是轴使得则＝▲．

PB

的值最大的点，Q是y轴上使得十QB的最小的点，文案大全

22222标准实用22222例4.如图形中是BC的点是角线AC上动点PE+PB的最值为▲．例如图MN为⊙的直径，A、是O上两，作ACMN于点，过BD⊥于点D，P为DC上的任意一点，若＝，＝，BD＝，则PAPB的最小值是▲。例阅材料：例：说明代数式

4几何意义，并求它的最小值．解：

x(x0)(x，图，建立平面直角坐标系，点P（，0）是x轴一点，则(x0)

可以看成点与点（，1）距离，

2

2

可以看成点P与B（，）距离，所以原代数式值可以看成线段APB长之和，它的最小值就是PA＋PB的最值．设点关x轴对称点为A′，则′因此，求PAPB的小值，只需求′PB的小值，而点A′间直线段距离最短以PA＋PB的最小值为线段A′B的度此造直角三角形A′CB，因为A′，CB=3，所以AB=32，原式的最小值为2。文案大全

2222标准实用2222根据以上阅读材料，解答下列问题：（）数式(x的值可以看成平面直角标系中点（0）与点（1B的距离之和写点B的标（）数式

x49x12x的最小值为．例7.在习轴对称的候，老师让同学们思考课本中的探究题。如图（1在燃气管道上修一个泵站，分别向AB两镇气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？律？

你可以在l上找几个点试一试，发现什么规律？你可以在

l

上找几个点试一试，能发现什么规聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道看一条直线（图2，问题就转化为，要在直线l上一点P使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关直l的称点B．②连接′直线l于P，则为所．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在中，点E别是AB、AC边中点，BC=6BC边的高为4，请你在BC边上定一点P，使得周长最小．（）图中作出点P（保留作痕迹，不写作法（）直接写出△PDE周的小值：文案大全

标准实用．练题如，已知点，、B(3，2)且上一动点，eq\o\ac(△,则)ABP的长的最小值为▲．如，在平面直角坐标系中，有A(12)B(33)两，现另取一点C(a1)，＝▲＋BC的最小．

时AC冬今春，济宁市遭遇了200年遇的大，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为标原点，以河道所在的直线为x轴建直角坐标系（如图村的坐标分别为A（，（，(1)若节约经费考虑，水泵站建在距离大桥远的地方可使所用输水管道最短？(2)水站建在距离大桥O多远地方，可使它到张村、李村的距离相等？文案大全

标准实用图，正方形ABCD的长是4，∠DAC的分线交DC于E，若点、别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的小值【】A、2B、C、

D、

图，在矩形中AB＝，BC＝，是BC点，点是边CD上的任意一点，当△的长最小，则的长【】A．1B．2C3D．4图，在菱形中对角线AC=6，BD=8，、F别是边AB、BC的中点，点P在AC上运，在运过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是【】A．3．．5．文案大全

标准实用图，在梯形ABCD中AB∥，BAD=90°AB=6，对角线AC平分BAD，点E在AB上且AE=2（AE＜AD是AC上动点，则PE+PB的最小值是▲．四应二函求值典例：例正方ABCD的长为1cm分别是BC上两个动点始终保持AMMNBM=▲cm时，四边形ABCN的积大，最大面积为▲cm例如图线段AB的为2，为AB上一个动点分别以、BC为斜在AB的同侧作两个等腰直角三角形△和△BCE，那么DE长最小值是▲．例在矩ABCD中AD=3,P是BC上的任意（与C不合作AP⊥PE垂为P，PE交CD于E.(1)连接，△APE与△ADE全时，求BP的；(2)若设BP为x，CE为y，试确与的函关系式。当x取何值时，y的值大？最大值是多？(3)若PE∥BD，试求出此时BP的.文案大全

标准实用例如图在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，为AD的点，CEAB于E设∠α（°α＜90°（）α=60°，求CE的长；（）60°α90°时，①是否存在正整数k，使得∠∠AEF？若存在，求出k的；若不存在，请说明理由．②连接，CE﹣

取最大值时，求tan∠DCF的．例5.等ABC的边长为2，是BC边上任点（与B、C重合接AP，以AP为向两侧作等边△APD和边APE，分别与边ABAC交于M、（如图1（）证AM=AN；（）BP=x。①若，，x的；②记四边形ADPE与ABC重部分的面积为，求与间的函数关系式以及S的最值；③连接DE，别与边AB、AC交于点G、（如图2取何时，∠？判断此时以DGGH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。例如图已知半径为2的O与直相切点，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作线l的线垂足为PC与⊙于点，连接PAPB，的为错误未到引源.⑴当x=错误未到用。时求弦PA、的长；⑵当x为值时，PD错误未到引源的值最大？最大值是多少文案大全

标准实用BPD

l例如图示，现有一张边长为4的方形纸片，点正方形AD边上一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在，点C在，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（）证：∠APB=∠BPH；（）点P在AD上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论；（）AP为x，四边形EFGP的积为，求出与函数关系式，试问S是存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例如图正三角形ABC的长为

3

．（）图①，正方形EFPN的点EF边AB，顶点在边AC上在正三角形ABC及内，以为位似中心，作正方形EFPN的似正方形，且使正方形的积最大（不要求写作（）（）作出的正方形的长；（）图②，在正三角形A中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DEF在AB上点、N分别在边CB、CA上求这两个正方形积和的最大值及最小值，并说明理由．文案大全

标准实用例如，在△ABC中C=90米AC=12米M点在段CA上从C向A运，速度为1米/秒；同时N点在段AB上，A向运动，速度为/．运动时间为t秒（）t为值时，AMN=∠？（）t为值时，AMN的积最大？并求出这个最大值．例如图AB两点坐分别是8P由B出发沿BA方向点A作速直线运动，速度为每秒3个位长度，点Q由发沿AOO为坐原点）方向向点O作速直线运动，速为每秒2个单位长度，连接PQ，设运动时间为（0＜＜

）秒．解答如下问题：（）t为值时，PQ∥？（）△的面积为S，①求S与t之间函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点PQ的坐标别为xyy新坐标x﹣，﹣y）为“向PQ的坐标．当S取最值时，求“向量PQ的坐标．。例在eq\o\ac(△,Rt)POQ中，OP=OQ=4,M是中点把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与的两直角边分别交于点AB，文案大全

标准实用(1)求证：MA=MB(2)连接，究：在旋转三角的过程中，AOB的长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。例（2012江苏南8分某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成图

1

和扇形

CD2

中，1

与

2

、

2

分别相切于A、B，

COD602

，、事直线

O1

2

与

1

、扇形

2

的两个交点，EF=24cm，

1

的半径为xcm，①用x的数式表示扇形CD的径；2②若

1

和扇形

CD2

两个区域的制作成本分别为0.45元

/cm

2

和0.06元

/cm

2

当

1

的半径为多少时，该玩具成本最小？

O

A

O

D

B例（湖南底分如，在△ABC中AB=AC∠B=30，BC=8，在BC上，在线段DC上，DE=4，△是边三角形，边DF交边AB于点，边EF交边AC于N．（）证：△BMD∽△CNE；（）BD为何时，以M为心，以MF半径的圆与相切？（）BD=x，边形ANEDM的面积为y求与之间的函数解析式（要求写出自变量x的值范围当x为值时，y有大值？并求y的大值．文案大全

标准实用练题（2011宁夏治区10分）等腰△ABC中，．点MN分在两腰AC上（不与A、B重，不A、C重合MNBC．将△沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P（）MN为何时，点P恰落在BC上（）MN=x，△与腰△ABC重部分的面积为，试写出y与x的函数关系式．当x为何时y的值最大，最大值是多少？（2011建岩14分）图，在直角梯形ABCD中∠D=∠BCD=90°∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的个动点E不D重过点作EFAC交于点当E运到时EF与AC重把△DEF沿EF对，点D的对点是点G，设DE=x，△GEF与形重部分的面积为y。(1)求CD的及1的度数；(2)若恰好BC上，求此x的；(3)求y与之的函数关系式。并求x为何值时y值最大?最大值是多少（浙杭12分）形既关于点O中心对称，又关于直线ACBD对称AC=10，BD=6，已知点E，M是段AB上的点（不与端点重合到EFMN距离分别为，，OEF与△1组成的图形称为蝶形。（）蝶形面积S的最值；文案大全

．．．．．．标准实．．．．．．（）以EH为直径的圆与以MQ为径的圆重合时，求与h满的关系式，并求h的值范2围。（2011江苏迁12分）图，在边长为2的方形ABCD中，P为的中Q为边CD上一动点，设DQ＝（≤≤段的直平分线分别交边ADBC于点M、，过Q作QE⊥于点E，M作MF⊥BC于F．（）t≠1时求证eq\o\ac(△,：)≌NFM（）次连接P、、、，四边形PMQN的面积为，求出S与变量t之的函数关系，并求最小值．（江淮12分）图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠＝°，＝BC，点P在上，AP＝。点E、同时从点P出，分别PA、PB以秒个单长度的速度向点A、匀速动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向B运，点F运动到点停止，点E也随停.在点E、运过中，以EF为边正方形EFGH，使它△在线段AB的同侧，设、运的时间为

秒（

＞方形与重部分面为S.（）t＝时，方形EFGH的边是；当t＝时，方形EFGH的边长是；（）当0＜

≤时求S与

的函数关系式；（）直答出：在整个运动过，当t为值时，S大？最大面积是多少？文案大全

标准实用6.（2011内蒙巴淖、峰14分）图（图1图2边形ABCD是边长为4的方形，点E在段BC上，AEF=90°，且EF交正形外角平分线CP于F交BC的延长线于点N，⊥．（）点E是BC的点（如图EF相等？（）E在BC间动时（如图BE=x△的面积为．①求y与x的函关系式；②当x取何时y有最值，并求出这个最大值．A

P

A

PFBC图1

BED图2

N五应其知求值典例：1.山滨3分如图．eq\o\ac(△,在)中，∠＝90°，∠＝°AC＝4cm，△绕顶点顺针方向旋转eq\o\ac(△,至)A'B'C的位，且A、、三在一条直线上，则点A所过的最短路线的长为【】A、4cm错误未到用。B、8cm8cm、D、cm错！找引源

163

错！找引源例（2012广西宾3分如图，已知线段OA交⊙点B且OB=AB点P是⊙上的一个动点，那么∠OAP的大值是【】A．30°B．45°C．°90°文案大全

标准实用例（贵贵3分如图，中，C=90°，AC=3，B=30°点P是BC边的动点，则AP长不可能是【】A、B、、5.8D、7例（河省12分）图1，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．探究：如图1，⊥于点H，AH=，AC=，△的面积S=；拓展如2点D在AC（与点AC重合过AC作直线的垂垂为EF设BD=xAE=m，（点D与A重时，我们认为=0）（）含x，m，的代数式表及；eq\o\ac(△,S)（）（m+n）x的数关系，并求m+n）的最大值和最小值；（）给定的一个x值有时只能确定唯一的点，指出这样的x的取范围．发现：请你确定一条直线，使得A、C三到这条直线的距离之和最小（不必写出过程出这个最小值．例（河省10分）图1图中，两平行线AB、间的离均为6点为AB上定点．思考如图1，圆心为0的圆形纸片在ABCD之间包括ABCD直MN在上MN=8，P为圆上一点，设∠MOP=α当α=▲度，点P到CD的离最小，最小值为▲．文案大全

标准实用探究一在图1的础上，以点M为旋中心，在CD之间时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动止，如图2，得到最大旋转角∠▲度，此时点到CD的距离是▲．探究二将如图中扇形纸片NOP按下对α的要求剪掉，使扇形纸片绕在AB，CD之顺时针旋转．（）图，当=60°，求在旋转过程中，P到CD的小距离，并请指出旋转角BMO的大值；（）图4，在扇形纸片MOP旋过程中，要保证点落在直线CD上请确定α的取值范围（参考数椐：sin49°错误未到用，cos41°=错误未到用，tan37°错！找引源例6.（2011四成都4分）三角形纸片ABC中，知∠ABC=90°，AB=6，BC=8过点作线平行于BC，折叠三角形纸片，使直角顶点B落在直线l的T处，痕为MN．当点T在线l上动时，折痕的端点M、也之移动．若限定端点MN分别AB、BC边上动，则线段长的最大与最小值之和为▲（算结果不取近似值例7.（2011陕西12分）图①，在矩形ABCD中将矩形折叠，使B落在AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或边CD含端点）交于，然后展开铺平，则以B、、为点的三角形BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（）“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕BEF”是一个

三角形（）图②、在矩形中AB=2BC=4，当它的“折BEF”顶点E位于AD的点，画出这个“折痕△BEF求点F的标；（）图③，在矩形ABCD中AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？不存在，为什么？图①

图②

图③

图④例（2011浙江华丽3分）图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂文案大全

标准实用直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约【】A、600mB、500m、400mD300m例（湖宜10分）图，eq\o\ac(△,Rt)ABC两直